Transcript Ekonometria - wykład w roku 2009-2010 część I

Ekonometria
wykład w roku 2009/2010
W. Borucki
Cz. 1/1
Plan wykładu cz. I


Modelowanie problemów decyzyjnych
Programowanie liniowe
–
–
–
–
–
–

(7 godz.)
Zadania programowania liniowego i ich własności
Metoda geometryczna
Metoda simplex
Dualność
Zadania transportowe
Analiza wrażliwości
Modele Leontiefa
–
–
Układ równań bilansowych
Interpretacja
Plan wykładu cz. II (7 godz.)

Modelowanie zjawisk (zależności) gospodarczych
–
–



Zmienne objaśniane i objaśniające
Hipotezy o zależnościach wzajemnych
Metoda najmniejszych kwadratów
Modele ekonometryczne z jedną i wieloma
zmiennymi objaśniającymi, liniowe i nieliniowe,
Wykorzystanie modeli ekonometrycznych:
–
–
Prognozowanie
Symulacja (?)
Bibliografia






Red. E. Ignasiak, Badania operacyjne, PWE, Warszawa, 2001
Z. Czerwiński, Matematyka na usługach ekonomii, PWN,
Warszawa, 1972
H. Wagner, Badania operacyjne, PWE, Warszawa, 1980
B. Guzik, W. Sikora, Elementy Badań operacyjnych, PMD, AE
w Poznaniu, Poznań 1994
A. Kaufman, Badania operacyjne na co dzień, PWN,
Warszawa, 1968
Red. B. Guzik, Ekonometria i Badania operacyjne, zagadnienia
podstawowe, AE, Poznań, 2002
Plan wykładu cz. III (1 godz.)
Zestaw pytań, na które student i/lub studentka powinni znać odpowiedź –
krótkie omówienie (przypomnienie podstawowych wiadomości)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Przedstawić podstawowe elementy problemu decyzyjnego.
Jakie warunki powinny spełniać kryteria wyboru decyzji?
Podać przykłady warunków przy podejmowaniu decyzji ekonomicznych i co to są decyzje dopuszczalne?
Przedstawić problem wyboru planu produkcyjnego.
Przedstawić problem rozkroju.
Przedstawić problem diety.
Przedstawić własności zbiorów rozwiązań dopuszczalnych liniowych zadań decyzyjnych (LZD) .
Kiedy LZD ma wiele rozwiązań optymalnych, a kiedy nie ma ich wcale?
Jakie są podstawowe elementy i czynności metody geometrycznej?
Z jakich podstawowych etapów składa się metoda simplex i o co w nich chodzi?
Co trzeba zrobić by zmienić rozwiązanie bazowe LZD?
Jakie czynności w metodzie simplex gwarantują dopuszczalność rozwiązań LZD.
Przedstawić dwa główne problemy analizy wrażliwości rozwiązania LZD i odpowiadające im pytania.
Zdefiniować zadania dualne do liniowych zadań decyzyjnych.
Jak można interpretować zmienne dualne?
Omówić zamknięte zadanie transportowe (ZZT).
Przedstawić przykłady otwartych zadań transportowych.
Omówić model Leontief’a dla gospodarki dwusektorowej.
Jak należy interpretować współczynniki odwróconej macierzy Leontief’a ?
Jak można wyznaczyć produkt globalny dla gospodarki n-sektorowej?
Plan wykładu cz. III (1 godz.)
c.d.
Zestaw pytań, na które student i/lub studentka powinni znać odpowiedź – krótkie
omówienie (przypomnienie podstawowych wiadomości)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Co to jest ekonometria w wąskim znaczeniu?
Wyjaśnić pojęcia zmienna objaśniana i zmienne objaśniające
Objaśnić istotę metody najmniejszych kwadratów (MNK)
Opisać proces szacowania parametrów liniowego modelu ekonometrycznego z jedną zmienną objaśniającą
Jakie znamy wskaźniki oceny jakości oszacowania parametrów liniowych modeli ekonometrycznych?
Jak szacujemy parametry modelu ekonometrycznego wykładniczego z jedną zmienną objaśniającą?
Jak szacujemy parametry modelu ekonometrycznego potęgowego z jedną zmienną objaśniającą?
Jakie własności posiada funkcja Tornquista I rodzaju i do opisu jakich zagadnień jej się używa? Jak szacujemy
jej parametry?
Jakie własności posiada funkcja Tornquista II rodzaju i do opisu jakich zagadnień jej się używa? Jak
szacujemy jej parametry?
Jakie własności posiada funkcja Tornquista III rodzaju i do opisu jakich zagadnień jej się używa? Jak
szacujemy jej parametry?
Jaka funkcja posiada stałą elastyczność, a jaka stałą stopę wzrostu? Odpowiedź uzasadnić.
Podać funkcję używane najczęściej w analizie kosztów. Jaka jest interpretacja ekonomiczna ich
współczynników?
Jak można oszacować parametry funkcji wielomianowych?
Jak można uogólnić MNK dla modeli liniowych z jedną zmienną objaśniającą na model z wieloma zmiennymi
objaśniającymi?
Co to są standardowe błędy szacunku parametrów modeli ekonometrycznych
Omówić zasady szacowania parametrów funkcji Cobba Douglasa, jej zastosowanie i własności.
Co to jest prognoza a co predykcja? Co możemy powiedzieć o zaufaniu do prognoz?
Co to jest współliniowość zmiennych i jakie są tego konsekwencje dla budowy modelu ekonometrycznego?
Do czego służy symulacja i co trzeba uczynić by efekty były wiarygodne?
Jaka jest procedura budowy modelu ekonometrycznego
Modelowanie problemów decyzyjnych

Zasady Kartezjusza





Podejście systemowe
–
–
–
System
Całość złożona z ograniczonej liczby elementów powiązanych ze sobą relacjami i
przyjmujących rozmaite stany, dokonująca z różną intensywnością transformacji
strumieni zasilania (wejście w wyjście) podporządkowanych przyjętym celom
Analiza





Sprawdzić każde założenie unikając „oczywistości”
Podzielić problem na części tak by każdą z nich z osobna można było „ogarnąć rozumem”
Uporządkować problem od najprostszych do najbardziej skomplikowanych i sukcesywnie je
rozwiązywać
Zintegrować problemy cząstkowe w całość nie pozostawiając niczego „w zapomnienie”
Rozważyć system w całości by nie zaniedbać interakcji pomiędzy jego elementami
Zintegrować jego przebieg w czasie,
Nie zapomnieć o jego związkach z otoczeniem
Wziąć pod uwagę cel dla którego został zbudowany i ograniczyć się do elementów najważniejszych
Zasady racjonalnego gospodarowania
–
–
Maksymalizacja efektu przy wykorzystaniu założonych zasobów
Minimalizacja nakładów przy osiągnięciu założonego efektu
Modelowanie problemów decyzyjnych

Decyzja – akt wyboru, oceny, sąd, …
–
–
–
–

Jakie mogą być decyzje? Cechy decyzji ekonomicznych.
Proces decyzyjny – ciąg działań prowadzących do wyboru decyzji.
Zachowania racjonalne – maksymalizacja użyteczności czy racjonalność
ograniczona?
Co to jest decyzja dobra?,
Proces podejmowania decyzji
–
–
Formułowanie problemu
Budowa modelu matematycznego lub logicznego



–
–
–
–
–
Przedmiot decyzji – zmienne decyzyjne
Uwarunkowania – warunki ograniczające
Kryteria oceny – funkcje celu
Pozyskanie i przetworzenie informacji dla ustalenia parametrów modelu
Wykonanie niezbędnych obliczeń w celu wskazania decyzji najlepszej optymalnej (algorytm rozwiązywania zadania)
Analiza jakości (wrażliwości) uzyskanej decyzji – analiza post-optymalizacyjna
Sprawdzenie adekwatności rozwiązania
Wdrożenie decyzji
Formułowanie zadań
1.
2.
Sformułować problem (literacko, ale jednoznacznie)
Co musi w nim być?



3.
Jak przetłumaczyć problem decyzyjny na język matematyki? – Odp.
Formułując zadanie optymalizacyjne (przekształcenie wzajemnie
jednoznaczne) wykorzystując



4.
Przedmiot decyzji
Warunki ograniczające
Kryterium oceny jakości decyzji
Zmienne decyzyjne (przedmiot decyzji)
Równania i nierówności (warunki ograniczające) → rozwiązania
dopuszczalne
Wskaźnik(i) jakości (kryterium, funkcja celu)→ rozwiązanie optymalne
Bywają sformułowania równoważne (te same zbiory rozwiązań
dopuszczalnych i to samo rozwiązanie optymalne)
Zadanie 1
Zakład przerobu ropy naftowej uzyskuje 30 tys. ton półproduktu A i 30
tys. Ton półproduktu B. W wyniku mieszania tych półproduktów w
odpowiednich proporcjach otrzymuje trzy rodzaje benzyn:
I - przy proporcjach półproduktu A do półproduktu B jak 1:2,
II - przy proporcjach półproduktu A do półproduktu B jak 1:1,
III - przy proporcjach półproduktu A do półproduktu B jak 2:1,
Hurtowa cena sprzedaży benzyny I wynosi 6.000 zł, II – 7000,- zł a III
– 9000,- zł.
Jaki rodzaj benzyny i w jakich ilościach powinien zakład produkować
ażeby zmaksymalizować przychód
Zadanie 2
Hodowca posiadający stajnię na 10 koni kupuje młode zwierzęta w
wieku 2 lat płacąc po 2000 zł za sztukę. Może je sprzedać po
dwóch latach hodowania i układania średnio po około 25 tys.
złotych, a po roku za około 10 tys. zł. Średnio koń w pierwszym
roku zjada rocznie 1 tonę siana i 2 tony owsa, a w roku II 2 tony
siana i 1 tonę owsa. Produkty te można
kupić na rynku
odpowiednio po: 2000 zł za 1 tonę owsa, 1000 zł za 1 tonę
siana. Godzina pracy instruktora układającego konie kosztuje
30 zł, a każdemu koniowi w wieku 2 lat trzeba poświęcić
dziennie 30 minut, a w wieku 3 lat 45 minut. Instruktor nie może
dziennie pracować więcej aniżeli 9 godzin. Ile koni i w jakim
wieku powinien rolnik hodować, ażeby zmaksymalizować swój
zysk w okresie dwuletnim?
Zapisać w postaci zadania decyzyjnego.
Jakie masz problemy i wątpliwości?
Zadanie 3
Zakład może wyprodukować dziennie 9 sztuk wyrobu A albo 12
sztuk wyrobu B. Wyroby te produkowane są z jednego
podstawowego surowca, którego zużycie dzienne jest
ograniczone i wynosi 14 jednostek. Zużycie tego surowca do
produkcji wyrobu A wynosi 1 jednostkę, a do wyrobu B dwie
jednostki.
Jaki powinien być optymalny dzienny plan produkcji jeżeli zysk
jednostkowy z produkcji wyrobu A wynosi 1, a z jednostki
wyrobu B wynosi 4?
Czy mieć będzie dla tego planu znaczenie, że ilość wyrobów A nie
może przekraczać 4/5 ilości wyrobów B?
Zapisać problem w postaci zadania PL.
Zadanie 4
Koń wierzchowy żywiony jest sianem i owsem. Organizm konia wymaga
dostarczenia mu dziennie trzech podstawowych składników w
następujących ilościach:
a) błonnika – co najmniej 600 jednostek
b) białka – co najmniej 320 jednostek lecz nie więcej niż 960
jednostek
c) skrobi – nie więcej aniżeli 1000 jednostek.
Jeden kilogram siana zawiera 150 jednostek błonnika i 40 jednostek
białka, natomiast jeden kilogram owsa zawiera 40 jednostek błonnika, 100
jednostek skrobi i 80 jednostek białka.
Niewskazane jest by koń zjadał dziennie więcej aniżeli 14 kg siana.
Przyjmując, że kilogram siana kosztuje 5 zł , a kg owsa 12 zł należy
zaproponować „końską dietę” w taki sposób, ażeby zminimalizować
koszty.
Zadanie 5


Tartak
produkuje
elementy
tzw.
programu
ogrodowego. Jednym z produktów jest huśtawka
ogrodowa, która składa się z czterech belek o
długości 3 m i jednej belki o długości 2 m. Elementy
te powstają z cięcia belek o długości 7 m, którymi
tartak dysponuje w ilości 100 sztuk i 6 m, których
tartak posiada 200 sztuk.
W jaki sposób należy pociąć posiadane przez tartak
belki, ażeby uzyskać maksymalną liczbę kompletów
belek na huśtawki.
Zadania 6
Przedsiębiorstwo produkuje dwa wyroby: A i B. Do produkcji używa się m.in. trzech środków
produkcji, których dostawy wymagają zawarcia umów długoterminowych, stąd uważa się je
za limitowane. Są to: komponenty K1, K2, i K3, których zawarte w kontraktach roczne
dostawy wynoszą odpowiednio: 2200, 1500 i 2000 jednostek.
Do produkcji wyrobu A zużywa się 4 jednostki komponentu K1, jedną jednostkę komponentu
K2, i 2 jednostki komponentu K3. Natomiast do produkcji wyrobu B zużywa się 2 jednostki
komponentu K1 i 4 jednostki komponentu K3.
Z analizy sprzedaży wynika, że zobowiązania przedsiębiorstwa dotyczące sprzedaży wyrobu A,
wynoszą co najmniej 800 jednostek. Natomiast w przypadku wyrobu B oczekuje się
sprzedaży na poziomie nie wyższym aniżeli 400 jednostek.
Ceny wyrobów wynoszą odpowiednio 30 000 zł i 40 000 zł.




Wyznaczyć plan produkcji maksymalizujący przychód.
Wyznaczyć plan produkcji maksymalizujący zysk gdy jednostkowe koszty produkcji
wynoszą odpowiednio 15000 zł i 25000 zł.
Jak mógłby się ten plan/ te plany zmienić gdyby możliwe było zniesienie limitu na zakup
komponentu K1?
Ze względu na szybko rosnący popyt na wyrób A i jego niedobory na rynku (produkt ma
znaczenie strategiczne) możliwy jest wzrost jego ceny hurtowej o około 40%. Jakie to
niesie konsekwencje?
Zadanie 7
3 x1  4 x2  min
przy
3 x1 
x2  24
2 x1  2 x2  18
x1  4 x2  24
x1 , x2  0
Zadanie 8

Stosując metodę
geometryczną rozwiąż
zadanie
2 x1  4 x 2  m ax
p rzy wa ru n ka ch
3 x1  6 x 2  1 2 0
2 x1 
x1
x2  4 0
 18
x2  1 6
x1 , x 2  0
Zadanie 9
Zakład może wyprodukować dziennie 12 sztuk wyrobu
A albo 18 sztuk wyrobu B. Wyroby te produkowane
są z jednego podstawowego surowca, którego
zużycie dzienne jest ograniczone i wynosi 36
jednostki. Zużycie tego surowca do produkcji wyrobu
A wynosi 2 jednostki, a do produkcji wyrobu B 3
jednostki.
Jaki powinien być optymalny dzienny plan produkcji
jeżeli zysk jednostkowy z produkcji wyrobu A wynosi
4, a z jednostki wyrobu B wynosi 5?
Metoda geometryczna
Przykład liczbowy

Rozwiązanie przykładu
–
Dane niech będzie liniowe zadanie decyzyjne
2 x1  4 x2  max
x1  x2  12
x1  8
x2  6
x1 , x2  0
Interpretacja geometryczna
Metoda geometryczna – algorytm
( ZPL z dwiema zmiennymi decyzyjnymi)
–
–
–
–
–
–
–
Wykreśl układ współrzędnych dla przestrzeni dwuwymiarowej (R2)
Dla osi układu współrzędnych przyjmij odpowiednią skalę, tak by rysunek mógł być
czytelny (w tym celu ustal wartości maksymalne jakie mogą przyjmować
poszczególne zmienne decyzyjne i zaznacz te wartości na odpowiednich osiach)
Kolejno, dla każdego warunku ograniczającego zaznacz tę część przestrzeni R2,
która spełnia nierówność lub równość (półpłaszczyzna lub prosta)
Część wspólna (iloczyn zbiorów) wszystkich półpłaszczyzn i/lub prostych wskaże
zbiór rozwiązań dopuszczalnych
Narysuj dowolną izokwantę dla tej funkcji celu. Wykreśl wektor (gradient) prostopadły
do tej izokwanty
Przesuń izokwantę w kierunku wskazanym przez gradient, w taki sposób ażeby
miała co najmniej jeden punkt wspólny ze zbiorem rozwiązań dopuszczalnych (aby
jej położenie wskazywało na wierzchołek lub krawędź zbioru rozwiązań
dopuszczalnych),
Współrzędne wierzchołka wskażą wartości zmiennych decyzyjnych rozwiązania
optymalnego
Programowanie liniowe
Zadania Programowania liniowego
–
–
–
Zmienne decyzyjne – wymierne, warunki i kryterium – funkcjami liniowymi
Własności zbioru decyzji dopuszczalnych (zb. wielościenny wypukły)
Metody poszukiwania rozwiązania optymalnego (heurystyczna – przegląd
wierzchołków, geometryczna – z wykorzystaniem izokwanty)
Macierzowa postać zadania
–
–
–
Zmienne decyzyjne – wektor o n składowych
Funkcja celu – iloczyn skalarny
Warunki ograniczające – układ nierówności (równań)
Przekształcenia równoważne
-
Wprowadzenie zmiennych swobodnych w warunkach z nierównością
Zamiana znaku współczynników funkcji celu przy zmianie „kierunku”
optymalizacji
Równanie zastąpione dwiema nierównościami
Programowanie liniowe 2





Zadanie programowania liniowego (ZPL) jest matematycznym odwzorowaniem problemu
decyzyjnego, w którym wszystkie warunki ograniczające i funkcja celu wyrażone są w postaci
funkcji liniowych, a zmienne decyzyjne przyjmują wartości rzeczywiste (nieujemne)
Decyzje wyrażone są w postaci wektorów (nieujemnych, n- wymiarowych, gdzie n jest liczbą
zmiennych decyzyjnych), których składowe odpowiadają zmiennym decyzyjnym
Decyzję nazywamy dopuszczalną jeżeli spełnia wszystkie warunki ograniczające (łącznie z
nieujemnością). Zbiór wszystkich decyzji dopuszczalnych (zbiór rozwiązań dopuszczalnych)
zadania programowania liniowego jest zbiorem wielościennym wypukłym.
Decyzją optymalną jest ta decyzja dopuszczalna, dla której wartość funkcji celu przyjmuje
wartość największą (lub odpowiednio najmniejszą)
Są trzy możliwości:
–
–
–


Nie istnieje żadne rozwiązanie dopuszczalne (zadanie jest sprzeczne)
Nie istnieje skończone rozwiązanie optymalne (zadanie nie jest dobrze postawione)
Istnieje skończone rozwiązanie optymalne (jedno lub wiele)
Jeśli istnieje skończone rozwiązanie optymalne ZPL, to znajduje się ono w jednym z
wierzchołków zbioru rozwiązań dopuszczalnych (wielościennego i wypukłego) .
Dla jego wyznaczenia można przejrzeć zbiór rozwiązań odpowiadający wszystkim
wierzchołkom zbioru rozwiązań dopuszczalnych (przegląd zupełny) lub dokonać przeglądu
ukierunkowanego (wykorzystującego właściwości ZPL) . Przykładem może być metoda
simpleks lub dla zadań z dwiema zmiennymi decyzyjnymi – metoda geometryczna.
Metoda simplex –metoda
ukierunkowanego przeglądu
dopuszczalnych rozwiązań bazowych
Schemat:
Generujemy dopuszczalne (nieujemne) rozwiązanie
bazowe (początkowe)
Sprawdzamy optymalność otrzymanego rozwiązania
Jeżeli nie jest optymalne, to generujemy nowe
dopuszczalne rozwiązanie bazowe nie gorsze od
otrzymanego poprzednio i idziemy do punktu
sprawdzenia optymalności ptrzymanego rozwiązania
Jeżeli tak, to koniec obliczeń, albowiem nie ma już
rozwiązania lepszego !!! Ostatnio otrzymane
rozwiązanie jest optymalne.
Metoda simplex – podstawowe problemy
Jak wygenerować rozwiązanie początkowe?
Jak sprawdzić optymalność rozwiązania?
Jak wygenerować nowe (nie gorsze)
rozwiązanie bazowe?