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CT57
(année scolaire 2001/2002)
RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
Contraintes - Déformations
Dimensionnement de structures simples
JM CHATEL
1
Résistance des matériaux
1 - Les états limites
2 - Loi de comportement de l ’acier
3 - Dimensionnement d ’une barre soumise à de la traction
4 - Dimensionnement d ’une barre soumise à de la compression
5 - Dimensionnement d ’une poutre soumise à de la flexion simple
6 - Dimensionnement d ’une poutre soumise à de la flexion déviée
7 - Dimensionnement d ’une poutre soumise à de la flexion composée
8 - Équation de la déformée - Théorie du flambement
2
1 - ÉTATS LIMITES
1.1 Convention de notation
Les charges fixes (permanentes) seront désignées par la lettre :
G
(charge répartie en kN/m²)
g
(charge linéïque en kN/ml)
Les charges variables seront désignées par la lettre :
Q
(charge répartie en kN/m²)
q
(charge linéïque en kN/ml)
3
1 - ÉTATS LIMITES
1.2 État limite ultime (ELU )
Il met en cause la sécurité des personnes
(limite avant rupture de la structure)
CAPACITÉ RÉSISTANTE > EFFORTS INTERNES
Majoration des charges
Combinaison (ELU) :
Pu = 1,35 . G + 1,5 . Q
pu = 1,35 . g + 1,5 . q
4
1 - ÉTATS LIMITES
1.3 État limite de service (ELS )
Il est lié aux conditions normales d ’exploitation et de durabilité
(limite avant arrêt d ’exploitation)
Exemple : limitation de la flèche prise par une
poutre supportant un pont roulant
Combinaison (ELS) :
Pserv = G + Q
pserv = g + q
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2 - LOI DE COMPORTEMENT DE L ’ACIER
L ’essai de traction
(1/3)
La loi de comportement de l ’acier est obtenue par la réalisation d ’un
essai de traction sur une éprouvette cylindrique.
Surface :
A=.R²
L
F
F
L
L
Au cours de cet essai, il est possible
de définir deux grandeurs :
[MN/m² = MPa]
 =F /A
 = L / L
[MN]
[m²]
(appelée contrainte)
(allongement relatif ou
déformation relative)
[exprimé en o/oo]
[m] [m]
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2 - LOI DE COMPORTEMENT DE L ’ACIER
L ’essai de traction
(2/3)
 en MPA
Tronçon OA :
Phase élastique linéaire
C
A
B
D
Allongements proportionnels
aux efforts appliqués
E
O
 en
o\
OO
E (pente de la droite) module d ’YOUNG
pour de l ’acier courant E = 210 000 MPa
=E.
[MPa] [MPa]
[o/oo]
7
2 - LOI DE COMPORTEMENT DE L ’ACIER
L ’essai de traction
(3/3)
 en MPA
Tronçon AB :
Palier plastique
C
e
A
B
D
E
O
Déformation
permanente
 en
Allongement sous effort constant
Relâchement
de l ’effort
o\
Déformation
permanente
OO
Le domaine élastique linéaire est délimité par :
e = 240 MPa
(contrainte limite élastique pour des aciers courants)
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3 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA TRACTION
(1/3)
Nu
Répartition uniforme
de l ’effort sur toute la
surface
Coupe
fictive
Mise en évidence
d ’une contrainte
uniforme :
 = Nu / A
x
Nu
Remarque :
Pondéré
ELU
L ’effort Nu à considérer, correspond à l ’effort
normal déterminé à l ’endroit de la coupure.
9
3 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA TRACTION
Équation d ’équarrissage
(2/3)
Le matériau devant travailler dans son domaine élastique, le
dimensionnement consistera donc à adapter la section de la pièce de façon à
ce que :
Nu
=
Nu / A 

e(traction)
x
Remarque :
Par convention, nous considérerons que les contraintes de
traction seront négatives (harmonisation avec le béton armé)
Nu
10
3 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA TRACTION
Exemple - Dimensionnement d ’un tirant
P
(3/3)
C
La barre B-C est en traction
B
A
Données complémentaires :
Effort normal maximum Numax = 0,2 MN (20 tonnes)
La barre B-C sera en acier courant :
E = 210 000 Mpa
e = 240 MPa
Question :
Dimensionner la barre B-C
11
4 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA COMPRESSION
4.0 - Remarque préliminaire
En faisant subir à une éprouvette d ’acier un effort croissant de compression,
nous obtenons une courbe inverse à celle observée avec l ’essai de traction
( sans tenir compte des problèmes de flambement).
TRACTION
e (traction)
E
 en o\OO
E
e (compression)
COMPRESSION
 en MPA
e (compression) = e (traction)
= 240 ou 360 MPa
(aciers classiques en CM)
12
4 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA COMPRESSION
4.1 - Principales étapes
Pour des éléments de structure soumis à de la compression (Nu0, Mu=0
et Vu=0), il y a lieu de mener deux calculs :
1 - Dimensionnement fonction de la contrainte limite
(en adoptant les coefficients de majoration sur les
charges définies aux ELU).
2 - Vérification au flambement
(en adoptant les coefficients de majoration sur les
charges définies aux ELU).
13
4 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA COMPRESSION
4.2 - Dimensionnement à la contrainte limite
Démarche identique à celle suivie dans le cas de la traction (au signe
prêt
travailler en valeur absolue)
=
Nu / A 

e(compression)
14
4 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA COMPRESSION
(1/2)
4.3 - Vérification au flambement
L ’effort normal (N) doit être inférieur à l ’effort normal critique défini par
EULER, à savoir :
Nu < Nk
avec
Nk =
² . E . A
(maxi)²
=
² . E . Imini
(Lf)²
E : module d ’YOUNG (Mpa)
avec
A : surface de la pièce (m²)
maxi : élancement mécanique maximum (sans dimension)
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4 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA COMPRESSION
(2/2)
4.3 - Vérification au flambement
Élancement mécanique :
maxi =
Lf
longueur de flambement (fonction des conditions aux appuis)
i mini
Rayon de giration minimum =
Imini
A
Longueur de flambement :
Lo :
longueur libre
Lo
Lf = Lo
Lo
Lf = 0,7 Lo
Lo
Lf = 0,5 Lo
Lo
Lf = 2 Lo
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4 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA COMPRESSION
4.4 - Exemple
Données complémentaires :
P
Effort normal maximum Numax = 0,2 MN (20 tonnes)
B
A
La barre B-C sera en acier courant :
E = 210 000 Mpa
h = 4,00 m
C
e = 240 MPa
Questions :
1 - Dimensionner à la contrainte limite la barre B-C
2 - Vérifier au flambement l ’élément calculé
3 - Proposer un autre choix de profilé si le premier n ’est pas satisfaisant
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5 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION SIMPLE
5.1 - Principales étapes
Pour des éléments de structure soumis à de la flexion simple (Nu= 0,
Mu  0, Vu  0, Nserv= 0, Mserv  0 et Vserv  0), il y a lieu de mener deux
calculs :
1 - Dimensionnement fonction de la contrainte limite
(en adoptant les coefficients de majoration sur les
charges définies aux ELU).
2 - Vérification des flèches limites
(aux ELS c ’est à dire sans majoration des charges).
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5 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION SIMPLE
5.2 - Dimensionnement à la contrainte limite aux ELU
(1/4)
Le principe de vérification est toujours le même, à savoir :
min(traction)

max(compression)
e

(traction)
e
(compression)
(Pour les zones tendues)
(Pour les zones comprimées)
La première étape consiste donc à connaître :
- la min(traction)
- la max(compression)
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5 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION SIMPLE
5.2 - Dimensionnement à la contrainte limite aux ELU
(2/4)
Rappel : Répartition des contraintes dans une section droite soumise à un
effort normal de compression
Nu
Nu
Coupure fictive
Les sections droites se
« rapprochent », la déformation ()
est identique quelque soit le point
considéré de la section.
Répartition uniforme
des contraintes
 = Nu / A
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5 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION SIMPLE
5.2 - Dimensionnement à la contrainte limite aux ELU
(3/4)
Répartition des contraintes dans uns section droite soumise à de la flexion
simple (Mu  0, Vu  0 et N = 0) :
P
Les sections droites « pivotent », la
déformation () varie linéairement dans
le sens de la hauteur de la poutre.
Coupure fictive
Répartition
bi-triangulaire
des contraintes
21
5 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION SIMPLE
5.2 - Dimensionnement à la contrainte limite aux ELU
(4/4)
Répartition des contraintes dans uns section droite soumise à de la flexion
simple (Mu  0, Vu  0 et N = 0) :
Par définition, la contrainte existante
pour la fibre d ’altitude z est égale à :
(z) =
z
zmax= h/2
h
y’
En compression
Mu
y ’y
max =
Mu
min =
Mu
y ’y
.z
. zmax > 0
y
zmin= - h/2
z’
En traction
y ’y
. zmin
22
<0
5 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION SIMPLE
5.3 - Vérification des flèches limites aux ELS
La vérification de la structure étudiée vis à vis de la flèche est une
étape primordiale.
Permet de s ’assurer que le bâtiment pourra être utilisé
sans problème dans le cas d ’un chargement
habituel (sans pondération des charges).
Condition à vérifier :
f < f
f : flèches calculées aux ELS en
utilisant les formules de la RDM
f : flèches admissibles définies
par la réglementation
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5 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION SIMPLE
5.4 - Exemple d ’application
Étude d ’une poutre console supportant un auvent de gare :
Schéma mécanique :
q = 100 daN/m
g = 20 daN/m
B
A
2/3 L
F = 100 daN
L = 3,00 m
Questions :
1 - Calculer le moment fléchissant et l ’effort tranchant maxi en A
2 - Dimensionner aux ELU la poutre A-B (contrainte limite = 240 Mpa)
3 - Calculer la flèche maximum au point B et la comparer avec la flèche limite ( f = L/200)
4 - Proposer un nouveau profilé si cela est nécessaire
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6 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION DÉVIÉE
6.1 - Définition
Flexion déviée
(1/2)
La poutre est chargée suivant deux directions
z
pZ
z
pz
py
py
y
x
Coupe verticale
de la poutre
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6 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION DÉVIÉE
6.1 - Définition
(2/2)
z
pZ
z
pz
py
py
y
x
Flèche suivant l ’axe z
Charge pz
Moment fléchissant My (mobilise l ’inertie Iy)
Compression
Répartition bi-triangulaire des contraintes
dans le sens de la hauteur de la poutre
Flèche suivant l ’axe y
Charge py
Moment fléchissant Mz (mobilise l ’inertie Iz)
Répartition bi-triangulaire des contraintes
dans le sens de la largeur de la poutre
Traction
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6 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION DÉVIÉE
6.2 - Principales étapes du dimensionnement ou de la vérification
(1/2)
Composition des diagrammes de contraintes :
pz
z
Fibre étant la plus
sollicitée en compression
Compression
Traction
y
z
y
z
Fibre étant la plus
sollicitée en traction
py
Compression
y
Traction
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6 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION DÉVIÉE
6.2 - Principales étapes du dimensionnement ou de la vérification
(2/2)
Le principe de dimensionnement est le même que celui adopté dans le cas de la
flexion simple.
La difficulté réside dans le fait qu ’il faut raisonner dans les deux directions y et z du
profilé (N= 0, My  0, Vy  0, Mz  0 et Vz  0).
1 - Dimensionnement ou vérification fonction de la contrainte limite
(en adoptant les coefficients de majoration sur les charges définies
aux ELU).
2 - Dimensionnement ou vérification en fonction des flèches limites
(aux ELS c ’est à dire sans majoration des charges).
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6 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION DÉVIÉE
6.3 - Dimensionnement ou vérification à la contrainte limite aux ELU
(1/2)
Cas particulier : Section possédant deux axes de symétrie
min(traction)
Compression
z
max(compression) < e
=
pz
Cette condition se traduit de la façon suivante :
py
max =
y
Traction
Soit
max =
Muy
y
Muy
Wy
. zmax +
+
Muz
Wz
Mu
z
. ymax
z
max < e
Rappel : Wy et Wz correspondent aux modules d ’inertie de la section considérée
( Wy = Iy / | zmax | et Wz = Iz / | ymax | )
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6 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION DÉVIÉE
6.3 - Dimensionnement ou vérification à la contrainte limite aux ELU
Remarque :
Muy
Wy
+
Muz
Wz
(2/2)
< e
1 - Les grandeurs Wy et Wz étant indépendantes mathématiquement l ’une de
l ’autre, le dimensionnement du profilé passe obligatoirement par une phase
itérative (sauf cas particuliers).
2 - Si les caractéristiques Wy et Wz du profilé sont connues (dimensionnement
préalable fonction de la flèche limite), la vérification à la contrainte est immédiate.
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6 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION DÉVIÉE
6.4 - Vérification ou dimensionnement fonction des flèches limites aux ELS
Cette étape est dans la majorité des cas la plus contraignante
Permet de s ’assurer que le bâtiment pourra être utilisé
sans problème dans le cas d ’un chargement
habituel (sans pondération des charges).
Condition à vérifier :
z
ftotale < f
p
pz
py
y
avec
f totale = fy² + fz²
Les valeurs fy et fz étant obtenues à partir des formulations RdM
fy
fz
ftotale
31
(1/2)
6 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION DÉVIÉE
6.4 - Vérification ou dimensionnement fonction des flèches limites aux ELS
Déformations maximum des éléments fléchis :
(poutres de chemins de roulement misent à part)
Eléments d'ouvrage
Déplacement maximum
Toitures accessibles uniquement pour l'entretien
L / 200
Toitures normalement accessibles
L / 250
Planchers (sans équipement particulier)
L / 250
Planchers et toitures supportant des matériaux fragiles
L / 250
Planchers supportant des poteaux
L / 400
Critère d'aspect du bâtiment
L / 250
32
(2/2)
6 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION DÉVIÉE
6.5 - Exemple (dimensionnement d ’une panne)
Données complémentaires :
Poids couverture 36 daN/m²
Charge de neige 45 daN/m²
Acier : E = 210 000 Mpa
e = 2,50 m
e = 240 MPa
Question :
Proposer un dimensionnement
économique pour les pannes
Pente de la toiture = 20 %
33
7 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION COMPOSÉE
7.1 - Définition
Flexion composée
(1/2)
L ’élément est soumis à :
- un moment fléchissant (flexion),
- un effort normal (compression).
z
z
pZ
pz
N
N
x
N
Coupe verticale
de la poutre 34
y
7 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION COMPOSÉE
7.1 - Définition
(2/2)
Composition des diagrammes de contraintes :
pz
max = My / Wy
z
Compression
Traction
max (compression) =
y
z
Diagramme des
déformations 
A
+
My
Wy
Diagramme des
contraintes 
max (traction) =
Compression
N
N
N
A
-
y
max = N / A
35
My
Wy
7 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION COMPOSÉE
7.2 - Méthode de vérification
La vérification de ce type d ’élément de structure peut être obtenu
directement par lecture directe sur abaques (résultats d ’essais).
Méthode :
1 - Calcul de N (contrainte générée par l ’effort normal Nu),
2 - Calcul de F (contrainte générée par Mu),
3 - Calcul de l ’élancement mécanique ,
4 - Vérification sur l ’abaque par lecture directe.
Cette vérification revient également à résoudre l ’inéquation suivante :
K1 .  N + K2
. F
<
e
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7 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION COMPOSÉE
7.3 - Exemple d ’application
P
Un premier dimensionnement du poteau
B-C (sous l ’effet unique d ’un effort
normal Numax = 0,2 MN) nous a conduit à
retenir un HE 100 B.
B
v
A
h = 4,00 m
C
Ce profilé est-il toujours correctement dimensionné, si l ’on considère qu ’il
reprend également une charge horizontale de vent ?
v = 5,25 kN/m
37
7 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION COMPOSÉE
7.4 - Noyau central d ’une section
(1/3)
- un effort normal N
Soit une section droite soumise à :
- un moment fléchissant M
M
N
e (excentricité)
X G
N
Avec (e) tel que :
e=M/N
Ce schéma peut
être remplacé par
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7 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION COMPOSÉE
7.4 - Noyau central d ’une section
(2/3)
Le noyau central d ’un section correspond à la zone dans laquelle l ’effort N
(excentré par rapport au centre de gravité) ne génère pas de contrainte de traction.
max (compression) =
N .e
N
A
+
Wy
N
e (excentricité)
X G
Diagramme de
contraintes
Axe neutre
max (traction) =
N.e
N
A
-
= 0
Wy
39
7 - DIMENSIONNEMENT D ’UNE BARRE SOUMISE À DE LA FLEXION COMPOSÉE
7.4 - Noyau central d ’une section
(3/3)
Exemple : Cas d ’un fondation rectangulaire soumise à un effort vertical excentré
e
Nu
h
X
G
G
b
Coupe verticale
dans le sens de
la largeur b
A partir de quelle valeur (e), le sol n ’est-il plus
entièrement comprimé sous l ’assise de la fondation ?
40
8 - ÉQUATION DE LA DÉFORMÉE - THÉORIE DU FLAMBEMENT
(1/3)
8.1 - Équation de la déformée
Considérons cette poutre isostatique :
z
z
pz
y
x
Charge appliquée
suivant l’axe z
Coupe verticale
de la poutre
Apparition : - d ’une flèche dans le sens de l ’axe z
- d ’un moment fléchissant My(x)
Les sections droites pivotent autour de l ’axe y, en mobilisant l ’inertie Iy
41
8 - ÉQUATION DE LA DÉFORMÉE - THÉORIE DU FLAMBEMENT
(2/3)
8.1 - Équation de la déformée
z
z
pz
y
x
z(x)
Coupe verticale
de la poutre
Par définition, l ’équation de la déformée est obtenue à
partir de la formulation suivante :
E . Iy . z’’(x) = My(x)
42
8 - ÉQUATION DE LA DÉFORMÉE - THÉORIE DU FLAMBEMENT
(3/3)
8.1 - Équation de la déformée
Exemple :
z
z
pz
z(x)
y
x
Coupe verticale
de la poutre
1 - Déterminer l ’expression de la déformée de cette poutre
2 - Déterminer l ’expression de la flèche maximum
43
8 - ÉQUATION DE LA DÉFORMÉE - THÉORIE DU FLAMBEMENT
8.2 - Théorie du flambement
44
QUESTIONS
1 - Pratique du calcul de structure ?
2 - Étapes suivies par un projeteur pour
élaborer les plans d ’exécution d ’un
ouvrage ?
45
1 - PRISE EN COMPTE ET
ETUDE DE L ’ESQUISSE
46
2 - VALIDATION DU SYSTEME
PORTEUR A CHAQUE ÉTAGE
Vues en plan
Coupes
47
3 - RECUEIL DES CONTRAINTES EXTÉRIEURES
NEIGE
(RÈGLE N84)
VENT
(RÈGLE NV65)
Type de fondations ?
Étude de sol obligatoire
SÉISME
RECOMMANDATIONS AFPS90
48
4 - RECUEIL DES CONTRAINTES INTERNES (1/2)
A) Prise en compte des charges fixes
Poids propre des éléments composant le bâtiment
isolation+ étanchéité
béton
Régi par la
norme
NFP 06.001
Poids des équipements fixes
Ex : machine outil
49
4 - RECUEIL DES CONTRAINTES INTERNES (2/2)
B) Prise en compte des charges variables
Fonction de l ’utilisation
des locaux (ex : bureau,
archives,…)
Régi par la
norme
NFP 06.004
BOUM !
C) Prise en compte des contraintes
réglementaires (acoustique, incendie,…)
Nouvelle réglementation acoustique
Règlements de sécurité incendie(ERP, habitation,…)
50
5 - MODÉLISATION DE LA
STRUCTURE PORTEUSE
STRUCTURE
RÉELLE
MODÉLISATION
GLOBALE
FILAIRE
MODÉLISATION
DE CHAQUE
ÉLÉMENT
CHARGE FIXE
51
6 - DESCENTE DE CHARGES
ET CALCUL RDM
MODÉLISATION ET
IDENTIFICATION DES CHARGES
CALCUL DE DESCENTE
DE CHARGES
EFFORTS
? AU SOL ?
CALCUL DE RDM
EFFORTS
INTERNES
52
7 - PRISE EN COMPTE DES LOIS DE
COMPORTEMENT DES MATÉRIAUX
DÉTERMINATION DES LIMITES ACCEPTABLES (avant
rupture ou limitation des déformations) POUR CHAQUE
MATÉRIAU (ACIER, BÉTON, SOL, ….)
53
8 - VÉRIFICATION DE L ’ÉQUILIBRE GÉNÉRAL ET
DIMENSIONNEMENT DE CHAQUE ÉLÉMENT
COMPOSANT LA STRUCTURE
CAPACITÉ RÉSISTANTE > EFFORTS INTERNES
!
Coefficients de sécurité
54
9 - PLANS D ’EXÉCUTION
RÉALISATION DE L ’OUVRAGE
55
QUESTIONS ?
56
BRAVO !
A bientôt pour de nouvelles aventures !
57