Transcript Leptir - WordPress.com

T E O R E MA LE PT I RA
jedan zanimljiv zadatak
Jasmina Milić
F
E
A
M
N
C
D
G
Dat je krug k(O, r).
Neka je C središte
tetive AB i neka
B tetive DE i FG
prolaze kroz C
(tako da F i E
pripadaju istom
luku). Neka FD i
EG seku AB redom
u tačkama M i N.
Dokazati da je C
središte duži MN
DOKAZ
F
α
E
α’
A
M
C
N
<DFG = α
B
<DEG = α’
<FDE = β
β
D
I
<FGE = β’
β’
α = α’ (uglovi nad lukom DG)
G
β = β’ (uglovi nad lukom FE)
II
Posmatrajmo trouglove
ΔFCD i ΔECG
F
α
E
α’
A
M
C
N
β
D
1. α = α’
2. β = β’
B
ΔFCD ~ ΔECG
β’
G
FD
FC
EG
EC
F
α
M
A
E
α’
C
N
H
β
D
J
O
β’
III
Iz centra O spustimo normale
na DF i EG
B
Neka su H i J podnožja normala
OH ∟DF
OJ ∟EG
G
Posmatrajmo trouglove ΔFOH i ΔHOD
1. FO = DO = r (hipotenuza) SSU
2. OH = OH zajednička str.
ΔFOH ~ ΔHOD
3. <OHF = <OHD = 90°
Slično, ΔEOJ~ ΔGOJ
FH = HD
FD = 2FH
EG = 2EJ
IV
F
α
M
A
E
D
FC
C α’
N
H
β
II : FD
B
EG
EC
III: FD = 2FH
EG = 2EJ
J
O
FH
FC
β’
EJ
EC
α = α’
G
ΔFCH ~ ΔECJ
V
F
α
M
A
H
β
D
<FHC = θ
<EJC = θ’
E
C α’
N
θ
θ’
J
O
β’
G
B
Iz IV
θ = θ’
(korespodentni uglovi)
F
α
M
A
H
β
D
θ
VI
E
OCMH
tetivni četvorougao
α’
C
N
B
θ"θ"'
θ'
J
O
(III: <H + <C = 180°)
<MOC = θ’’
θ = θ’’
(uglovi nad lukom MC)
β’
G
OCNJ
tetivni četvorougao
(III: <J + <C = 180°)
<NOC = θ’’’
θ’ = θ’’’
(uglovi nad lukom MC)
F
α
M
A
H
β
D
E
α’
C
N
B
θ"θ"'
J
O
VII
Iz V i VI
θ" = θ'"
β’
G
VIII
F
α
M
A
H
β
D
ΔOCM i ΔOCN
1. <C = 90°
2. OC zajednička stranica
3. θ" = θ'"
E
α’
C
N
B
θ"θ"'
J
O
USU
~ ΔOCN
ΔOCM =
β’
MC = CN
G
odnosno C je središte
duži MN
 Tačan izvor Teoreme leptira nije poznat.
 U literaturi se može naći više različitih
dokaza.
 Dokaz koji je prikazan u ovoj prezentaciji dat
je u knjizi:
D. O. Shklyarsky, N. N. Chentsov, I. M. Yaglom, Selected
Problems and Theorems of Elementary Mathematics, v 2,
Moscow, 1952.
 Prikaz je urađen po ugledu na animaciju koja
se nalazi na web adresi:
http://agutie.homestead.com/files/butterflytheorem1.html
U dokazu teoreme primenjene su
sličnost i podudarnost trouglova i
korišćene su osnovne teoreme o krugu.
Ove oblasti geometrije se obrađuju u
prvom razredu gimnazije pa bi na ovom
nivou zadatak mogao biti zanimljiv.