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CT 57
(année scolaire 2001/2002)
RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
Les sollicitations internes
Diagrammes M,N et V
JM CHATEL
1
Résistance des matériaux
Plan de la séance
1 - Rappels sur les différents types d ’appuis
2 - Système isostatique,hyperstatique ou hypostatique
3 - Rappels sur la notion d ’isolement d ’un système
matériel (principe d ’action-réaction)
4 - Les sollicitations - Notion de coupure - Tracé des
diagrammes M,N et V
5 - Exercices
2
1 - LES DIFFÉRENTS TYPES DE LIAISONS ET D ’APPUIS
1.1 Généralités
(1/2)
B’’

A’
B
v
A
u
B’
Dans le plan, le solide (A,B) possède
trois degrés de liberté de mouvement :
- deux degrés en translation u et v
- un degré en rotation 
3
1 - LES DIFFÉRENTS TYPES DE LIAISONS ET D ’APPUIS
1.1 Généralités
(2/2)
A chaque blocage d’un degré de liberté
Génération d ’une force de liaison (inconnue )
4
1 - LES DIFFÉRENTS TYPES DE LIAISONS ET D ’APPUIS
1.2 L ’appui simple (appui à rouleau)
La liaison appui simple bloque 1 degré de liberté
y
Introduction d ’une inconnue
Y
o
Intensité de la réaction verticale Y
x
Modélisation :
5
1 - LES DIFFÉRENTS TYPES DE LIAISONS ET D ’APPUIS
1.3 L ’articulation
La liaison rotule bloque 2 degrés de liberté
y
X
Introduction de deux inconnues
Y
o
x
Intensité de la réaction verticale Y
Intensité de la réaction horizontale X
Modélisation :
ou
6
1 - LES DIFFÉRENTS TYPES DE LIAISONS ET D ’APPUIS
1.4 L ’encastrement
La liaison encastrement bloque 3 degrés de liberté
y
X
Introduction de trois inconnues
M
Y
o
Intensité de la réaction verticale Y
Intensité de la réaction horizontale X
x
Intensité du moment empêchant la rotation M
Modélisation :
ou
7
2 - NOTION DE STRUCTURE ISOSTATIQUE OU HYPERSTATIQUE
(1/3)
Un système isostatique est un système en équilibre dont la suppression
d ’une liaison entraîne la rupture de l ’équilibre.
Exemple :
F
F
Encastrement
Rotule
3 degrés de liberté bloqués
Libération de la rotation
Structure stable
Structure instable
ISOSTATIQUE
HYPOSTATIQUE8
1
DIFFÉRENTS TYPES DE LIAISONS ET D ’APPUIS
2 -- LES
NOTION DE STRUCTURE ISOSTATIQUE OU HYPERSTATIQUE
1.5 Notion de structure isostatique ou hyperstatique
(2/3)
(2/3)
Un système hyperstatique est un système en équilibre dont la suppression
d ’une liaison n’entraîne pas la rupture de l ’équilibre.
F
Exemple :
Encastrement
Appui simple
4 degrés de liberté bloqués
Structure HYPERSTATIQUE
F
Rotule
Appui simple
Libération de la rotation
9
Structure ISOSTATIQUE
1
DIFFÉRENTS TYPES DE LIAISONS ET D ’APPUIS
2 -- LES
NOTION DE STRUCTURE ISOSTATIQUE OU HYPERSTATIQUE
1.5 Notion de structure isostatique ou hyperstatique
(3/3)
(3/3)
Remarque :
Structure isostatique
3 inconnues (les 3 réactions aux appuis)
Application du PFS
3 équations
Les réactions sont calculables
directement par simple
application du PFS
10
3 - ISOLEMENT D ’UN SYSTÈME MATÉRIEL
3.1 - Principe d ’action-réaction
(1/3)
Soit deux solides (S1) et (S2) jointifs en A soumis
respectivement à un système de forces (F) et (F) :
F
(S1)
A
(S2)
F
11
3 - ISOLEMENT D ’UN SYSTÈME MATÉRIEL
3.1 - Principe d ’action-réaction
(2/3)
Le seul point de contact entre ces deux solides étant le point
A, nous pouvons en conclure, s ’il y a équilibre du système
[(S1) + (S2)], que :
F
A
F 1/2
(S1)
A
(S2)
F
F 2/1
L ’effort F2/1 exercé par le solide (S2) sur le solide (S1) est
égal en intensité mais de sens inverse à celui F1/2 exercé
par (S1) sur (S2).
12
3 - ISOLEMENT D ’UN SYSTÈME MATÉRIEL
3.1 - Principe d ’action-réaction
(3/3)
Remarques :
F1/2 et F2/1 sont des efforts internes (ou intérieurs) au système
[(S1) + (S2)], ils s ’annulent,
F et F sont des efforts externes,
F1/2 et F2/1 sont également des efforts extérieurs pour chacun
des solides pris séparément.
13
3 - ISOLEMENT D ’UN SYSTÈME MATÉRIEL
3.2 - Exemple
(1/3)
Étude de l ’équilibre d ’un madrier posé sur deux cales en bois :
F
B
A
14
3 - ISOLEMENT D ’UN SYSTÈME MATÉRIEL
3.2 - Exemple
(2/3)
Modélisation de l ’action des
cales sur la poutre
Isolation de la poutre par rapport à
son support
F
RB = F/2
RA = F/2
15
3 - ISOLEMENT D ’UN SYSTÈME MATÉRIEL
3.2 - Exemple
(3/3)
Modélisation des actions de
la poutre sur chaque cale
Isolation des cales par rapport à la
poutre
- RB
- RA
Principe
d ’action-réaction
Les actions des cales sur la poutre sont égales en
intensité, mais opposées en sens, aux actions16 de la
poutre sur chaque cale
4 - LES SOLLICITATIONS
4.1 - Notion de coupures
(1/5)
Remarque préliminaire :
Le but premier de la RdM étant de dimensionner une structure, il faut
connaître, en tout point de celle-ci les efforts qui transitent.
Considérons une poutre soumise à un ensemble d ’effort externe :
Isolons cette poutre
de ses appuis
17
4 - LES SOLLICITATIONS
4.1 - Notion de coupures
(2/5)
Redonnons du volume à cet élément composant la structure :
y
x
z
18
4 - LES SOLLICITATIONS
4.1 - Notion de coupures
(3/5)
Coupons cette poutre à l ’abscisse (x) et isolons le tronçon de gauche :
y
M
G
z
X
N
x
V
Ce tronçon de poutre est en équilibre sous l ’action :
- des efforts externes appliqués sur le tronçon de gauche conservé
- des efforts internes (M,N et V) correspondant aux efforts résultants
(calculés au CdG de la section considérée) de l ’ensemble des efforts
externes agissant sur le tronçon de droite
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4 - LES SOLLICITATIONS
4.1 - Notion de coupures
(4/5)
Coupons cette poutre à l ’abscisse (x) et isolons le tronçon de droite :
y
V’
M’
X
N’
G
x
z
Ce tronçon de poutre est en équilibre sous l ’action :
- des efforts externes appliqués sur le tronçon de droite conservé
- des efforts internes (M’,N’ et V’) correspondant aux efforts résultants
(calculés au CdG de la section considérée) de l ’ensemble des efforts
externes agissant sur le tronçon de gauche
20
4 - LES SOLLICITATIONS
4.1 - Notion de coupures
(5/5)
V’
M
M’
N
X
N’
G
V
M’= -M
Principe d ’action - réaction
N’= -N
V’= -V
21
4 - LES SOLLICITATIONS
4.2 - Tracé du diagramme V(x)
(1/3)
Exemple :
M>0
y
F = 5 kN
XA = 0 kN
XA
YA
x
L/2
L/2
YB
x
YA = (F/2) = 2,5 kN
PFS
YB = (F/2) = 2,5 kN
L=6m
Convention de droite :
V(x)
M
N
+ 2,5 kN
F
V
0  x < (L/2)
(L/2) < x  L
V(x) = + [ YB - F] = - 2,5 kN
V(x) = + [ YB] = + 2,5 kN
x
-2,5 kN
L/2
22
4 - LES SOLLICITATIONS
4.2 - Tracé du diagramme V(x)
(2/3)
Exemple :
M>0
y
F = 5 kN
XA = 0 kN
XA
x
YA
L/2
L/2
YB
x
YA = (F/2) = 2,5 kN
PFS
YB = (F/2) = 2,5 kN
L=6m
Convention de gauche :
V’
M’
N’
X
V(x)
G
+ 2,5 kN
F
0  x < (L/2)
(L/2) < x  L
V(x) = - [ YA] = - 2,5 kN
V(x) = - [ YA - F ] = + 2,5 kN
x
-2,5 kN
L/2
23
4 - LES SOLLICITATIONS
4.2 - Tracé du diagramme V(x)
(3/3)
Remarques :
V(x)
+ 2,5 kN
F
x
-2,5 kN
L/2
1 - Les diagrammes sont identiques avec les deux conventions
2 - Les maximum sont situés, dans ce cas de figure, aux appuis
(valeurs absolues des réactions aux appuis déjà calculées).
3 - Le « saut » observé pour l ’abscisse (L/2) correspond en intensité à F
24
4 - LES SOLLICITATIONS
4.3 - Tracé du diagramme M(x)
(1/2)
Exemple :
M>0
y
F = 5 kN
XA = 0 kN
XA
YA
x
L/2
L/2
YB
L=6m
x
PFS
YA = (F/2) = 2,5 kN
YB = (F/2) = 2,5 kN
Convention de droite :
0  x  (L/2)
M
N
M(x) = + {+[YB(L-x)] -[F((L/2)-x)]}
= (F/2).(L-x) - F ((L/2)-x)
V
= -(F/2).x + F.x = (F/2) . x = 2,5.x
(L/2)  x  L
M(x) = + [ YB. (L-x)] = (F/2).(L-x) = 2,5.(6-x)
25
4 - LES SOLLICITATIONS
4.3 - Tracé du diagramme M(x)
(2/2)
Diagrammes :
x
M(x) = 2,5.x
+
0  x  (L/2)
(L/2)  x  L M(x) = 2,5.(6-x)
Mmax = 7,5 kN.m
M(x)
L/2
L/2
Remarques :
1 - En adoptant la convention de « gauche » nous aurions obtenu le même diagramme
2 - Il y a continuité du diagramme au changement d ’équation
3 - L ’abscisse du maximum correspond à l ’abscisse pour laquelle V(x) est nulle
26
4 - LES SOLLICITATIONS
4.4 - Tracé du diagramme N(x)
Exemple :
M>0
y
F = 5 kN
XA = 0 kN
XA
YA
x
L/2
L/2
YB
x
YA = (F/2) = 2,5 kN
PFS
YB = (F/2) = 2,5 kN
L=6m
Convention de droite :
M
0  x  (L/2)
N(x) = + [0] = 0 kN
(L/2)  x  L
N(x) = + [ XA ] = 0 kN
N
V
N(x)
27
x
4 - LES SOLLICITATIONS
4.5 - Points particuliers
4.5.1 - Rotule interne
Remarque :
Rotule interne
Une équation suplémentaire
dans la structure
M(rotule) = 0
F = 8 kN
Exemple :
4 inconnues
p = 3 kN /m
(XA,YA,MA et YC)
C
B
PFS
3 équations
L/2
h = 4,00 m
A
MB = 0
L = 2,00 m
1 équation
4 équations
28
4 - LES SOLLICITATIONS
4.3 - Cas
4.5
Tracé
particuliers
du diagramme M(x)4.5.2 - Effet de la continuité(3/3)
(1/3)
Signification « physique » du signe de M(x) :
x
p (kN/m)
Poutre
isostatique
?
+
L
f0
Mmax = (p.L²)/8
M(x)
L/2
L/2
Le moment ne changeant pas de signe, les fibres de la poutre seront :
- comprimées en partie haute de chaque section composant la poutre
(la flexion ne se fait que dans un sens),
- tendues en partie basse de chaque section composant la poutre.
La flèche maximum sera égale à :
fo = (5.p.L4)/(384.E.I)
29
4 - LES SOLLICITATIONS
4.3 - Cas
4.5
Tracé
particuliers
du diagramme M(x)4.5.2 - Effet de la continuité(3/3)
(2/3)
Signification « physique » du signe de M(x) :
p (kN/m)
Poutre
continue à
2 travées
L
L
f
f = 0,41 fo
Mmax = - (p.L²)/8 = - 0,125 p.L²
-
x
+
+
M = 0,07 p.l²
M(x)
Fibres supérieures tendues
Moment négatif
Fibres inférieures comprimées
30
4 - LES SOLLICITATIONS
4.3 - Cas
4.5
Tracé
particuliers
du diagramme M(x)4.5.2 - Effet de la continuité(3/3)
(3/3)
La prise en compte de la continuité physique entre les tronçons de la poutre
est favorable du point de vue du dimensionnement :
1 - Valeur moins importante de M en travée,
2 - Flèche moins importante en travée.
Gain en matériau
31
4 - LES SOLLICITATIONS
4.3 - Formulaire
4.6
Tracé du diagramme
RdM
M(x)
POUTRE
Y
REACTIONS
D'APPUIS
Y
A
p
AA
B
B
pL
2
pL
YB 
2
(3/3)
(1/2)
EFFORT TRANCHANT
YA 
V est maxi sur
les appuis: V =
L
Y
A
F
Y
C
B
B
L /2
A A
MOMENT FLECHISSANT
F
2
F
YB 
2
YA 
L
Moment maxi à L / 2:
pL
2
V sur les appuis
F
V=
2
V est maxi en C:
M max 
pL2
8
Moment maxi à L / 2:
FL
4
Sur appuis M = 0
FLECHE MAXIMUM
5pL4
f max  
384 EI
f max  
M max 
FL3
48 EI
V=F
Y
F
A
a
Y
B
b
A A
C
B
Fb
L
Fa
YB 
L
YA 
L
Y
YA
YA  pL
CA
A
C
A
V est maxi en A :
2
p
B
L
V sur les appuis
Fb
Fa
VA =
,VB 
L
L
V est maxi en C:
V=F
pL
CA 
2
V = pL
Moment maxi en C :
fmax 
Fab
M max 
L
Sur appuis M = 0
Fa  b L  a   2



3EIL  3 
Mom entmaxien A :
M max
pL2

2
3
pL4
f max  
8 EI
32
4 - LES SOLLICITATIONS
4.3 - Formulaire
4.6
Tracé du diagramme
RdM
M(x)
Y
YA
YA  F
C A  FL
F
AA
p
C
C
A
Y
F
b
p
FL3
3EI
V est maxi
CA  Fa
de A à C :
Moment maxi en A :
M max  Fa
fmax 

Fa 2
2 L  a 
3EI
B
L
YA  F
charge total e
F
CA 
FL
3
V est maxi en A :
V=F
Moment maxi en A :
FL
M max 
3
f max  
FL3
15EI
Moment maxi en A :
FL
M max  2
3
fmax  
11FL3
60EI
B
L
YY
A
charge totale:F
YA  F
CA 
AA
C
CA
YA  F
V=F
C
A
C
C
A
f max  
L
YA
AA
de A à B :
Moment maxi en A :
M max  FL
B
a
C
V est maxi
V=F
A
A
A
(3/3)
(2/2)
2 FL
3
V est maxi en A :
V=F
B
L
33
4 - LES SOLLICITATIONS
4.3 - Relations
4.7
Tracé du diagramme
entre N, M et
M(x)
V
(3/3)
Ces relations permettent de déterminer plus rapidement l ’expression
de V(x) sans avoir à écrire les équations d ’équilibre.
y
qx
qy
V+dV
M+dM
-M
V(x) = - dM(x)/dx
-N
N+dM
-V
x
qy(x) = dV(x)/dx
qx(x) = dN(x)/dx
dx
34
5 - EXERCICES
F = 10 kN
p = 2 kN /m
A
B
L/4
L/4
L/2
L = 6,00 m
1- Déterminer les réactions aux appuis
2- Tracer les diagrammes M,N et V
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