Transcript Résistance des structures

Résistance des structures
Chapitre 1 : Équilibre et statique des poutres
Chapitre 2 : Contraintes et déformations
Chapitre 3 : Théorèmes énergétiques
Résistance des structures
1
Ch 1 : Équilibre et statique des poutres
I. Définition
II. Équations d ’équilibre
III. Caractérisation géométriques des poutres
Résistance des structures
2
I. Définition
I.1. But de la Résistance Des Matériaux
Déterminer
par le calcul les
dimensions
éléments d’une machine, d’un édifice…
Vérifier la stabilité dans les meilleures
conditions de SÉCURITÉ et d’ÉCONOMIE
Résistance des structures
3
Deux orientations possibles de dimensionnement
Hypothèses
Inconnues
le matériau utilisé
les dimensions
les efforts appliqués
les déformations
les dimensions
les efforts internes
le matériau
Résistance des structures
4
I.2. Hypothèses de la RDM
- dimension longitudinale principale,
- matériaux homogènes, isotropes, et linéaires,
- classification des solides :
poutres élancées (flexion / torsion)
poutres courtes (flexion / torsion + cisaillement)
barres (traction / compression)
câbles ( traction)
Résistance des structures
5
Exemples concrets de structures poutre
Pylône électrique
Ressort de suspension
Ski
Résistance des structures
6
- schématisation
ey
fibre neutre
section S
diam d
L
G
ex
ez
ex ey ez où
ex est un vecteur unitaire tangent à la ligne moyenne
ey et ez
sont axes principaux d ’inertie
Résistance des structures
7
II. Équations d ’équilibre
II.1. Sollicitations et conditions d ’appui
- les sollicitations
Fi
q(x)
ey
- efforts et moments ponctuels Fi et Mj
L
pi
G’
pj
m(x)
G
Mj
ez
- efforts et moments répartis q(x) et m(x)
ex
torseur au point G :
( TG ) = ( F , GP F )
Résistance des structures
8
- forces intérieures
F2
R
ex
M
(2)
S
S
(1)
(1)
(S)
M1
M1
F1
F1
R
=
M =
ez
ey
N effort normal tangent à la ligne moyenne
Ty
efforts tranchants
Tz
Mx moment de torsion
My moments flechissants
Mz
Résistance des structures
9
- les différentes liaisons
Dénomination
Nombre
de DDL
DDL
interdit(s)
Effort(s) transmis
Encastrement
0
3 translations
3 rotations
3 composantes de force
3 composantes de moment
Articulation
1
3 translations
2 rotations
3 composantes de force
2 composantes de moment
Schéma
2D
Rotule
3
3 translations
3 composantes de force
Appui simple
5
1 translation
1 composante de force
Résistance des structures
10
II.2. Équations d ’équilibre global
F1
M1
F2
ey
ex
ez
A
B
C
D
le Principe Fondamental de la Statique donne :
F
ext
0
RA  F1  F2  0
 M  A, F   0
i
M A  M1  AB  F1  AD  F2  0
Résistance des structures
11
- degré d ’hyperstaticité
n inconnues de réaction
( p - n ) est le degré d ’hyperstaticité
p équations d ’équilibre
( p - n ) > 0 : hypostatique
( p - n ) = 0 : isostatique
( p - n ) < 0 : hyperstatique
Exemples
F
F
q(x)
Structure isostatique
Structure hyperstatique
Résistance des structures
12
II.3. Équations d ’équilibre local
Évaluer le torseur des efforts intérieurs
R
=
N effort normal
Ty
efforts tranchants
Tz
Mx moment de torsion
My moments flechissants
Mz
M =
Exemple : Cas d’une poutre console
ey
RA
A
F
B
(L)
P.F.S
ex
XA ,YA et MAz
Résistance des structures
13
On réalise une coupure fictive entre A et B en un point P d’abscisse x :
ey
RA
(TD)
P (x,0)
A
- (TD)
Équilibre de la partie gauche :
Équilibre des moments au point P :
F
B
ex
 
 TD
 
R A  Rint  0
 Rint 

 
M 
 int 
 R  R
int
A
 M int  M A  PA  RA  0
M int  M A  PA  R A
Résistance des structures
14
Méthode de détermination du torseur des efforts intérieurs
coupure fictive entre chaque singularité (point d’appui ou point de charge)
Rint = somme des efforts extérieurs situés à gauche
Mint = somme des moments situés à gauche + la somme des
PAi  Ri
Relation entre les éléments du torseur des efforts intérieurs
 dN
 dx  q x  0

 dTy
 qy  0

 dx
 dTz
 dx  q z  0

et
 dM x
 dx  mx  0

 dM y
 m y  Tz  0

 dx
 dM z
 dx  mz  Ty  0

Résistance des structures
15
III. Caractérisation géométrique des poutres
III.1. Moment statique
Y
(S)
dS
M
y
x'
Ax 
x
 ydS
S
d
X
Exemples
b
h
Ax  0
b
x
b
h/2
h
x
bh2
Ax 
8
x
bh2
Ax 
2
Résistance des structures
x
d3
Ax 
12
16
III.2. Détermination du centre de gravité
Y
XG 
(S)
YG
 xdS
S
S
G
X
YG 
XG
 ydS
S
S


Ay
S
Ax
S
Si (S) est décomposée en nombre fini d ’aires (Si) :
 S .x
  S .y
S .X G 
S .YG
i
i
Gi
Gi
Résistance des structures
17
Exemple
b
0
a
x
Calculer la position du centre de gravité
G1
A.N
a = 7 mm
b = 60 mm
c = 80 mm
G2
c
y
a
XG = 15.45 mm
YG = 25.45 mm
Résistance des structures
18
III.3. Moment quadratique
I xy 
- moment produit
 xy dS
S
Y
- moment quadratique ou moment d ’inertie
(S)
y
M
dS
I yy' 
r
x

x 2 dS
et
I xx' 
S
S
X

y 2 dS
- moment d ’inertie polaire
I0 

S
Résistance des structures
r 2 dS 
 x
2
 y 2  dS  I xx'  I yy'
S
19
Exemples
y
I xx'
bh 3

12
x
h
I xy  0
b
y
I xx' 
I yy'
hb3

12
S b 2  h 2 
IG 
12
 d4
64
I yy' 
 d4
64
x
d
I xy  0
Résistance des structures
IG 
 d4
32
20
- théorème de HUYGENS
(S)
M
r  r' d
G
r’
I D  d 2 .S  I D'
d
(D’)
r
(D)
y
(S)
YG
x  xG  x'
y  yG  y'
M
y'
G
XG
x'
I xy  xG yG S  I x' y'
x
Résistance des structures
21
Ch 2 : Contraintes et déformations
I. Notion de contrainte
II. Notion de déformation
III. Relation contraintes - déformations
Résistance des structures
22
Position du problème
P.F.S
Structure
poutre
Équilibre
interne
?
Prévoir la rupture
- nature du matériau
- modèle géométrique : déformation
- la loi de comportement : contrainte / déformation
Résistance des structures
23
I. Notion de contrainte
rapport d ’un effort par une surface
contrainte
unité d ’une pression : Pa, MPa, daN/mm2
F
Fn
contrainte normale
S
Ft
contrainte tangentielle
Résistance des structures
Fn
 
S

Ft
S
24
II. Notion de déformation
Solides
indéformables
Solides
DEFORMABLES
F
l
déformation relative
Dl
  x 
Résistance des structures
D

25
III. Relation contraintes - déformations
III.1. Hypothèses et principes
- équilibre entre contraintes et déformations,
- les déformations restent petites,
- les matériaux sont homogènes et isotropes.
N
Principe de Saint - Venant
Théorie de
l’élasticité
Identité de la répartition :
R.D.M
- des contraintes
- des déformations
Résistance des structures
N
26
Principe de superposition des états d ’équilibre
F1
F2
(1)
F1
F2
+
(2)
(3)
En un point donné :
Déplacements et
Contraintes
(1)
=
Déplacements et
Contraintes
(2)
Résistance des structures
+
Déplacements et
Contraintes
(3)
27
III.2. Loi de comportement de quelques sollicitations simples
traction unidirectionnelle
cisaillement
compression
flexion
Résistance des structures
torsion
28
- traction unidirectionnelle
N
N
S0
l
S
S0
l1
Déformation longitudinale
Déformation transverse
D
 

DR
t 
R
Contrainte normale
 x   xx
N

S
Résistance des structures
29
Courbe d’évolution contrainte / déformation
Loi de HOOKE

D
 x  E x  E

e
Coefficient de POISSON
E : Module de YOUNG
t
 


Matériau
E (MPa)

acier
aluminium
plexiglas
210000
70000
2000
0.30
0.33
0.35
E : unité d ’une pression Pa, MPa, daN / mm2
 : sans unité ( < 0.50)
Résistance des structures
30
Concentration de contraintes
Variation brusque de section
Répartition des contraintes
non uniforme
 max  k * 
(coefficient de concentration
de contraintes)
Exemples :
1,2  k  2,6
2  k  2,8
Résistance des structures
1,1  k  2,0
31
- compression
Hypothèses :
Sa
- matériau homogène et isotrope,
L
- poutre à axe rectiligne vertical,
- 2 sections droites Sa et Sb parallèles.
Sb
Condition de compression pure
d
d
a
b
3b  L  8a
3d  L  8d
Résistance des structures
32
Courbe d’évolution contrainte / déformation
Résultats analogues à une sollicitation de traction
- déformation élastique
- pas de palier plastique
- déformation permanente
- pas de striction
- rupture
Modes de rupture
Matériaux ductiles
Matériaux fragiles
Résistance des structures
33
- cisaillement
Configuration initiale
Configuration déformée
F
F

 est l ’angle de glissement
contrainte tangentielle
moyenne

 G 
E
21   
F
S
  
module de COULOMB
Résistance des structures
34
- sollicitation de flexion
On considère une poutre rectiligne de longueur (2a + b) sur 2 appuis simples
et soumise à un effort P à chaque extrémité
y
RB
RC
D
A
a
P
B
b
C
a
x
P
Calculer l ’effort tranchant et le moment fléchissant le long de la poutre
Résistance des structures
35
diagramme du moment fléchissant et de l ’effort tranchant
Entre B et C :
Ty = 0
Mz = aP = constante
A
D
a
b
B
a
C
Mz
aP
Flexion pure sur BC
x
Ty
déformée en arc de cercle
de courbure constante R
(sections planes et normales
à la fibre moyenne)
P
x
-P
Résistance des structures
36
On considère un tronçon de poutre situé dans la partie BC
Hypothèses :
y
A
- chaque section tourne d ’un angle dq
A1 A 2
G1
G
- dx = AA1 et GA = V
SA2
x
SA
O
dq
SA1
- OG = R rayon de courbure
- angle dq est petit et négatif
- déformation longitudinale
- les contraintes normales et tangentielles
- la valeur de la flèche
Résistance des structures
37
Déformation longitudinale
 xx 
Loi de HOOKE
A1 A2
dq
V
 V

AA1
dx
R
 xx
dq
 E xx   EV
dx
Équilibre d ’une section
q
d
Iz




Mz
E
Iz
xx
dx
V
Or, le rayon de courbure R est tel que :
M
xx  z V
Iz
1 d2y
Mz
y' '   2  
R dx
EI z
Résistance des structures
38
Évaluation de la contrainte de cisaillement
ey
d
ez
e
V
c
yo
Contrainte tangentielle de cisaillement
f
Ty Az

I zl
G
l
a
b
- Iz le moment quadratique de toute la section droite,
- l la longueur de la corde de la section droite.
- Az le moment statique de la section droite limitée par la corde
Résistance des structures
l
39
- sollicitation de torsion uniforme
Mx autour de l ’axe porté par ex
contraintes tangentielles
dx

r
dq
ex
les sections restent planes
et circulaires
G
ez
ey
M x   I 0
dq
dx
Mx
 
r
I0
Résistance des structures
40
Ch 3 : Théorèmes énergétiques
I. Définition
II. Énergie de déformation
III. Théorèmes énergétiques
Résistance des structures
41
I. Définition
déformation élastique de la poutre
état initial
F1
état final
Théorème de
l’énergie cinétique
F2
travail des forces
extérieures
Wext
+
travail des forces
intérieures
Wint
=0
Énergie de déformation : Wd = - Wint = Wext
Résistance des structures
42
Exemple : cas d’une sollicitation de traction
Hypothèses :
- effort de traction variable
- proportionnalité entre l’effort et l’allongement
Aire du
triangle OAB
1
Wext  F .x
2
Résistance des structures
Travail de l’effort
de traction
43
- Équilibre d’un tronçon de longueur dx
Soit
D dx  l’allongement du tronçon dx
Fdx
Ddx  
ES
1
dWd  F  Ddx 
2
Loi de HOOKE
Énergie de déformation
élémentaire
l
2
1 F
dWd  
dx
2 ES
soit

1 F2
Wd 
dx
2 ES
0
l

1 F F
Wd 

 Sdx
2 S ES
0
Résistance des structures
44
II. Énergie de déformation

1
1
Wd 
 ij ij dV 
2
2
D ’une manière générale
V
struct
Effort normal : traction/compression
1
Wd 
2

Effort tranchant : Ty ou Tz
N2
dx
ES
1
Wd 
2
struct

struct

2
Ty
dx
S
struct
Moment de torsion : Mx
1
Wd 
2

 ij ij Sdx
Moment fléchissant : My ou Mz
2
Mx
dx
I 0
1
Wd 
2

struct
Résistance des structures
2
Mz
dx
EI z
45
- Cas général
effort normal + effort tranchant + moment fléchissant + moment de torsion
2
2
2
1 N2
1 Ty
1 Mz
1 Mx
Wd 
dx 
dx 
dx 
dx
2E S
2 S
2E I z
2 I0


Résistance des structures


46
III. Théorèmes énergétiques
III.1. Théorème de Clapeyron
Cj
Fi
Travail des
forces extérieures
Fi
Déplacements Ui
Cj
Rotations qj
1
1
Wext  FiU i  C jq j
2
2
Résistance des structures
47
III.2. Théorème de réciprocité de Maxwell - Betti
ey
B
S1
S2
C
A
P
yC 
2l  a l  a 2
6 EI
ex
l
P
ey
B
C
P
A
yA 
ex
a
P
2l  a l  a 2
6 EI
Théorème
Flèche dans la section S1
due à la charge P en S2
=
Résistance des structures
Flèche dans la section S2
due à la charge P en S1
48
III.3. Théorème de Castigliano
Théorème : le déplacement du point d’application d’une force dans sa direction
(ou la rotation d’un couple) est égale à la dérivée partielle de l’énergie de déformation
par rapport à cette force (ou à ce couple) :
A
B
C
Fi
Résistance des structures
Wd
 UB
Fi
49
III.4. Théorème de Ménabréa
Théorème : la dérivée partielle de l’énergie de déformation par rapport à chacune
des inconnues surabondantes est nulle, à condition que les points d’application des forces ne
bougent pas (Ui = 0) ou que les sections ne tournent pas (qi = 0)
Structure hyperstatique
d ’inconnues surabondantes Ri
Wd = f(Ri)
Wd
0
Ri
Résistance des structures
50
III.5. Calcul du déplacement d ’un point non chargé
ey
A
Poutre sur 2 appuis
C
G
B
ex
P
Flèche en G ?
Q=1
- détermination de l’équation de la déformée
- charge fictive unitaire Q travaillant dans le déplacement Uy(G)
Théorème de
CASTIGLIANO
 Wd 

  U y G 
 Q Q 0
Résistance des structures
51