Transcript prezentacja 1 ()

METODA MONTE CARLO
Numeryczne obliczanie całki
oznaczonej
Spis treści
•
•
•
•
•
•
Rys historyczny
Metoda Igły Buffona
Objaśnienie metody MC
Algorytm metody Monte
Wady i zalety MC
Prezentacja zastosowania
Rys historyczny
• G. Buffon - 1777r. Prawdopodobnie jednym z
najwcześniejszych udokumentowanym
użycie próbkowania losowego do obliczenia
wielkośći nielosowej była „metoda igły”,
która polegała na rzuceniu igły na poziomą
płaszczyznę pokrytą równoległymi prostymi.
• M. Laplace – 1886r. – wyznaczenie wartości
liczby przy pomocy metody Buffona.
• Lord Kelvin – 1901r. – obliczanie pewnych
całek w kinetycznej teorii gazów przy użyciu
próbkowania losowego.
Rys historyczny cd.
W. S. Gosset – 1908r. – podobne losowanie
pomogło mu w odkryciu rozkładu współczynnika
korelacji oraz potwierdzeniu rozkładu t-Studenta.
• E. Fermi – ok.1930r. – eksperymenty losowania
numerycznego dotyczące dyfuzji i transportu
neutronów w reaktorach jądrowych (skonstruował
FERMIAC – mechaniczne urządzenie losujące).
• •J. von Neumann, S. Ulam, N. Metropolis, R.
Feynman i in. –ok. 1940r. – pierwsze na dużą skalę
rachunki oparte o użycie liczb losowych; dotyczyły
rozpraszania i absorpcji neutronów w ramach
projektu ,,Manhattan”. Nazwa ,,Monte Carlo” została
wymyślona jako kryptonim dla tego typu rachunków
i odpowiednich metod matematycznych.
•
Metoda igły Buffona
W statystyce matematycznej, Igła Buffona jest
jednym z najpopularniejszych problemów
prawdopodobieństwa geometrycznego. Problem
został sformułowany w 1733 przez Georges'aLouisa Leclerca, hrabiego Buffon, a w 1777
podał on jego rozwiązanie . Opisany w
problemie eksperyment jest statystyczną
symulacją pozwalającą oszacować liczbę π.
Otrzymana metoda estymacji liczby π należy do
klasy metod Monte Carlo.
Metoda igły Buffon cd.
• Igłę o długości l rzucamy losowo na poziomą
płaszczyznę pokrytą równoległymi liniami prostymi o
odstępie L (L ≥ l). Jeżeli rzucona igła przetnie linię, to
liczymy ,,trafienie”, w przeciwnym wypadku liczymy
,,chybienie”. Przez zliczanie trafień i chybień
wyznaczyć wartość liczby π.


n
2l
2 Nl
P  N
 P 
 
N
 


N
L
nL
Obliczanie całki za pomocą metody
MC
Niech X1,X2, . . .Xn będzie ciągiem niezależnych zmiennych
losowych o jednakowym rozkładzie jednostajnym na przedziale [a,b]
oraz niech f będzie funkcja rzeczywista taka, ze Ef(X1) istnieje i jest
skończona. Przy powyższych założeniach f(X1), f(X2), . . . f(Xn) jest
także ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym
rozkładzie, przy czym istnieje wartość oczekiwana i jest skończona
b
1
Ef ( X 1 ) 
f ( x)dx

ba a
Z Mocnego Prawa Wielkich Liczb Kołmogorowa mamy:
n
b
1
z pr.1
1
f (Xk )
 Ef ( X 1 ) 
f ( x)dx


n k 1
n
ba a
Algorytm obliczania przybliżonej
wartości całki oznaczonej
Możemy zatem do obliczania przybliżonej wartości
całki oznaczonej
zastosować
następujący
b
algorytm:  f ( x ) dx
a
I losujemy niezależnie liczby u1, u2, . . . , un z
rozkładu jednostajnego U[0, 1];
II przekształcamy xk  a  (b  a)uk dla k = 1, 2,...,n
otrzymując w ten sposób próbkę z rozkładu
U(a,b);
III jako przybliżoną wartość całki przyjmujemy
b

a
ba n
f ( x)dx 
f (Xk )

n k 1
Wady i zalety metody MC
• Zalety
możliwość obliczenia złożonych całek, gdy
bardziej niż precyzja liczy się szybkość
rosnąca moc obliczeniowa komputerów
prosta forma zastąpienia rozwiązań
analitycznych
• Wady
eksperyment dla skończonej liczby prób
wyniki zależą od generatora liczb
pseudolosowych
Autorzy
•
•
•
•
•
•
Piotr Szczepański
Piotr Sobczak
Radosław Misiuk
Michał Cieślak
Piotr Lemański
Wojciech Fabiańczuk