Transcript Fizyka_1 - Politechnika Rzeszowska
Slide 1
Vitalii Dugaev
Katedra Fizyki
Politechnika Rzeszowska
Semestr zimowy, rok 2012/2013
Slide 2
[1] D. Halliday, R. Resnick, J. Walker. Podstawy fizyki.
[2] M. Massalska, J. Massalski. Fizyka dla inżynierów.
[3] A.A. Dietłaf, B. M. Jaworski. Fizyka. Poradnik encyklopedyczny
[4] Berkley Physics Course.
[5] H.D. Young, R.A. Freedman. University Physics.
[6] R.A. Serwey, J.W. Jewett. Physics for Scientists and Engineers.
Lekcja 1
Strona 2
Slide 3
Lekcja 1
Strona 3
Slide 4
Lekcja 1
Strona 4
Slide 5
Lekcja 1
Strona 5
Slide 6
Lekcja 1
Strona 6
Slide 7
Błędy i niepewności pomiarów
Lekcja 1
Strona 7
Slide 8
Błąd pomiaru - różnica między wynikiem pomiaru a wartością mierzonej
wielkości
fizycznej.
Bywa
też
nazywany
błędem
bezwzględnym
pomiaru. Ponieważ wartość wielkości mierzonej (wartość prawdziwa) jest
w praktyce niepoznawalna, to w celu określenia błędu posługujemy się
poniższymi, bardziej precyzyjnymi terminami. Ścisłe określenie, co to jest
wartość prawdziwa, zależy od użytej teorii fizycznej (fizyka klasyczna lub
kwantowa).
Błąd przypadkowy - różnica między wynikiem pomiaru a średnią
arytmetyczną nieskończonej liczby wyników pomiarów tej samej wielkości
mierzonej, wykonanych w warunkach powtarzalności. Błąd przypadkowy
jest wynikiem nieprzewidywalnych zmian przypadkowych czynników
wpływających na pomiar; daje on przyczynek wpływający na rozrzut
wyników.
Lekcja 1
Strona 8
Slide 9
Błąd
systematyczny
-
różnica
między
średnią
arytmetyczną
nieskończonej liczby wyników pomiarów tej samej wielkości mierzonej,
wykonanych w warunkach powtarzalności, a wartością wielkości
mierzonej. Błąd systematyczny jest również wynikiem czynników
wpływających
na
Obowiązkiem
eksperymentatora
pomiar,
ale
czynniki
jest
te
można
wprowadzenie
rozpoznać.
poprawki
kompensującej błąd systematyczny.
Błąd względny - stosunek błędu pomiaru do wartości wielkości
mierzonej.
Lekcja 1
Strona 9
Slide 10
Niepewność pomiaru - parametr związany z wynikiem pomiaru,
charakteryzujący rozrzut wartości wielkości mierzonej, który można w
uzasadniony sposób przypisać wielkości mierzonej.
Na pełną niepewność pomiaru powinny składać się wszystkie
przyczynki pochodzące od rozrzutu wyników, rozkładu prawdopodobieństwa przyjętego na podstawie wiedzy o mierzonej wielkości, o
jej
pomiarach,
wykorzystanych
przyrządach
pomiarowych
lub
przyczynki wynikające z doświadczenia eksperymentatora.
Niepewność
pomiaru
wielkości
x
oznaczamy
literą
u(x)
(od
angielskiego słowa ”uncertainty”)
Lekcja 1
Strona 10
Slide 11
Pomiary bezpośrednie
Obliczanie niepewności standardowej metodą typu A
• dysponujemy
zestawem
pomiarów
powtarzanych
w
jednakowych
warunkach, a obliczenie niepewności dokonuje się drogą analizy
statystycznej
n
x 1
n
x
i
i 1
Odchylenie standardowe σ dla pojedynczego pomiaru jest miarą
średniego rozrzutu wyników pomiarów wokół prawdziwej wartości
mierzonej wielkości (wartości oczekiwanej)
n
sx
Lekcja 1
( xi x )
2
i 1
( n 1)
Strona 11
Slide 12
Odchylenie standardowe średniej jest mniejsze niż odchylenie
standardowe pojedynczego pomiaru i wyraża się wzorem
n
sx
sx
n
( xi x )
i 1
n ( n 1)
2
u( x)
Stanowi ono niepewność standardową u ( x ) obliczoną metodą typu A.
Powyższy wzór jest wyrazem faktu, że średnia x
chociaż, tak jak
wynik pojedynczego pomiaru, nie jest równa wartości prawdziwej, to
jednak leży ona bliżej wartości prawdziwej, niż pojedynczy pomiar.
Lekcja 1
Strona 12
Slide 13
Obliczanie niepewności standardowej metodą typu B
• dostępny jest tylko jeden wynik pomiaru, lub gdy wyniki nie
wykazują rozrzutu. Wówczas niepewności standardowej nie
można obliczyć drogą analizy statystycznej i ocenia się ją na
podstawie danych umieszczonych w specyfikacji przyrządu
pomiarowego, wiedzy o danej wielkości fizycznej lub o
przedziale, w którym wartość rzeczywista powinna się mieścić.
W laboratorium studenckim najprostsza metoda obliczania
niepewności typu B polega na uwzględnieniu niepewności
maksymalnej x, będącej połową szerokości przedziału, w jakim
zmierzone wartości powinny się mieścić
u( x)
Δx
3
Lekcja 1
Strona 13
Slide 14
Jeżeli obydwa typy niepewności występują równocześnie, należy
posłużyć się prawem składania niepewności, które prowadzi do
następującej zależności na niepewność standardową łączną:
ux
Lekcja 1
u A ( x )
2
u B ( x )
2
Strona 14
Slide 15
Obliczanie niepewności wielkości złożonej
y f x1 , x 2 , ... x N
f
x
j 1
j
N
u( y)
Lekcja 1
2
u ( x ) 2
j
2
2
f
f
f
u
(
x
)
u
(
x
)
u
(
x
)
1
2
N
x
x
x
1
2
N
2
Strona 15
Slide 16
Przykład
Wyznaczamy wartość przyspieszenia ziemskiego mierząc czas równy
10 okresom drgań wahadła matematycznego o długości 1.35 m.
Wartości tych czasów są następujące
23.3
23.5
23.6
23.2
23.4
23.5
23.4
23.3
23.4
23.7
23.1
23.6
23.5
23.7
23.2
23.3
23.2
23.7
23.3
23.4
Wartość średnia tśr = 23.42 s, odchylenie standardowe u(t)=0.039 s.
Okres drgań T = 2.34 s, u(T) = 0.004 s. Długość wahadła zmierzono z
dokładnością l = 0.5 cm, u(l) = 0.003 m.
n
(t
i
t)
2
i 1
20 ( 20 1)
Lekcja 1
u (t )
u (l )
l
3
Strona 16
Slide 17
T 2
l
g
g
T
2
u(g)
4
2
2
l
4
2
2 . 34
2
g
g
u (l )
u (T ) 4
l
T
2
1 . 35 9 . 733337674
s
2
2
2
2
2
m
1
2 1 . 35
0
.
003
0
.
004
0
.
039
0
.
04
2
3
2
s
2 . 34
2 . 34
g 9 . 73 0 . 04
Lekcja 1
2
1
2l
2 u ( l ) 3 u (T )
T
T
2
4
m
m
s
2
Strona 17
Slide 18
u(g)
g
100 %
0 . 04
100 % 0 . 42 %
9 . 73
Wartość tablicowa przyspieszenia ziemskiego g = 9.81 m/s2.
Różnica pomiędzy wartością zmierzoną a tablicową
9.81 - 9.73 = 0.08 m/s2
Lekcja 1
Strona 18
Slide 19
Zaokrąglanie wyników pomiaru
Jeżeli uzyskana w wyniku obliczeń masa wynosi
m = 0.02145 kg, a niepewność u(m) = 3.751 g = 0.003751 kg, to
najpierw zaokrąglona do dwóch cyfr znaczących niepewność wynosi
u(m) = 0.0038 kg, a zaokrąglony następnie wynik pomiaru (tutaj do
czterech cyfr po przecinku) to m = 0.0214 kg. Razem wynik
zapiszemy jako:
m = (0.0214 ± 0.0038) kg
lub jeszcze lepiej:
m = (21.4 ± 3.8)∙10-3 kg
Poniższe zaokrąglenia, jakkolwiek formalnie poprawne, są z
fizycznie niepoprawne:
Lekcja 1
m = (0.0214 ± 0.00375) kg
źle
m = (0.02145 ± 0.0038) kg
źle
m = (0.021 ± 0.0038) kg
źle
Strona 19
Slide 20
Średnia ważona
wagą jest odwrotność
niepewności standardowej
n
x
x
i
wi
i 1
n
w
i
wi
i 1
n
x
x
n
i
wi
i 1
n
wi
w xi
i 1
nw
1
u ( xi )
n
x
i
i 1
n
i 1
średnia arytmetyczna
Lekcja 1
Strona 20
Slide 21
x
x
y
prostokąt niepewności
2U(y)
2U(x)
x
Graficzne zaznaczanie punktów pomiarowych, prostokątów
niepewności i krzywej doświadczalnej
Lekcja 1
Strona 21
Slide 22
Metoda najmniejszych kwadratów
y ( x ) y
n
y y( x)
2
i
i
min
i 1
a x
n
y ( x ) ax b
Lekcja 1
i
b yi
2
min
i 1
n
2 x a x
i
i 1
n
2 a x
i
i
b yi 0
b yi 0
i 1
Strona 22
Slide 23
n
n
x
n
i
yi
i 1
a
n
n
i 1
b
i 1
n
xy
i
i 1
x
n
n
2
i
i 1
n
i 1
xi
n
yi
a
i 1
i
2
n
xi
n
yi
i 1
xi
2
i 1
n
n
n
i 1
Lekcja 1
n
n
xx
i
i 1
x
2
i
n
i 1
i
yi
i 1
xi
2
Strona 23
Slide 24
n
n
u(a)
n
n
i 1
n
a x i
2
xi
n
i 1
b yi
i 1
n2
xi
2
n
n
i 1
i 1
u (b )
n
2
i 1
2
xi
x
2
i
n
i 1
n
yi a
2
x
xi
2
n
i
i 1
yi b
y
i
i 1
n2
estymator jednakowych odchyłek standardowych
zmierzonych wartości yi
Lekcja 1
Strona 24
Slide 25
p(x)
Lekcja 1
Strona 25
Slide 26
Rozkład Gaussa
p(x)
p1(x)
p2(x)
p3(x)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
X
p(x)
1
2
e
(x x )
2
2
2
,
dla x
P(μ-σ ≤ x ≤ μ+σ) = 0.6826 (68.26%)
P(μ-2σ ≤ x ≤ μ+2σ) = 0.9544 (95.44%)
P(μ-3σ ≤ x ≤ μ+3σ) = 0.9973 (99.73%)
Lekcja 1
Strona 26
Slide 27
Lekcja 1
Strona 27
Slide 28
Lekcja 1
Strona 28
Slide 29
Lekcja 1
Strona 29
Vitalii Dugaev
Katedra Fizyki
Politechnika Rzeszowska
Semestr zimowy, rok 2012/2013
Slide 2
[1] D. Halliday, R. Resnick, J. Walker. Podstawy fizyki.
[2] M. Massalska, J. Massalski. Fizyka dla inżynierów.
[3] A.A. Dietłaf, B. M. Jaworski. Fizyka. Poradnik encyklopedyczny
[4] Berkley Physics Course.
[5] H.D. Young, R.A. Freedman. University Physics.
[6] R.A. Serwey, J.W. Jewett. Physics for Scientists and Engineers.
Lekcja 1
Strona 2
Slide 3
Lekcja 1
Strona 3
Slide 4
Lekcja 1
Strona 4
Slide 5
Lekcja 1
Strona 5
Slide 6
Lekcja 1
Strona 6
Slide 7
Błędy i niepewności pomiarów
Lekcja 1
Strona 7
Slide 8
Błąd pomiaru - różnica między wynikiem pomiaru a wartością mierzonej
wielkości
fizycznej.
Bywa
też
nazywany
błędem
bezwzględnym
pomiaru. Ponieważ wartość wielkości mierzonej (wartość prawdziwa) jest
w praktyce niepoznawalna, to w celu określenia błędu posługujemy się
poniższymi, bardziej precyzyjnymi terminami. Ścisłe określenie, co to jest
wartość prawdziwa, zależy od użytej teorii fizycznej (fizyka klasyczna lub
kwantowa).
Błąd przypadkowy - różnica między wynikiem pomiaru a średnią
arytmetyczną nieskończonej liczby wyników pomiarów tej samej wielkości
mierzonej, wykonanych w warunkach powtarzalności. Błąd przypadkowy
jest wynikiem nieprzewidywalnych zmian przypadkowych czynników
wpływających na pomiar; daje on przyczynek wpływający na rozrzut
wyników.
Lekcja 1
Strona 8
Slide 9
Błąd
systematyczny
-
różnica
między
średnią
arytmetyczną
nieskończonej liczby wyników pomiarów tej samej wielkości mierzonej,
wykonanych w warunkach powtarzalności, a wartością wielkości
mierzonej. Błąd systematyczny jest również wynikiem czynników
wpływających
na
Obowiązkiem
eksperymentatora
pomiar,
ale
czynniki
jest
te
można
wprowadzenie
rozpoznać.
poprawki
kompensującej błąd systematyczny.
Błąd względny - stosunek błędu pomiaru do wartości wielkości
mierzonej.
Lekcja 1
Strona 9
Slide 10
Niepewność pomiaru - parametr związany z wynikiem pomiaru,
charakteryzujący rozrzut wartości wielkości mierzonej, który można w
uzasadniony sposób przypisać wielkości mierzonej.
Na pełną niepewność pomiaru powinny składać się wszystkie
przyczynki pochodzące od rozrzutu wyników, rozkładu prawdopodobieństwa przyjętego na podstawie wiedzy o mierzonej wielkości, o
jej
pomiarach,
wykorzystanych
przyrządach
pomiarowych
lub
przyczynki wynikające z doświadczenia eksperymentatora.
Niepewność
pomiaru
wielkości
x
oznaczamy
literą
u(x)
(od
angielskiego słowa ”uncertainty”)
Lekcja 1
Strona 10
Slide 11
Pomiary bezpośrednie
Obliczanie niepewności standardowej metodą typu A
• dysponujemy
zestawem
pomiarów
powtarzanych
w
jednakowych
warunkach, a obliczenie niepewności dokonuje się drogą analizy
statystycznej
n
x 1
n
x
i
i 1
Odchylenie standardowe σ dla pojedynczego pomiaru jest miarą
średniego rozrzutu wyników pomiarów wokół prawdziwej wartości
mierzonej wielkości (wartości oczekiwanej)
n
sx
Lekcja 1
( xi x )
2
i 1
( n 1)
Strona 11
Slide 12
Odchylenie standardowe średniej jest mniejsze niż odchylenie
standardowe pojedynczego pomiaru i wyraża się wzorem
n
sx
sx
n
( xi x )
i 1
n ( n 1)
2
u( x)
Stanowi ono niepewność standardową u ( x ) obliczoną metodą typu A.
Powyższy wzór jest wyrazem faktu, że średnia x
chociaż, tak jak
wynik pojedynczego pomiaru, nie jest równa wartości prawdziwej, to
jednak leży ona bliżej wartości prawdziwej, niż pojedynczy pomiar.
Lekcja 1
Strona 12
Slide 13
Obliczanie niepewności standardowej metodą typu B
• dostępny jest tylko jeden wynik pomiaru, lub gdy wyniki nie
wykazują rozrzutu. Wówczas niepewności standardowej nie
można obliczyć drogą analizy statystycznej i ocenia się ją na
podstawie danych umieszczonych w specyfikacji przyrządu
pomiarowego, wiedzy o danej wielkości fizycznej lub o
przedziale, w którym wartość rzeczywista powinna się mieścić.
W laboratorium studenckim najprostsza metoda obliczania
niepewności typu B polega na uwzględnieniu niepewności
maksymalnej x, będącej połową szerokości przedziału, w jakim
zmierzone wartości powinny się mieścić
u( x)
Δx
3
Lekcja 1
Strona 13
Slide 14
Jeżeli obydwa typy niepewności występują równocześnie, należy
posłużyć się prawem składania niepewności, które prowadzi do
następującej zależności na niepewność standardową łączną:
ux
Lekcja 1
u A ( x )
2
u B ( x )
2
Strona 14
Slide 15
Obliczanie niepewności wielkości złożonej
y f x1 , x 2 , ... x N
f
x
j 1
j
N
u( y)
Lekcja 1
2
u ( x ) 2
j
2
2
f
f
f
u
(
x
)
u
(
x
)
u
(
x
)
1
2
N
x
x
x
1
2
N
2
Strona 15
Slide 16
Przykład
Wyznaczamy wartość przyspieszenia ziemskiego mierząc czas równy
10 okresom drgań wahadła matematycznego o długości 1.35 m.
Wartości tych czasów są następujące
23.3
23.5
23.6
23.2
23.4
23.5
23.4
23.3
23.4
23.7
23.1
23.6
23.5
23.7
23.2
23.3
23.2
23.7
23.3
23.4
Wartość średnia tśr = 23.42 s, odchylenie standardowe u(t)=0.039 s.
Okres drgań T = 2.34 s, u(T) = 0.004 s. Długość wahadła zmierzono z
dokładnością l = 0.5 cm, u(l) = 0.003 m.
n
(t
i
t)
2
i 1
20 ( 20 1)
Lekcja 1
u (t )
u (l )
l
3
Strona 16
Slide 17
T 2
l
g
g
T
2
u(g)
4
2
2
l
4
2
2 . 34
2
g
g
u (l )
u (T ) 4
l
T
2
1 . 35 9 . 733337674
s
2
2
2
2
2
m
1
2 1 . 35
0
.
003
0
.
004
0
.
039
0
.
04
2
3
2
s
2 . 34
2 . 34
g 9 . 73 0 . 04
Lekcja 1
2
1
2l
2 u ( l ) 3 u (T )
T
T
2
4
m
m
s
2
Strona 17
Slide 18
u(g)
g
100 %
0 . 04
100 % 0 . 42 %
9 . 73
Wartość tablicowa przyspieszenia ziemskiego g = 9.81 m/s2.
Różnica pomiędzy wartością zmierzoną a tablicową
9.81 - 9.73 = 0.08 m/s2
Lekcja 1
Strona 18
Slide 19
Zaokrąglanie wyników pomiaru
Jeżeli uzyskana w wyniku obliczeń masa wynosi
m = 0.02145 kg, a niepewność u(m) = 3.751 g = 0.003751 kg, to
najpierw zaokrąglona do dwóch cyfr znaczących niepewność wynosi
u(m) = 0.0038 kg, a zaokrąglony następnie wynik pomiaru (tutaj do
czterech cyfr po przecinku) to m = 0.0214 kg. Razem wynik
zapiszemy jako:
m = (0.0214 ± 0.0038) kg
lub jeszcze lepiej:
m = (21.4 ± 3.8)∙10-3 kg
Poniższe zaokrąglenia, jakkolwiek formalnie poprawne, są z
fizycznie niepoprawne:
Lekcja 1
m = (0.0214 ± 0.00375) kg
źle
m = (0.02145 ± 0.0038) kg
źle
m = (0.021 ± 0.0038) kg
źle
Strona 19
Slide 20
Średnia ważona
wagą jest odwrotność
niepewności standardowej
n
x
x
i
wi
i 1
n
w
i
wi
i 1
n
x
x
n
i
wi
i 1
n
wi
w xi
i 1
nw
1
u ( xi )
n
x
i
i 1
n
i 1
średnia arytmetyczna
Lekcja 1
Strona 20
Slide 21
x
x
y
prostokąt niepewności
2U(y)
2U(x)
x
Graficzne zaznaczanie punktów pomiarowych, prostokątów
niepewności i krzywej doświadczalnej
Lekcja 1
Strona 21
Slide 22
Metoda najmniejszych kwadratów
y ( x ) y
n
y y( x)
2
i
i
min
i 1
a x
n
y ( x ) ax b
Lekcja 1
i
b yi
2
min
i 1
n
2 x a x
i
i 1
n
2 a x
i
i
b yi 0
b yi 0
i 1
Strona 22
Slide 23
n
n
x
n
i
yi
i 1
a
n
n
i 1
b
i 1
n
xy
i
i 1
x
n
n
2
i
i 1
n
i 1
xi
n
yi
a
i 1
i
2
n
xi
n
yi
i 1
xi
2
i 1
n
n
n
i 1
Lekcja 1
n
n
xx
i
i 1
x
2
i
n
i 1
i
yi
i 1
xi
2
Strona 23
Slide 24
n
n
u(a)
n
n
i 1
n
a x i
2
xi
n
i 1
b yi
i 1
n2
xi
2
n
n
i 1
i 1
u (b )
n
2
i 1
2
xi
x
2
i
n
i 1
n
yi a
2
x
xi
2
n
i
i 1
yi b
y
i
i 1
n2
estymator jednakowych odchyłek standardowych
zmierzonych wartości yi
Lekcja 1
Strona 24
Slide 25
p(x)
Lekcja 1
Strona 25
Slide 26
Rozkład Gaussa
p(x)
p1(x)
p2(x)
p3(x)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
X
p(x)
1
2
e
(x x )
2
2
2
,
dla x
P(μ-σ ≤ x ≤ μ+σ) = 0.6826 (68.26%)
P(μ-2σ ≤ x ≤ μ+2σ) = 0.9544 (95.44%)
P(μ-3σ ≤ x ≤ μ+3σ) = 0.9973 (99.73%)
Lekcja 1
Strona 26
Slide 27
Lekcja 1
Strona 27
Slide 28
Lekcja 1
Strona 28
Slide 29
Lekcja 1
Strona 29