Transcript Wykład III

Wykład III
Błędy i niepewności pomiarowe II
1
Plan wykładu
- model losowy;
- rozkład Gaussa;
- odchylenie standardowe;
- rozkład normalny;
- oszacowanie niepewności pomiaru w modelu losowym;
- zapisanie kompletnego wyniku pomiaru.
2
Model losowy
Bardzo często pomiary wielkości mierzonej xi różnią się między sobą.
Tradycyjna interpretacja tego zjawiska opiera się na założeniach dot.:
- wartości prawdziwej;
- błędów powodujących obserwowany rozrzut.
3
Model losowy
- błąd systematyczny, Dsx, jest niezmienny dla każdego pomiaru,
- błąd przypadkowy, Dpx, jest zmienną losową o zerowej wartości
oczekiwanej
Dx  D s x  D p x
(1)
4
Model losowy
Estymatą x wartości prawdziwej wielkości mierzonej xr jest średnia
arytmetyczna wyników serii pomiarów
1 n
xˆ  x   xi
n i 1
(2)
gdzie: n - liczba pomiarów, xi - pojedynczy wynik pomiaru.
5
Rozkład Gaussa
Jednym z najważniejszych rozkładów prawdopodobieństwa jest rozkład
Gaussa, zwany też rozkładem normalnym. Odgrywa on ważną rolę
w statystycznym opisie wielu zagadnień otaczającego nas świata,
w szczególności w fizyce i inżynierii.
Jednym z parametrów tego rozkładu jest tzw. odchylenie standardowe*:
1 n
2

x

x


 i
n i 1
*tzw. odchylenie standardowe populacji
6
Rozkład Gaussa
Rozkład normalny ze średnią μ i odchyleniem standardowym σ jest
przykładem funkcji Gaussa:
   x   2 
1
 ,  x  
exp 

2
2

 2


Jest to gęstość prawdopodobieństwa P(x), opisująca prawdopodobieństwo
zaistnienia faktu, że zmienna losowa x przyjmie zadaną wartość w przedziale
[x, x+dx], czyli:
P  x  dx   ,  x  dx  dW
gdzie W – jest równe prawdopodobieństwu otrzymania tej wartości we
wskazanym przedziale, spełniającym warunek normalizacyjny:

    x  dx  1
,

(w wyniku pomiaru otrzymamy jakąś wartość ze 100% prawd.).
7
Rozkład Gaussa
Jeśli wartości współczynników rozkładu wynoszą odpowiednio: μ = 0 i σ = 1,
to rozkład ten nazywa się standardowym rozkładem normalnym, a jego
funkcja gęstości prawdopodobieństwa opisana jest wzorem:
  x2 
1
  x 
exp 

2
2


8
Model losowy
Do odchylenia standardowego rozkładu normalnego zaleca się (Przewodnik),
by parametr ten stanowił podstawę tzw.
metody opracowania wyników pomiarów typu A, czyli
podstawę oceny niepewności pomiaru poprzez
statystyczną analizę wyników.
Tak więc gdy chcemy oszacować składową błędu, musimy zdecydować jakie
prawdopodobieństwo wybierzemy.
Zwykle w praktyce laboratoryjnej dla rozkładu normalnego przyjmuje się
oszacowanie
2·σ, tj. z prawdopodobieństwem p ≈ 0,95.
9
Model losowy
Przewodnik wprowadza dwa podstawowe parametry niepewności. Są to:
 niepewność standardowa (standard uncertainty) - zdefiniowana przez
„niepewność wyniku pomiaru wyrażoną jako odchylenie standardowe";
 niepewność rozszerzona (expanded uncertainty) - zdefiniowana przez
„wielkość określającą przedział wokół wyniku pomiaru, taki że można
oczekiwać, iż obejmie on dużą część wartości, które w uzasadniony sposób
można przyporządkować wielkości mierzonej."
2.3.1
standard uncertainty - uncertainty of the result of a measurement expressed as a standard deviation
2.3.5
expanded uncertainty - quantity defining an interval about the result of a measurement that may be expected to encompass a
large fraction of the distribution of values that could reasonably be attributed to the measurand
10
Model losowy
Jako „dużą część wartości” przyjmuje się zwykle taką, która gwarantuje
prawdopodobieństwo rzędu 95%.
Dla rozkładu prostokątnego niepewność rozszerzona U(x) (dla p = 95%)
wynosi
U  x   1.65 
D max x
 0.95  D max x
3
czynnik 1.65 wynika z proporcji (dla rozkładu prostokątnego):
57.7% - 1
95.0% - x
11
Model losowy
Istotnym problemem przy szacowaniu niepewności pomiarów w modelu
losowym jest łączenie składników niepewności.
Proces ten przebiega w następujących etapach:
• oszacowanie niepewności standardowej typu A (rozkład gaussowski), przy
wykorzystaniu odchylenia standardowego próbki nie mniejszej niż 10
pomiarów;
• oszacowanie składowej niepewności standardowej typu B (rozkład niegaussowski);
• połączenie niepewności typu A i B, by dać niepewność rozszerzoną przy
określonym poziomie ufności:
 D s max x 
2
U  x  k  
3
2
12
Model losowy
Niepewność rozszerzoną oblicza się przez pomnożenie pierwiastka
sumy kwadratów niepewności typu A* (rozkład gaussowski) i typu B**
(nie-gaussowski) przez współczynnik rozszerzenia k,
określonego dla konkretnego poziomu ufności.
* Przewodnik, 4.2
** Przewodnik, 4.3
wsp. k (zależny od liczby pomiarów oraz poziomu ufności a) określany jest często
mianem „współczynnika Studenta-Fishera (tn,a)”
13
Przewodnik – Tabela G2
14
Model losowy
W praktyce laboratoryjnej będziemy stosować następujące zależności:
-odchylenie standardowe poszczególnego wyniku pomiaru (Przewodnik, 4.2.2):
1 n
2
S  xi   S xi 
x

x


 i
n  1 i 1
- odchylenie standardowe średniej arytmetycznej (Przewodnik, 4.2.3):
S  x   Sx 
S xi
n
n
1
2
Sx 
x

x
 i 
n  n  1 i 1
15
Model losowy
Tak więc, dla skończonej serii pomiarów mamy:
xˆ  x  tn,a  S x
gdzie:
1 n
x   xi
n i 1
n
1
2
Sx 
x

x


 i
n  n  1 i 1
16
Szacowanie błędów i niepewności pomiarów
pośrednich
Błąd systematyczny pomiaru pośredniego, dla którego wynik pomiaru jest
rezultatem obliczenia korzystającego z wyników pomiarów bezpośrednich
innych wielkości mierzonych można szacować różnymi metodami.
Jedna z nich to tzw. metoda różniczki zupełnej. Dla funkcji:
y  f  x1 ,..., xn 
(3)
poszukujemy parametru charakteryzującego zmianę wartości tej funkcji
dla zmian argumentów x1, x2, … xn. Dla zmiany bezwzględnej Δf mamy
n
f
f
f
f
Df  x1 ,..., xn  
Dx1 
Dx2  ... 
Dxn  
Dxi
x1
x2
xn
i 1 xi
Równanie to służy do wyznaczenia całkowitego błędu systematycznego
granicznego w pomiarach pośrednich.
17
Szacowanie błędów i niepewności pomiarów
pośrednich
Należy zwrócić uwagę na fakt, że jest ono słuszne tylko dla błędów
prawdziwych (powinniśmy znać wartość prawdziwą błędu i jego znak).
Jeśli nie znamy znaków, to dla określenia całkowitego błędu granicznego
powinniśmy w obliczeniach zsumować moduły (wartości bezwzględne)
składników powyższego równania:
n
Df  x1 ,..., xn   
i 1
f
Dxi
xi
18
Szacowanie błędów i niepewności pomiarów
pośrednich
Kompletny wynik pomiaru składa się z:
- estymaty wartości wielkości mierzonej,
- miary niedokładności,
- mnożnika (jeżeli jest potrzebny),
- jednostki wielkości mierzonej.
19
Zapisanie kompletnego wyniku pomiaru
Należy stosować się do następujących zasad:
- estymata wartości i jej graniczny błąd bezwzględny wyraża się w tym
samym formacie, przyjmując dla błędu (niepewności) jedną lub dwie cyfry
znaczące;
- przyjmujemy dwie cyfry znaczące niepewności w przypadku gdy jej
zaokrąglenie do jednej cyfry znaczącej spowodowałoby wzrost wartości tej
niepewności o więcej niż 10%;
- graniczny błąd bezwzględny zaokrąglamy zawsze „w górę”;
- wynik pomiaru zaokrąglamy w sposób „klasyczny”;
- Ostatnia cyfra znacząca w każdym wyniku powinna być tego samego rzędu
(stać na tym samym miejscu dziesiętnym) co błąd.
20
Zapisanie kompletnego wyniku pomiaru
Przykład:
R = (135.572489 ± 0.046963)  - źle!!!
R= (135.57 ± 0.05)  - dobrze!!!
m = (1.58997671 ± 0.01341799) kg - źle!!!
m= (1.590 ± 0.014) kg - dobrze!!!
d = (0. 0037688631 ± 0. 000011782) m – źle!!!
d = (3.769 ± 0.012)10-3 m – dobrze!!!
21