Transcript teorema_maj_2012

Milica Sekulović i Jovan Todorovski, 7/5
OŠ “Nikola Tesla” Rakovica
Dr Milivoja Petrovića 6
Pitagorina ličnost obavijena je gustom
maglom mitova i legendi, čak i više nego što je slučaj
kod ostalih presokratskih filozofa, pa se o njegovom
životu i učenju malo toga može sa sigurnošću reći.
Pitagora, sin Mnesarha, rodio se oko 582.g. st. e. na
ostrvu Samosu. Moguće je da je po naređenju
samoskog tiranina Polikrata putovao u Egipat kako bi
se bolje upoznao s ustanovama tamošnjih sveštenika.
Iz razloga koji nam nisu dovoljno jasni Pitagora se sa
Samosa preselio u grad Kroton u južnoj Italiji, gde su
nastala nova središta grčke kulture i političke moći
nakon pada Jonije pod persijsku vlast.
Pod pitagorejskom teorijom brojeva podrazumeva se zapravo jedna teorija
bića, teorija koja se odnosi na "prirodu stvari", pa ona ujedno obuhvata i
matematiku i muziku i astronomiju. Aristotel kaže da su se "oni koje
nazivaju pitagorejcima prvi posvetili matematici i unapredili je, a pošto su
bili odgojeni u njoj, smatrali su da su njena načela ujedno i načela svih
stvari". Pitagorejci su prvo, kako se čini, uočili da visina tona na liri zavisi od
broja, naime, onoliko koliko zavisi od dužine žica instrumenata, pa je stoga
moguće da se intervali na lestvici iskažu razlomcima broja. Tako su odredili
odnose među tonovima (intervale), koje su podelili na konsonantne i
disonantne: prvi – u koje su računali kvartu, kvintu i oktavu – proglašeni su
skladnima jer zajedno rađaju suglasje (συμφωνία), dok su sve ostale
intervale smatrali nesaglasnim (disonantnim).
Nušićev stih:
,,Kvadrat nad hipotenuzom,
to zna svako dete,
jednak je zbiru kvadrata
nad obe katete’’.
PITAGORINA TEOREMA:
zbir površina kvadrata konstruisanih nad katetama jednak je
površini kvadrata konstruisanog nad hipotenuzom
32 +42 =52
PRIMENE
PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA KVADRAT
 Kvadrat je četvorougao sa svim jednakim stranicama,
uglovima i dijagonalama.
Kada se povuku dijagonale, dobiju se četiri
pravougla trougla kod kojih je stranica a
hipotenuza.
PRIMENA PITAGORINE TEOREME
NA PRAVOUGANIK
 Pravougaonik je paralelogram sa jednakim dijagonalama
i pravim unutrašnjim uglovima. Kada se povuče jedna
dijagonala, dobiju se dva pravougla trougla. Pitagorina
teorema za trougao ABC: d2 =a2 + b2
ili
 Obim:
O=2a+2b
 Površina: P=a∙b
d 
a b
2
2
PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA PRAVOUGLI
TROUGAO
Pravougli trougao je trougao sa uglom od 90 stepeni.
Stranica nasuprot pravog ugla je hipotenuza, a druge dve
stranice su katete.
Površina
P
a b
2
tc 
c  hc
2
Obim: O=a+b+c
Težišna duž

c
2
PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA JEDNAKOSTRANIČNI
TROUGAO
 Jednakostranični trougao je trougao sa jednakim stranicama i
uglovima.Iz Pitagorine teoreme za trougao ACD
dobija se visine trougla:
O=3a
R= 23
r= 13
2
a
2
a   h
2
2
h
h
Arheološko nalazište Lepenski Vir u Srbiji, iz doba neolita, sadrži
ostatke staništa koja u svojoj osnovi imaju jednakostranični trougao.
PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA
JEDNAKOKRAKI TROUGAO
 Jednakokraki trougao je trougao sa jednakim kracima.
Kada se povuče visina iz temena C, dobiju se dva pravougla
trougla.
O=a+2b
 Pitagorina teorema za trougao ACD:
2

a
2
2
b   h
2
a odavde se dobija visina ha :
PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA ROMB
 Romb je paralelogram sa svim jednakim
stranicama. Dijagonale se seku pod uglom od 90
stepeni i međusobno se polove.
 Obim: O=4a
P 
d1  d 2
2
 Površina: P=a∙h ili
Primenom Pitagorine teoreme na
trougao AOB: gde su AO i BO
katete a AB hipotenuza dobija se:
2
a
2
 d1 
 d2 

 

 2 
 2 
2
PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA TRAPEZ
 Trapez je četvorougao sa jednim parom paralelnih
stranica koje se zovu osnove i sa jednim parom
neparalelnih stranica koji se zovu kraci.
 Obim jednakokrakog trapeza:O=a+b+2c
 Srednja linija trapeza:
m 
ab
2
 Površina trapeza: P=m∙h
P
ab
h
2
Primenom Pitagorine teoreme
na trougao AMD dobija se:
c2=h2+x2
x
ab
2
Pitagorino drvo je ravanski fraktal konstruisan
pomoću kvadrata. Dobio je ime po Pitagori zato što svaka
trojka susednih kvadrata svojim zajedničkim temenima
određuje pravougli trougao, u obliku koji se tradicionalno
koristi za prikaz Pitagorine teoreme.
Ako je stranica prvog kvadrata dužine 1, celo
Pitagorino drvo može stati u pravougaonik veličine 6×4.
Sitniji detalji drveta podsećaju na Levijevu C krivu.
Fraktal je prvi konstruisao holandski matematičar Albert
Bosman 1942. godine.
Konstrukcija Pitagorinog drveta počinje
kvadratom. Nad njim se konstruišu dva manja
kvadrata, sa koeficijentom sličnosti , tako da
svaki kvadrat ima po jedno zajedničko teme sa
preostala dva. Isto se ponavlja rekurzivno nad
dva manja kvadrata, ad infinitum. Sledeće
ilustracije prikazuju prvih nekoliko iteracija u
postupku konstrukcije.
NIVO 0
NIVO 1
NIVO 2
NIVO 3
Ako se umesto dva ista kvadrata,
u novom koraku oni konstruišu
tako da je jedan veći od drugog
(odnosno da pravougli trougao
određen temenima tri susedna
kvadrata ne bude jednakokraki),
rezultat će biti "Pitagorino drvo
na vetru".
NIVO 0
NIVO 1
NIVO 2
NIVO 3
Smešne strane Pitagorine teoreme
DRAGI MOJ NA KVADRAT!!!
Volim te kao jednačinu sa tri nepoznate. Ti si Pitagorino
pravilo, teorema mog života i kada bi mi dao deo svog
života, osećala bih se kao dijagonala na kvadrat.
Ceo dan vršim rotaciono kretanje oko tebe, a ti ni da mi
pokažeš najmanji sadržalac svoje ljubavi. Zagradio si se kao
potkorena jednačina, te ma koliko pokušavam izvući tvoje
srce pred zagradu, ne mogu.Ti si se od mene udaljio kao
periferija od centra kruga. Kada bi mi dopustio da pođem
sa tobom, uspeo bi me svesti na nulu. Ako tvoj odgovor
bude NE, naša ljubav se potire. Nadam se da me nećeš
dovesti do toga da se zbog ljubavi rastavim na proste
činioce.
Tvoja i samo tvoja dijagonala
ZADACI
1)Izračunaj dužinu hipotenuze pravouglog trougla čije su
katete a=7cm,b=24cm.
2)Izračunaj dužinu treće stranice pravouglog trougla čija je
hipotenuza c=17cm a kateta a=14cm.
3) Izračunaj dijagonalu kvadrata čija je stranica a=4cm.
AUTORI
 Jovan Todorovski, 7/5
 Millica Sekulović, 7/5