Transcript Poly de TD MMD2-2014

IUT-MP2
2013-2014
TD de Mécanique des Milieux Déformables
Torsion
1. COMPARAISON D’ARBRES PLEIN ET CREUX EN TORSION
Pour transmettre un couple de 400 N.m on envisage d’utiliser soit un arbre plein, soit un arbre creux.
Ces deux arbres sont constitués du même acier pour lequel τe= 240 MPa et G = 80 GPa. On adopte
dans les deux cas le même coefficient de sécurité s = 3.
L’arbre plein a un diamètre d1. L’arbre creux a pour diamètre extérieur D et diamètre intérieur d tels
que d = 0,6.D.
1. Déterminer le diamètre d1 de l’arbre plein et la déformation angulaire entre deux sections
distantes de 300mm.
2. Déterminer les diamètres D et d de l’arbre creux et la déformation angulaire entre deux
sections distantes de 300mm. Comparer avec le résultat précédent.
3. Déterminer le rapport λ =
masse _ de _ l ' arbre _ creux
. Conclusion
masse _ de _ l ' arbre _ plein
2. TRANSFERT DE PUISSANCE
L’arbre creux ci-contre tourne à la vitesse de 180 tr.min-1. Un système de mesure stroboscopique
indique un angle de torsion de 3° entre les deux extrémités A et B.
Déterminer la puissance transmise et la contrainte de cisaillement maximale.
Donnée : G = 77 GPa
A
100
B
120
3m
Systèmes hyperstatiques
3. DIMENSIONNEMENT D’UNE PASSERELLE PAR LA MÉTHODE DE SUPERPOSITION
Une passerelle métallique peut être modélisée par une poutre continue à deux travées égales et
supportant une charge uniformément répartie d'intensité p.
p
l
A
l
B
C
Applications numériques: l = 3m ; p = 500 daN/m ; Rpe = 100 MPa ; E = 210 GPa
1. Après avoir montré que le problème est hyperstatique de degré 1, calculez les actions d'appui
par la méthode de superposition. Vous définirez les problèmes isostatiques et les conditions de
raccord.
2. Calculer le moment fléchissant maximum pour les deux travées.
3. Etude en résistance: faire le choix d'un profil UPN à l'aide du formulaire.
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4. Etude en déformation: calculer la valeur et la position de la flèche pour les deux travées.
Etat de contrainte – Cercle de Mohr
1. Pour quelle raison les contraintes tangentielles τxy et τyx sont –elles identiques ? Rappelez leur
définition.
2. Dans une poutre en flexion, rappelez la relation entre la contrainte normale et le moment de
flexion. Même question entre la contrainte tangentielle et le moment de torsion.
3. On mesure les contraintes suivantes : σx = 110MPa ; σy = 40MPa ; τxy = 28MPa. A l’aide de votre
formulaire et d’un tableur, programmer le calcul des contraintes pour une direction située à 45°
de l’axe x. Déterminez les contraintes principales et la direction principale.
4. ÉTAT DE CONTRAINTE EN FLEXION SIMPLE
Une poutre cylindrique est sollicitée selon la figure.
Données : d = 30 mm l = 1 m F = 200 daN
l
2
y
F
x
C
D
A
B
l
1. Analyser intuitivement le problème mécanique : le poids de la poutre est-il pris en compte ?
Quelle est la nature des contraintes qui s’exercent au point D ?
2. Déterminer les composantes conventionnelles du torseur des actions élastiques.
3. Déterminer les contraintes aux points C et D selon les axes Ox et Oy.
4. Déterminer les contraintes principales et la direction principale. Justifier que l'on peut négliger la
contrainte tangentielle (effort tranchant) relativement à la contrainte normale dans les
hypothèses RdM.
5. Tracer le cercle de Mohr pour les points C et D. Comment faut-il modifier le cercle pour le point
D’ symétrique de D autour de C.
6. Représenter l’état des contraintes planes à l’aide d’un schéma d’un élément de matière au point
C, puis D.
5. ÉTAT DE CONTRAINTE EN TORSION PURE
Soit un arbre de diamètre d = 30 mm guidé et chargé
comme sur la figure et transmettant le couple C.
Données : l = 1 m et C = 1200 N.m
y
C
D
C
C x
l
A
1. Analyser intuitivement le problème mécanique: l'arbre est-il nécessairement immobile? Dans
quel sens tourne l'arbre si on supprime le couple en A?
2. Déterminer les composantes conventionnelles du torseur des actions élastiques.
3. Déterminer les contraintes aux points C et D selon les axes Ox et Oy.
4. Tracer le cercle de Mohr pour les points C et D. Calculer les contraintes principales et la
contrainte de cisaillement maximale dans les deux cas.
2
B
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Représenter l’état des contraintes planes à l’aide d’un schéma d’un élément de matière au point C,
puis D.
Sollicitations composées, critères de résistance
6.
7. FLEXION-TORSION
Soit un arbre de diamètre d = 30 mm, guidé et chargé comme sur la figure et transmettant un couple
C.
Données : l = 1 m ; C= 1200 N.m ; F = 200 daN ;
y
C
l
2
A
F
B
C
C
x
D
ll
1. Déterminer les composantes conventionnelles du torseur des actions élastiques.
2. Montrer que le point D est le point critique de la pièce. Pour cela déterminer l'état des
contraintes en tout point.
3. Vérifier que la contrainte tangentielle liée à l'effort tranchant est négligeable devant celle liée au
moment de torsion.
4. Déterminer les contraintes principales et les axes principaux. Schématiser l'état de contraintes
dans le repère (O,x,y) et dans le repère lié aux axes principaux.
5. Choisir le matériau en utilisant le critère de Tresca, puis le critère de Von Mises.
6. Déterminer le diamètre d de l’arbre dont l’acier présente la caractéristique suivante : Rpe = 150
MPa.
8. PROBLÈME DE TRANSMISSION DE PUISSANCE
Une transmission de puissance en rotation est organisée comme ci-contre.
Données : P = 30 kW à N = 3000 tr.min-1 ; l = 0,5 m ; R = 0,05 m ; Acier XC18 traité - Rpe = 150MPa
y
l
2
A C
z
1.
2.
3.
R
F
B
x
l
Traduire la figure dans le plan (x,y) et déterminer les actions d'appui.
Exprimer les actions élastiques et donner leur valeur dans la section la plus sollicitée.
Calculer le diamètre minimum de l'arbre.
3
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9. TRACTION- TORSION
Une poutre cylindrique de diamètre d = 36mm supporte une charge de tension F = 200kN et un
couple de torsion M. Si la limite élastique en traction du matériau est Rpe=250MPa, déterminer la
valeur du couple M à partir des critères de Tresca et de Von Mises.
Réponse : M = 708N.m; M = 818N.m
État de déformation. Dépouillement des rosettes. Facteur de concentration
10. EXPLOITATION DES MESURES DE DÉFORMATIONS
Soit une rosette à 45° collée sur une pièce en acier, les informations fournies par la rosette sont:
εa = 1 600 µm/m ; εb = 390 µm/m; εc = 820 µm/m .
c
b
a
M
y
x
1. Déterminer les directions principales 1 et 2 relativement à l'axe x ainsi que les déformations
principales ε1 et ε2.
2. Calculer les contraintes principales σ1 et σ2 en M ainsi que les contraintes dans les directions
RDM x et y.
Données : Module d'Young Eacier = 210 GPa ; Coefficient de Poisson νacier = 0,33
11. DEUXIÈME APPLICATION.
Une rosette à 45° est collée au point M sur un arbre cylindrique plein de diamètre d et réalisé en
aluminium. La direction b est parallèle à l'axe de l'arbre.
d
y
M
M
c
b
a
x
z
On mesure: εa = -105.10-6 ; εb = 263.10-6 ; εc = 282.10-6
Données : Module d'Young: Ealu = 75 GPa ; Coefficient de Poisson νalu = 0,34
1.
2.
3.
4.
Déterminer les déformations principales ε1 et ε3.
Positionner les directions principales d'abord relativement à la direction a, puis relativement à x.
Calculer les contraintes principales σ1 et σ3 et tracer le cercle de Mohr des contraintes.
Calculer la contrainte normale σx et la contrainte tangentielle τxz sur une facette orientée par x
(coupure RDM).
4
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12. CONCENTRATIONS DE CONTRAINTE PRÈS D'UN TROU
On souhaite mesurer le facteur de concentration de contraintes K t =
ε max
, rapport entre la
ε nom
déformation maximale près d’un trou de diamètre d et la déformation nominale loin du trou, dans
une barre en aluminium de section rectangulaire est encastrée en A. Elle est soumise à un
chargement en B tel que F = 18,1 N.
Les quatre jauges de contraintes mesurent une déformation selon l’axe x.
z
l
C
h
A
x
B
r
F
y
Jauge 1
l1
A
Jauge 4
y1
Jauge 2
C
Jauge 3
y3
y2
x
B
b
d
Données :
Dimensions de la poutre : l = 286 mm; h = 6,4 mm; b = 25,6 mm;
Diamètre du trou : d = 6,34 mm ; position de la jauge 4 : l1 = 26 mm ;
Distance des jauges 1, 2 et 3 au centre du trou: y1 = 8,255 mm; y2 = 4,700 mm; y3 = 3,683 mm;
Module d'Young de l'aluminium E = 70 GPa
1. Calculez la flèche de la poutre en négligeant l'influence du trou et des jauges de contraintes.
2. Commentez la position de la jauge 4 pour calculer la valeur de εnominal.
Les mesures réalisées sur les jauges 1, 2, 3 et 4 donnent :
ε1 = 509,4 µm/m ; ε2 = 421,1 µm/m ; ε3 = 378,4 µm/m ; ε4 = 381,8 µm/m.
La théorie de l’élasticité permet de trouver l’expression de εi en fonction du rayon r du trou et de la
2
4
 r 
 r 
distance yi de la jauge i au centre du trou. ε i = A + B.  + C.  .
 yi 
 yi 
La déformation est maximale pour une jauge placée en yi = r, soit εmax = A + B + C .
Les trois jauges permettent de calculer les valeurs de A, B , C :
C = 5,86.(ε 1 − ε 2 ) − 5,44.(ε 2 − ε 3 )
B = 3,49.(ε 1 − ε 2 ) − 1,2.C
A = ε 1 − 0,743.B − 0,552.C
3. Expliquez pourquoi toutes les valeurs des déformations sont positives.
4. Calculez le facteur de concentration de contraintes expérimentales.
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Analyse des contraintes par jauges résistives
Un dispositif expérimental est constitué d'une barre cylindrique creuse (D = 40mm, d = 36mm) en
acier
(E = 2,1 1011 Pa , ν = 0,33), de longueur l = 1m et encastrée à son extrémité A. Elle peut
être sollicitée en flexion (charge en B) et/ou en torsion (charges en B1 et B2).
Vue HH’
H
y
y
l
b
z
B
B2
B1
A
a
m
a
m1
M1
B
M2
c
b
m
x
x
H’
M1 vue de dessus
a
Parmi toutes les jauges collées sur la barre, nous nous intéresserons à celles situées à l'abscisse b =
0,2m. Ce sont deux rosettes diamétralement opposées dans le plan vertical (points M1 et M2) et
orientées comme selon la figure (jauge médiane b parallèle à l'axe de la barre).
La barre dont on néglige le poids, est chargée en B à l'aide de la charge m1 = 10 kg.
1. Parmi les jauges a, b, c de la rosette en M1 et a', b', c'de la rosette en M2 lesquelles doit on
utiliser pour effectuer la mesure des contraintes liée à la flexion de la barre?
2. Décrire un montage associant les jauges retenues précédemment et permettant d'obtenir le
signal maximum?
On conserve la charge en B et on ajoute les charges m aux extrémités B1 et B2 du levier transversal ( a
= 0,3m ). Les jauges de la rosette en M1 sont telles que R0 = 120 Ω et K = 2,07
On relève :
Pour la jauge a: ∆Ra = - 1,73.10-2 Ω
Pour la jauge b: ∆Rb = + 4,35.10-2 Ω
Pour la jauge c: ∆Rc = + 4,67.10-2 Ω
3. Déterminer les déformations principales des directions ε1 et ε2, ainsi que la position des
directions principales relativement à la jauge a, puis relativement à l'axe x de la pièce. On
conservera le "repère pièce" pour la suite.
4. Calculer les contraintes principales et tracer le cercle de Mohr des contraints en M1.
5. En déduire la valeur des contraintes normale et tangentielle en M1, selon une facette
appartenant a la coupure RDM (orientée par x).
6. Calculer les moments de torsion et de flexion.
7. Déduire du moment de torsion la valeur des masses m accrochées aux extrémités
6