Transcript ORT1_06_PR5
OSNOVI RAČUNARSKE
TEHNIKE 1
ELEKTRONSKE
OSNOVE RAČUNARA
4
Aksiome i teoreme Bulove algebre
za rad digitalnih kola su logičke
operacije nad iskazima koji mogu da imaju
samo dve istinitosne vrednosti:
TAČAN (TRUE)
NETAČAN (FALSE)
Da bi skup S = {x, y, z,….}, gde x, y, z,…(0, 1)
i operandi definisani na ovom skupu:
Osnova
+ logičko sabiranje ( ILI )
BINARNI OPERANDI
• logičko množenje ( I )
’ negacija ( NE )
UNARNI OPERAND
predstavljali Bulovu algebru moraju da budu
zadovoljene teoreme Hantingtona
Aksiome i teoreme Bulove algebre
Osnovne aksiome:
A-1:Binarne operacije + i • su komutativne na skupu S
i uzajamno su distributivne:
x+y=y+x
x•y=y•x
x • ( y + z ) = x • y + x • z x + ( y • z ) = (x + y)•( x+ z)
A-2:Za binarne operacije + i • postoje neutralni
elementi 1 i 0, tako da za svako x iz skupa S važi:
x+0=0+x=x
x•1=1•x=x
A-3:Za svako x iz skupa S postoji jedinstven inverzan
element x, tako da važi:
x+x=1
x•x=0
Aksiome i teoreme Bulove algebre
Osnovne teoreme:
T-1: Teorema idempotentnosti:
x+x=x
x•x=x
T-2: Teorema o nultim elementima:
x+1=1
x•0=0
T-3: Teorema o involuciji:
x=x
T-4: Teorema o apsorpciji:
x+x•y=x
x • (x + y) = x
T-5: Teorema o asocijativnosti:
x + (y + z) = (x + y) + z
T-6: De-Morganove teoreme:
x•y=x+y
x+y=x•y
Osnovne logičke operacije
NEGACIJA (NOT)
X
Z=X
X
Z=X
1
0
0
1
Osnovne logičke operacije
I - OPERACIJA (AND)
X
Y
Z= X
Y
X
Y Z =X
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Y
Osnovne logičke operacije
ILI - OPERACIJA (OR)
X
Y
Z= X+Y
X
Y
Z=X+Y
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
Osnovne logičke operacije
EKSKLUZIVNA ILI – OPERACIJA
(EX-OR)
X
Y
Z = X Y
X
Y
Z = X Y
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
Osnovne logičke operacije
NI - OPERACIJA (NAND)
X
Z= X
Y
Y
X
Y
Z= X
Y
X
Y Z =X
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
Y
Osnovne logičke operacije
NILI - OPERACIJA (NOR)
X
Z= X+Y
Y
X
Y
Z= X +Y
X
Y
Z=X+Y
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
Osnovne logičke operacije
EKSKLUZIVNA NILI
- OPERACIJA
(EX-NOR)
X
Y
X
Y
Z = X Y
Z = X Y
X
Y
Z = X Y
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Osnovne logičke operacije
Realizacija
NE, ILI i I operacija samo
pomoću NI logičkih kola
X
1
X
X
Y
X
X
1
X
Y
1
Y
1
Y
1 = X
X
Y
1 = X
X
1
Y
Y
1
1
1 = X + Y
Osnovne logičke operacije
Realizacija
NE, ILI i I operacija samo
pomoću NILI logičkih kola
X
0
X
X
Y
X
X
0
X
+0 = X
+Y
0
X
+0
X
Y
0
Y
+Y + 0 = X + Y
+0
+ 0 +Y + 0 = X
Y
Osnovne logičke operacije
Kada
je potrebna primena logičkih
operacija nad više ulaza, to se
rešava:
Upotrebom višeulaznih logičkih kola
Povezivanjem više dvoulaznih kola
Osnovne logičke operacije nad
binarnim ciframa
Tabela
istinitosti za
troulazno ILI - kolo
X
Y
X
+Y
Z
X
+Y+Z X
Y
Z
X
+Y+Z
i
X Y
Z
F=X+Y+Z
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
2
0
1
0
1
3
0
1
1
1
4
1
0
0
1
5
1
0
1
1
6
1
1
0
1
7
1
1
1
1
Osnovne logičke operacije nad
binarnim ciframa
Tabela
istinitosti za
četvoroulazno I - kolo
X
Y
Z
W
X
Y
ZW
X
X Y Z W Y
Z
W
X Y Z W
i
X Y Z W
F XYZW
0
0 0 0 0
0
1
0 0 0 1
0
2
0 0 1 0
0
3
0 0 1 1
0
4
0 1 0 0
0
14
1 1 1 0
0
15
1 1 1 1
1
Logičke funkcije
Logičke funkcije mogu da se
predstave:
ŠEMATSKI
Pomoću logičkih kola
TABELARNO
Pomoću tabela istinitosti
ANALITIČKI
Pomoću osnovnih logičkih operacija
Logičke funkcije
Analitičko predstavljanje
DISJUNKTIVNA FORMA (DF) je logička
suma logičkih proizvoda
Logička suma potpunih logičkih
proizvoda je disjunktivna normalna
forma (DNF)
KONJUKTIVNA FORMA (KF) je logički
proizvod logičkih suma
Logički proizvod potpunih logičkih suma
je konjuktivna normalna forma (KNF)
Logičke funkcije
Funkcija dve promenljive F(X, Y)
Proizvodi i sume ulaznih promenljivih
i
X Y
F=1
F=0
0
0 0
P0 = X Y
S0 = X Y
1
0 1
P1 = X Y
S1 = X Y
2
1 0
P2 = X Y
S2 = X Y
3
1 1
P3 = X Y
S3 = X Y
Logičke funkcije
Funkcija tri
promenljive
F(X, Y, Z)
Proizvodi i
sume ulaznih
promenljivih
i
X Y Z
F=1
F=0
0
0
0 0
P0 = X Y Z
S0 = X Y Z
1
0
0 1
P1 = X Y Z
S1 = X Y Z
2
0
1 0
P2 = X Y Z
S2 = X Y Z
3
0
1 1
P3 = X Y Z
S3 = X Y Z
4
1
0 0
P4 = X Y Z
S4 = X Y Z
5
1
0 1
P5= X Y Z
S5= X Y Z
6
1
1 0
P6 = X Y Z
S6 = X Y Z
7
1
1 1
P7 = X Y Z
S7 = X Y Z
Logičke funkcije
Funkcija
četiri
promenljive
F(X, Y, Z, W)
Proizvodi i
sume ulaznih
promenljivih
i
X Y Z W
F=1
F=0
0
0 0 0 0
P0 = X Y Z W
S0 = X Y Z W
1
0 0 0 1
P1 = X Y Z W
S1 = X Y Z W
2
0 0 1 0
P2 = X Y Z W
S2 = X Y Z W
3
0 0 1 1
P3 = X Y Z W
S3 = X Y Z W
4
0 1 0 0
P4 = X Y Z W
S4 = X Y Z W
14
1 1 1 0
P14 = X Y Z W S14 = X Y Z W
15
1 1 1 1
P15 = X Y Z W S15 = X Y Z W