Transcript Wyklad 11

Programowanie
w VBA
Metody numeryczne część 3.
Całkowanie metodą Eulera i Simpsona.
Krztyna teorii
Dana jest funkcja f(x).
Jeśli jest ona ciągła w przedziale [a,b] i znana jest
funkcja F(x) spełniająca warunek: F’(x)=dF(x)/dx=f(x)
to całkę oznaczoną oblicza się ze wzoru:
b
 f ( x)dx  F (b)  F (a)
a
Jeżeli funkcja F(x) nie istnieje lub jest zbyt trudna do
wyznaczenia metodami analitycznymi, można do
obliczenia całki oznaczonej użyć metody numerycznej.
Potrzebne są do tego wartości w punktach funkcji lub
wyznaczone takie wartości w wyniku eksperymentu.
Całka i kwadratura
Całkowanie numeryczne (kwadratura numeryczna) – obliczenie
przybliżonej wartości całki przez sumowanie pól tworzących przybliżony
obszar całkowania pod krzywą funkcji. Im większa ilość tych podpól
(pionowych "pasków" o szerokości Δx), tym dokładniejsze oszacowanie
całki – przy nieskończonej ilości równo rozmieszczonych pól jest to po
prostu dokładny obszar całki, taki jak ze wzoru na całkę oznaczoną (czyli
suma pól o nieskończenie małej szerokości - dx).
Y
X
a
b
Metoda Newtona-Cotesa
Polega na podzieleniu zakresu całkowania [a,b]
na n równych odcinków h ( h=Δx=(b-a)/n ), gdzie
miejsca podziału są nazywane "węzłami"
interpolacji (xi). Następnie zliczamy pola kolejnych
obszarów ze wspólnego wzoru, znając wartości
funkcji w węzłach (lub licząc je na potrzeby
całkowania numerycznego). Dokładność
wyznaczenia całki zależy od ilości podziałów, a
także od tego, ilu węzłów użyjemy do obliczenia
pola pojedynczego podpola.
Metoda prostokątów
Metoda polega na obliczeniu sumy pól prostokątów
utworzonych przez odcinek między węzłami xi i xi+1 i
wysokość w połowie tego odcinka:
P = ΣPi = h∙Σf(xi+h/2)
Y
X
b
xi+3
xi+2
xi+1 (xi+h)
xi+h/2
a (xi)
Metoda prostokątów
Y
X
b
a (xi)
xi+h/2
Y
X
b
xi+1 (xi+h)
xi+h/2
a (xi)
Metoda trapezów (Eulera)
Metoda polega na obliczeniu sumy pól
trapezów utworzonych przez węzły xi i xi+1
oraz wartości w punktach xi i xi+1:
P = ΣPi = h/2∙Σ(f(xi)+f(xi+1))
Y
X
b
xi+3
xi+2
xi+1 (xi+h)
a (xi)
Metoda trapezów (Eulera)
Y
X
b
a (xi)
Y
X
b
xi+1 (xi+h)
a (xi)
Metoda parabol (Simpsona)
Metoda polega na obliczeniu sumy pól
pod parabolami utworzonymi na trzech
kolejnych węzłach xi, xi+1 i xi+2:
P = ΣPi = h/3∙Σ(f(xi)+4∙f(xi+1)+f(xi+2))
Y
X
b
xi+3
xi+2
xi+1 (xi+h)
a (xi)
Y
Metoda parabol (Simpsona)
Nie da się z dwóch węzłów
X
b
a (xi)
Y
X
b
xi+1 (xi+h)
a (xi)
Wzory
Metoda prostokątów:
P = ΣPi = h∙Σf(xi+h/2)
Metoda Eulera:
P = ΣPi = h/2∙Σ(f(xi)+f(xi+1))
→ h/2∙((f(a)+f(b))+2∙Σf(xi))
Metoda Simpsona:
P = ΣPi = h/3∙Σ(f(xi)+4∙f(xi+1)+f(xi+2))
→ h/3∙((f(a)+f(b))+4∙Σf(xśrodkowe)+2∙Σf(xzewnętrzne))
Podobieństwo wzorów nie jest przypadkowe:
wszystkie są zbudowane na członach wielomianu
Lagrange'a (ogólna metoda Newtona-Cotesa).
Dokładność a potrzeba
Jakiej dokładności rzeczywiście trzeba?
d = 8,6 km
O = 27 km
Obliczenia inżynierskie:
ε = 3mm / 27km → 7 cyfr
znaczących
Obliczenia teoretyczne:
ε = ułamki J vs. dziesiątki MJ →
→ 8-9 cyfr znaczących
Błędy oszacowania
• Im mniejsze zakresy (odległości między
węzłami), więc im więcej podziałów – tym
dokładniejszy wynik;
• Z powyższego wynika, że im równiejszy podział,
tym lepiej (równe podprzedziały);
• Im wyższego stopnia wielomian przybliża całkę
wielomianu wyższego stopnia, tym dokładniejszy
wynik (zasadniczo metoda Simpsona jest lepsza
od Eulera) – dla danej liczby podziałów i
kryterium zbieżności;
• Im mniejsza krzywizna funkcji, tym dokładniejszy
wynik przy danej liczbie podziałów;