Transcript Vy(x)

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Un solide ou un système de
solides est soumis à des actions
extérieures
:
le
premier
objectif de la mécanique est de
déterminer la totalité des
actions extérieures.
Réactions des appuis
Le second objectif est de
déterminer
comment
se
répartissent les efforts à
l’intérieur du solide.
N
G
x
moment
x
Le troisième objectif est de
dimensionner
le
solide
en
équilibrant les contraintes et en
limitant les déformations.
1) LES ACTIONS
2) LES SOLLICITATIONS
3) CONTRAINTES ET
DEFORMATIONS
NATURE DES ACTIONS MECANIQUES
AGISSANT
SUR LES STRUCTURES
Les charges
verticales
de
pesanteur
1
Les actions à
composante
horizontale ou
verticale
ascendante
CHARGES VERTICALES DE PESANTEUR
Charges
permanentes
(poids propre
des ouvrages ou
matériaux les
surchargeant)
Q
NF P 06.001
Charges
climatiques de
neige
1
G
NF P 06.004
Charges liées à
l’exploitation des
bâtiments (public,
mobilier, stockages,
surcharges liées à
l’entretien)
Sn
neige (Sn)
charges d’expoitation (Q)
Poids propre (G)
NV65 et N84
ACTIONS A COMPOSANTE HORIZONTALE
OU VERTICALE ASCENDANTE
Pressions ou
dépressions
dues au vent
W
NV65 révisé 2000
Pression du vent (W)
Pressions des
terres, liquides
ou des matières
ensilées
Poussée
des terres
rh
Poussée (ρh)
1
An
PS92
Séisme : accélérations
des masses se traduisant
en efforts horizontaux
Vibrations et
machines tournantes
w
vibrations (w)
accélération (An)
Exemple de descente de charges
verticales sur les éléments porteurs
1- La couverture subit les
actions climatiques
(neige).
2- La charpente porte la
couverture et le plafond.
Neige
3- Les murs supportent les
charges verticales précédentes.
4- Le plancher, outre son
propre poids, porte les
charges d’exploitation
(mobilier, personnes etc..).
COUVERTURE
5- Les murs de soubassement
transmettent à leur tour les
charges aux fondations.
6- Les fondations
répartissent les
SOUBASSEMENT
pressions sur le sol et
assurent l’équilibre
statique de la
construction.
CHARPENTE
PLAFOND
MURS
PLANCHER
SEMELLES
SOL DE
FONDATION
Actions ascendantes du sol porteur
Exemple d’actions à
composante horizontale
sur les éléments
porteurs d’un bâtiment
R+2
Pression
du vent
Versant au vent
Versant sous le vent
Etage n°2
Efforts du vent
appliqués aux
nœuds
Etage n°1
Dépression
due au vent
Efforts du vent
appliqués aux
nœuds
Vent
Rez-de-chaussée
accélération (An)
Turbulences
Exemple d’actions a composante horizontale ou verticale ascendante
sur les éléments porteurs
Versant sous le vent
Versant au vent
Pression
du vent
Turbulences
Vent
Dépression
due au vent
Rez-de-chaussée
Poussée des
terres
Sous-sol
Poussées hydrostatique
Poussée
des terres
LA DESCENTE DE CHARGES
La descente de charges permet de connaître,
niveau par niveau, élément par élément, le
cheminement ou la distribution des actions
mécaniques extérieures à travers toute la
construction, en partant du point le plus haut du
bâtiment, vers les fondations et le sol.
1
L’ouvrage dans sa globalité ainsi que les éléments
de cet ouvrage, doivent être conçus pour être
stables et résister à ces actions.
La descente de charges est à la base du
dimensionnement des structures porteuses et
notamment des fondations.
COMMENT DETERMINER LES ACTIONS
EXTERIEURES INCONNUES ?
Une fois que les actions extérieures dues au
chargement sont définies, il faut déterminer les
actions extérieures de liaisons (inconnues) en
faisant l’équilibre statique du système.
Chargement défini
Réactions des appuis
inconnues
1
COMMENT DETERMINER LES ACTIONS
EXTERIEURES INCONNUES ?
Une fois que les actions extérieures dues au
chargement sont définies, il faut déterminer les
actions extérieures de liaisons (inconnues) en
faisant l’équilibre statique du système.
Les actions extérieures représentées par des
vecteurs sont de deux types :
• des forces
• des moments
Dans le plan, on simplifie :
Valeur algébrique
définie par un
sens de rotation
F
1
Fx
Fy
M
LIAISONS DU GENIE-CIVIL
L’APPUI SIMPLE
Une seule
liaison : Y
1
inconnue
de
Y
LIAISONS DU GENIE-CIVIL
L’ARTICULATION
X
Deux inconnues de liaison :
X et Y
1
Y
LIAISONS DU GENIE-CIVIL
L’ENCASTREMENT
X
Trois inconnues de liaison :
X, Y et M
1
M
Y
DEFINITION DE L'EQUILIBRE STATIQUE
Un solide indéformable ou un système de solides est en équilibre (ou
au repos) par rapport à un repère fixe, si chaque point du solide à
une vitesse nulle par rapport à ce repère.
PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA
STATIQUE - (P.F.S)
Un solide indéformable ou un système de solides est en équilibre sous



(F 1, F 2, ...,F n)
l'action d'un système de forces
si le torseur des forces extérieures au solide ou au système de solides
est nul en tous points du repère.
(F ) R , M = 0 , 0

ext I



II

I
le point I défini dans le repère fixe Oxyz.
NOTA : Le PFS seul permet de résoudre les systèmes isostatiques. Si les
systèmes sont hyperstatiques, il faut trouver d’autres équations avec des
méthodes de calculs plus approfondies (méthode énergétique, méthode des
forces, équation de Clapeyron…)
1
Le premier objectif est atteint, les actions
extérieures de liaisons sont maintenant connues.
Chargement
Réactions des appuis
1
LES SOLLICITATIONS
Soit un solide en équilibre dont on sait calculer toutes les
actions extérieures. On veut maintenant connaître ce qu’il se
passe à l’intérieur, pour cela on va effectuer une coupure fictive
de ce solide.
On coupe le solide orthogonalement à l’axe moyen [G,X) ; on
obtient ainsi deux tronçons celui de gauche et celui de droite.
On isole fictivement le tronçon de gauche, il est en équilibre
sous l’effet des actions extérieures et des actions de continuité
du tronçon de droite.
2
Le tronçon de droite exerce sur le tronçon de gauche des
actions de continuité, nous pouvons les modéliser par un torseur
dit torseur de cohésion et définir ces éléments de réduction au
centre de gravité G de S(X).
Ces actions de continuité sont des efforts intérieurs du solide.
Torseur de cohésion


R
 coh 
MGG
2
On appelle sollicitations, les composantes sur [G,X,Y,Z) (repère
local associé à la section S(X)) des éléments de réduction du
torseur de cohésion .
RN I VY J VZ K
N : effort normal : projection de sur [GX)
V : effort tranchant avec 2 composantes
Vy projection de sur [GY)
Vz projection de sur [GZ)
MGM X I MY J M Z K
Mx : moment de torsion : projection de sur [GX)
M : moment de flexion avec 2 composantes
My projection de sur [GY)
Mz projection de sur [GY)
2
DIFFERENTS ETATS DE SOLLICITATIONS
CISAILLEMENT
VY  0
et / ou V  0

Z

N  0
M X  M Y  M Z  0
2
DIFFERENTS ETATS DE SOLLICITATIONS
COMPRESSION SIMPLE si N<0
N  0

VY  VZ  0
M  M  M  0
Y
Z
 X
TRACTION SIMPLE si N>0
2
DIFFERENTS ETATS DE SOLLICITATIONS
FLEXION PURE
Zone de flexion pure
M Y  0 ou M Z  0

 N  VY  VZ  0
M  0
 X
C’est un cas très rare.
2
DIFFERENTS ETATS DE SOLLICITATIONS
FLEXION SIMPLE
VY  0 M Z  0

 N  0 VZ  0
M  M  0
Y
 X
2
ou
VZ  0 M Y  0

 N  0 VY  0
M  M  0
Z
 X
DIFFERENTS ETATS DE SOLLICITATIONS
TORSION
M X  0

 N  VY  VZ  0
M  M  0
Z
 Y
Dans la réalité, on a aussi un effort normal.
2
DIFFERENTS ETATS DE SOLLICITATIONS
FLEXION COMPOSEE
VZ  0 VY  0

M Y  0 M Z  0
M  0 N  0
 X
2
ou
VZ  0 VY  0

M Y  0 M Z  0
M  0 N  0
 X
DIFFERENTS ETATS DE SOLLICITATIONS
FLEXION DEVIEE
VZ  0 VY  0

M Y  0 M Z  0
M  0 N  0
 X
2
DIFFERENTS ETATS DE SOLLICITATIONS
FLEXION COMPOSEE DEVIEE
C’est la cas d’une panne qui transmet en
compression les efforts du vent à une travée
de stabilité.
VZ  0 VY  0

M Y  0 M Z  0
M  0 N  0
 X
2
GRAPHIQUES DES SOLLICITATIONS
F
y
F
pu
A
900
4,700
B
x
900
Vy(x) (kN)
Mz(x)
(kN.m)
2
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
6,392
4,458
x
-4,458
-6,392
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
4,605
x
-2,906
-2,906
Le
deuxième
objectif
est
atteint, on
connaît la
distribution
des
efforts
dans le
solide.
DIMENSIONNEMENT
Le troisième objectif est de dimensionner le solide en équilibrant les
contraintes et en limitant les déformations.
C’est le domaine de la résistance des matériaux.
Hypothèses sur le matériau :
Hypothèses géométriques :
Continuité : Le matériau ne présente pas de
discontinuité de structure à l’intérieur des
pièces considérées.
En RdM, les déplacements de la ligne
moyenne sont petits devant les
dimensions de la poutre. On calcule
les sollicitations dans la configuration
initiale.
Homogénéité : La composition physicochimique reste inchangée quelque soit le
volume élémentaire considéré au sein du
matériau.
Isotropie: Les propriétés mécanique sont
les mêmes dans toutes les directions.
Navier et Bernouilli : Les sections
droites planes restent planes et
perpendiculaires à la ligne moyenne
déformée dans la déformation de la
poutre.
Saint-Venant : Si l’on connaît les
sollicitations N, V et M à gauche d’une
section , on peut y déterminer ses
contraintes.
3
Contrainte et Déformation
Si on prend un point quelconque dans un solide, son état de contrainte ou
de déformation spatial, c’est pourquoi on représente la contrainte et la
déformation par un tenseur.
 x

     xy

 xz
  x  yx  zx 


()   xy  y  zy 




xz
yz
z


Tenseur des contraintes
 xy  xz 

 y  yz 
 yz  z 
Tenseur des déformations
x
y
Loi de Hooke généralisée :
3
   1       S I 
E
E
z
Contrainte et Déformation
COMPRESSION
La contrainte qui
s’exerce sur la section
droite est
y
N(x)
x
N (x )
σ= A
G
z
x
La déformation de la
section droite est
N (x )
ε = E.A
y
y
y
x
σ
G
Dans l’espace
3
z
σ
G
Dans le plan
Attention aux instabilités, risque de flambement !
Contrainte et Déformation
TRACTION
La contrainte qui
s’exerce sur la face
droite est
y
N(x)
x
N (x )
σ= A
G
z
x
La déformation de la
face droite est
N (x )
ε = E.A
y
y
σ
G
Dans l’espace
3
y
x
σ
z
G
Dans le plan
Contrainte et Déformation
FLEXION SIMPLE
La contrainte qui
s’exerce sur la section
droite est
Vy(x)
y
MZ (x )
σ = IG z ×y
x
z
G
Mz(x)
La déformation de la
section droite est
x
Mz.y
ε = E.I
GZ
y
y
y
La courbure de la
section droite est
x
σ
G
Dans l’espace
3
z
σ
G
Dans le plan
dwz =Mz(x)
dx E.IGZ
Contrainte et Déformation
FLEXION DEVIEE
La contrainte qui
s’exerce sur la section
droite est
Vy(x)
My(x)
y
x
Vz(x)
z
G
Mz(x)
La déformation de la
section droite est
x
Mz .y
ε = E.I +EM.yI.z
GZ
GY
y
y
x
σ
G
Dans l’espace
3
Mz .y
σ = IG z + MIyG.z
y
z
La courbure de la
section droite est
dwz =Mz(x)
dx E.IGZ
dwy =My(x )
dx E.IGY
Contrainte et Déformation
FLEXION COMPOSEE
La contrainte qui
s’exerce sur la section
droite est
Vy(x)
y
( )
N (x ) MZ x
σ = A + IG z ×y
N(x)
x
z
Mz(x)
La déformation de la
section droite est
x
Mz.y
N (x )
ε = E.A + E.I
GZ
y
y
y
x
σ
G
Dans l’espace
3
z
σ
G
Dans le plan
Contrainte et Déformation
CISAILLEMENT
Vy(x)
y
La contrainte qui
s’exerce sur la section
droite est
Vy.MS
x
τ =I .b(y)
Gz
z
x
Le déplacement du au
cisaillement est
y
x
y
dvv = Vy
dx G.S1
z
τ
G
Dans le plan
3
DIMENSIONNEMENT
Pour le dimensionnement des éléments, il suffit de vérifier que
□ les contraintes ou les sollicitations calculées avec les
chargements restent inférieures ou égales à celles que peut
supporter l’élément.
Scal ou σcal ≤ Sadm ou σadm
□ les déplacements calculés avec les chargements restent
inférieurs ou égaux à ceux donnés dans les règlements.
fcal ≤ fadm
3