Transcript Wyk??ad 7

Tomasz Szumlak, WFiIS, 12/04/2013
1
Przypomnienie z poprzedniego wykładu: wyrażamy r (Y) Z.L. jako
funkcje (liniowe) n (X) niezależnych Z.L.
Macierz kowariancji (miara niepewności pomiarowych) dla zmiennych
niezależnych możemy zdefiniować jako:
Analogicznie zapiszemy dla zmiennej zależnej:
2
Prawo przenoszenia błędów – znając (pomiar) R.G.P. dla zmiennych X
(potrafimy wyznaczyć wartości oczekiwane, odchylenia standardowe
oraz kowariancje) możemy oszacować niepewności pomiarowe Z.L.
zależnej Y
Dla każdej Z.L. Yk możemy zastosować rozwinięcie w szereg Taylora:
Przez analogię do rozwinięcia funkcji 1 zmiennej:
3
Zapisując jawnie macierz T, jako:
Niepewności pomiarowe dla zmiennych zależnych, Y, otrzymamy z:
W ogólności, elementy macierzy kowariancji dla zmiennych Y, zależą nie
tylko od niepewności pomiarowych zmiennych X ale również od stopnia ich
skorelowania! W przypadku, gdy zmienne X są niezależne dostaniemy:
4
A teraz – dla rozluźnienia atmosfery – przykład…
Wykonujemy eksperyment polegający na pomiarze stałej grawitacji g
przy użyciu wahadła (spadek ciała w polu grawitacyjnym). Pomiaru
dokonujemy pośrednio, mierząc okres drgań wahadła oraz jego długość:
„Teoria”
Obserwacje
Niepewności
pomiarowe
5
Rozsądnym założeniem jest, że pomiary długości wahadła i czasu drgań są
niezależne. R.G.P. dla naszej zmiennej zależnej:
Używając zmierzonych wielkości, dostajemy:
Uwaga! Powyżej przykład numeryczny, zagadnienie wyznaczania wielkości
Y na podstawie eksperymentu oraz jej niepewności omówimy dokładniej
w dalszej części wykładu
6
Rozkład dwumianowy
Niezwykle użyteczny w zastosowaniach praktycznych, gdy mamy do czynienia, ze
zdarzeniami dzielącymi dane populacje na pary alternatyw, np. urządzenie
włączone/wyłączone, mężczyzna/kobieta, żywy/martwy itp. itd.
Zdarzenia takie nazywamy próbami Bernoulliego. Badając ciąg takich prób i
zakładając, że poszczególne próby są od siebie niezależne oraz charakteryzują się
stałym prob. sukcesu, p, i porażki, q, dochodzimy do formuły:
Pamiętając o tym, że (p+q) = 1, możemy pokazać, że dla rozkładu dwumiennego
mamy:
Np. rzucając trzema kostkami, prob. wyrzucenia dwóch „piątek” wynosi:
7
Wartość oczekiwana i wariancja dla rozkładu dwumianowego:
Istnieje dość duża liczba sposobów wyznaczenia E[X] oraz Var[X] dla rozkładu dwumianowego,
poniżej dwie metody wyznaczenia wartości oczekiwanej i jedna dla wariancji. Dla pojedynczej
próby, zmienna losowa Xk przyjmuje postać:
zmienną X można wyrazić przez Xk:
To samo, używając wprost definicji E[X]:
8
Poniżej, rozkład dwumienny, dla N = 20 oraz różnych wartości p
9
Rozkład Poissona
Załóżmy, że pewien eksperyment polega na zbieraniu (akumulowaniu) danych (Z.L. dyskretna)
w funkcji czasu. Zakładamy, że prob. każdego takiego zdarzenia jest małe  << 1
i w przybliżeniu stałe w czasie. Np. rozpad promieniotwórczy, rejestracja promieniowania
przez licznik Geigera, buforowanie danych nadchodzących losowo (derandomizacja).
Zjawiska tego typu, reprezentują zdarzenia losowe, które mogą być opisane rozkładem:
Normalizację, sprawdzamy sumując wszystkie przyczynki:
Wartość oczekiwana:
10
Oraz wariancja:
11
Rozkładu Poissona można również użyć do numerycznego przybliżania rozkładu dwumianowego
Jeżeli, rozważymy bardzo długi ciąg prób Bernoulliego, dla których prob. sukcesu jest
niewielkie (czujemy oczywiście subiektywność tego stwierdzenia…), czyli:
wówczas (dowód na ćwiczeniach):
Przykład: badania firmy XProcessing wykazały, że prob. wyprodukowania wadliwego procesora
wynosi 0.12 %. Procesory są wysyłane w pakietach po 2400 sztuk. Jakie jest prob., że wysłany
pakiet zawiera dokładnie 1 wadliwy procesor? Używając rozkładu dwumianowego mamy (sukces
to wadliwy procesor):
12
Porównanie rozkładów: dwumiennego i Poissona
13
Rozkład Gaussa (normalny) jest jednym z najczęściej używanych R.G.P.
dla zmiennych losowych ciągłych. Definiujemy go jak poniżej:
Można pokazać, że:
14
Standaryzowany rozkład normalny:
Rozkład normalny zestandaryzowany pokazany jest na poprzednim slajdzie.
Obliczanie odpowiednich prob. Staje się łatwe z użyciem rozkładu zmiennej X*.
N.p. prob., że zmienna X* zawarta jest w przdziale -1 < X* < 1:
Istota zastosowań rozkładu normalnego związana jest z faktem, że w wielu
przypadkach pomiarów eksperymentalnych, które naturalnie zawierają losowe
niepewności pomiarowe, rozkład tych niepewności może z dobrym przybliżeniem
być reprezentowany przez rozkład normalny.
15
16
Dystrybuanta dla funkcji R.G.P. Gaussa jest podawana w postaci tabelarycznej
(trudno się całkuje) – por. slajd poprzedni.
17