Slide 1

Vitalii Dugaev
Katedra Fizyki
Politechnika Rzeszowska

Semestr zimowy, rok 2012/2013


Slide 2

[1] D. Halliday, R. Resnick, J. Walker. Podstawy fizyki.
[2] M. Massalska, J. Massalski. Fizyka dla inżynierów.
[3] A.A. Dietłaf, B. M. Jaworski. Fizyka. Poradnik encyklopedyczny
[4] Berkley Physics Course.
[5] H.D. Young, R.A. Freedman. University Physics.
[6] R.A. Serwey, J.W. Jewett. Physics for Scientists and Engineers.

Lekcja 1

Strona 2


Slide 3

Lekcja 1

Strona 3


Slide 4

Lekcja 1

Strona 4


Slide 5

Lekcja 1

Strona 5


Slide 6

Lekcja 1

Strona 6


Slide 7

Błędy i niepewności pomiarów

Lekcja 1

Strona 7


Slide 8

Błąd pomiaru - różnica między wynikiem pomiaru a wartością mierzonej
wielkości

fizycznej.

Bywa

też

nazywany

błędem

bezwzględnym

pomiaru. Ponieważ wartość wielkości mierzonej (wartość prawdziwa) jest
w praktyce niepoznawalna, to w celu określenia błędu posługujemy się

poniższymi, bardziej precyzyjnymi terminami. Ścisłe określenie, co to jest
wartość prawdziwa, zależy od użytej teorii fizycznej (fizyka klasyczna lub
kwantowa).
Błąd przypadkowy - różnica między wynikiem pomiaru a średnią
arytmetyczną nieskończonej liczby wyników pomiarów tej samej wielkości
mierzonej, wykonanych w warunkach powtarzalności. Błąd przypadkowy
jest wynikiem nieprzewidywalnych zmian przypadkowych czynników
wpływających na pomiar; daje on przyczynek wpływający na rozrzut
wyników.
Lekcja 1

Strona 8


Slide 9

Błąd

systematyczny

-

różnica

między

średnią

arytmetyczną

nieskończonej liczby wyników pomiarów tej samej wielkości mierzonej,
wykonanych w warunkach powtarzalności, a wartością wielkości
mierzonej. Błąd systematyczny jest również wynikiem czynników
wpływających

na

Obowiązkiem

eksperymentatora

pomiar,

ale

czynniki
jest

te

można

wprowadzenie

rozpoznać.
poprawki

kompensującej błąd systematyczny.
Błąd względny - stosunek błędu pomiaru do wartości wielkości
mierzonej.

Lekcja 1

Strona 9


Slide 10

Niepewność pomiaru - parametr związany z wynikiem pomiaru,
charakteryzujący rozrzut wartości wielkości mierzonej, który można w
uzasadniony sposób przypisać wielkości mierzonej.
Na pełną niepewność pomiaru powinny składać się wszystkie
przyczynki pochodzące od rozrzutu wyników, rozkładu prawdopodobieństwa przyjętego na podstawie wiedzy o mierzonej wielkości, o
jej

pomiarach,

wykorzystanych

przyrządach

pomiarowych

lub

przyczynki wynikające z doświadczenia eksperymentatora.
Niepewność

pomiaru

wielkości

x

oznaczamy

literą

u(x)

(od

angielskiego słowa ”uncertainty”)

Lekcja 1

Strona 10


Slide 11

Pomiary bezpośrednie
Obliczanie niepewności standardowej metodą typu A
• dysponujemy

zestawem

pomiarów

powtarzanych

w

jednakowych

warunkach, a obliczenie niepewności dokonuje się drogą analizy

statystycznej
n

x 1
n

x

i

i 1

Odchylenie standardowe σ dla pojedynczego pomiaru jest miarą
średniego rozrzutu wyników pomiarów wokół prawdziwej wartości
mierzonej wielkości (wartości oczekiwanej)
n


sx

Lekcja 1



( xi  x )

2

i 1

( n  1)
Strona 11


Slide 12

Odchylenie standardowe średniej jest mniejsze niż odchylenie
standardowe pojedynczego pomiaru i wyraża się wzorem
n

sx 

sx
n





( xi  x )

i 1

n ( n  1)

2

 u( x)

Stanowi ono niepewność standardową u ( x ) obliczoną metodą typu A.
Powyższy wzór jest wyrazem faktu, że średnia x
chociaż, tak jak
wynik pojedynczego pomiaru, nie jest równa wartości prawdziwej, to

jednak leży ona bliżej wartości prawdziwej, niż pojedynczy pomiar.

Lekcja 1

Strona 12


Slide 13

Obliczanie niepewności standardowej metodą typu B
• dostępny jest tylko jeden wynik pomiaru, lub gdy wyniki nie
wykazują rozrzutu. Wówczas niepewności standardowej nie
można obliczyć drogą analizy statystycznej i ocenia się ją na
podstawie danych umieszczonych w specyfikacji przyrządu
pomiarowego, wiedzy o danej wielkości fizycznej lub o
przedziale, w którym wartość rzeczywista powinna się mieścić.

W laboratorium studenckim najprostsza metoda obliczania
niepewności typu B polega na uwzględnieniu niepewności
maksymalnej x, będącej połową szerokości przedziału, w jakim
zmierzone wartości powinny się mieścić

u( x) 

Δx
3

Lekcja 1

Strona 13


Slide 14

Jeżeli obydwa typy niepewności występują równocześnie, należy
posłużyć się prawem składania niepewności, które prowadzi do
następującej zależności na niepewność standardową łączną:

ux  

Lekcja 1

u A ( x ) 

2

 u B ( x ) 

2

Strona 14


Slide 15

Obliczanie niepewności wielkości złożonej

y  f  x1 , x 2 , ... x N

 f
   x
j 1 
j
N

u( y) 

Lekcja 1

2


 u ( x ) 2 
j





2

2

 f

 f

 f







u
(
x
)

u
(
x
)



u
(
x
)
1 
2 
N 
 x
 x
 x
 1

 2

 N


2

Strona 15


Slide 16

Przykład
Wyznaczamy wartość przyspieszenia ziemskiego mierząc czas równy
10 okresom drgań wahadła matematycznego o długości 1.35 m.
Wartości tych czasów są następujące
23.3

23.5

23.6

23.2

23.4

23.5

23.4

23.3

23.4

23.7

23.1

23.6

23.5

23.7

23.2

23.3

23.2

23.7

23.3

23.4

Wartość średnia tśr = 23.42 s, odchylenie standardowe u(t)=0.039 s.
Okres drgań T = 2.34 s, u(T) = 0.004 s. Długość wahadła zmierzono z
dokładnością l = 0.5 cm, u(l) = 0.003 m.
n

 (t

i

 t)

2

i 1

20 ( 20  1)

Lekcja 1

 u (t )

u (l ) 

l
3

Strona 16


Slide 17

T  2

l



g 

g

T
2

u(g) 

4

2
2

l

4

2

2 . 34
2

 g

 g

u (l )   
u (T )   4 

 l

 T


2

 1 . 35  9 . 733337674

s
2

2

2

2

2

m
 1

 2  1 . 35


0
.
003



0
.
004

0
.
039

0
.
04




2
3
2
s
 2 . 34

 2 . 34


g  9 . 73  0 . 04 

Lekcja 1

2

 1

 2l

 2 u ( l )     3 u (T )  
T

 T


2

 4

m

m
s

2

Strona 17


Slide 18

u(g)
g

 100 % 

0 . 04

 100 %  0 . 42 %

9 . 73

Wartość tablicowa przyspieszenia ziemskiego g = 9.81 m/s2.
Różnica pomiędzy wartością zmierzoną a tablicową
9.81 - 9.73 = 0.08 m/s2

Lekcja 1

Strona 18


Slide 19

Zaokrąglanie wyników pomiaru
Jeżeli uzyskana w wyniku obliczeń masa wynosi
m = 0.02145 kg, a niepewność u(m) = 3.751 g = 0.003751 kg, to

najpierw zaokrąglona do dwóch cyfr znaczących niepewność wynosi
u(m) = 0.0038 kg, a zaokrąglony następnie wynik pomiaru (tutaj do
czterech cyfr po przecinku) to m = 0.0214 kg. Razem wynik
zapiszemy jako:

m = (0.0214 ± 0.0038) kg
lub jeszcze lepiej:
m = (21.4 ± 3.8)∙10-3 kg
Poniższe zaokrąglenia, jakkolwiek formalnie poprawne, są z
fizycznie niepoprawne:

Lekcja 1

m = (0.0214 ± 0.00375) kg

źle

m = (0.02145 ± 0.0038) kg

źle

m = (0.021 ± 0.0038) kg

źle
Strona 19


Slide 20

Średnia ważona
wagą jest odwrotność
niepewności standardowej

n

x

x

i

wi

i 1
n

w

i

wi 

i 1

n

x

x

n

i

wi

i 1
n




wi

w  xi
i 1

nw

1
u ( xi )

n



x

i

i 1

n

i 1

średnia arytmetyczna

Lekcja 1

Strona 20


Slide 21

x
x

y

prostokąt niepewności

2U(y)

2U(x)

x

Graficzne zaznaczanie punktów pomiarowych, prostokątów
niepewności i krzywej doświadczalnej

Lekcja 1

Strona 21


Slide 22

Metoda najmniejszych kwadratów

 y ( x )  y 
n

y  y( x)

2

i

i



min

i 1

 a x
n

y ( x )  ax  b






Lekcja 1

i

 b  yi



2

 min

i 1

n

 2 x a x
i

i 1
n

 2 a x

i

i

 b  yi   0

 b  yi   0

i 1

Strona 22


Slide 23

n

n

x

n

i

yi 

i 1

a 

n

n


i 1

b 

i 1

n

xy
i

i 1


x 



n



n

2
i

i 1

n


i 1


xi 



n

yi
a


i 1

i

2

n

xi

n

 
yi



i 1

xi 
2

i 1

n

n

n


i 1

Lekcja 1

n

n

xx
i

i 1


x 


2
i

n


i 1

i

yi

i 1


xi 



2

Strona 23


Slide 24

n

n

u(a)  
n

n


i 1

n

 

 a x i


2
xi  



n


i 1

 b  yi 

i 1

n2


xi 



2

n

n


i 1




i 1

u (b )  

n

2



i 1

2

xi


x 


2
i

n


i 1

n

yi  a
2

x


xi 



2

n

i

i 1

yi  b

y

i

i 1

n2

estymator jednakowych odchyłek standardowych
zmierzonych wartości yi
Lekcja 1

Strona 24


Slide 25

p(x)

Lekcja 1

Strona 25


Slide 26

Rozkład Gaussa

p(x)

p1(x)
p2(x)
p3(x)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

X

p(x) 

1



2



e

(x x )
2

2

2

,

dla    x  

P(μ-σ ≤ x ≤ μ+σ) = 0.6826 (68.26%)
P(μ-2σ ≤ x ≤ μ+2σ) = 0.9544 (95.44%)
P(μ-3σ ≤ x ≤ μ+3σ) = 0.9973 (99.73%)
Lekcja 1

Strona 26


Slide 27

Lekcja 1

Strona 27


Slide 28

Lekcja 1

Strona 28


Slide 29

Lekcja 1

Strona 29