Transcript ORT1_06_PR5

OSNOVI RAČUNARSKE
TEHNIKE 1
ELEKTRONSKE
OSNOVE RAČUNARA
4
Aksiome i teoreme Bulove algebre
za rad digitalnih kola su logičke
operacije nad iskazima koji mogu da imaju
samo dve istinitosne vrednosti:
TAČAN (TRUE)
NETAČAN (FALSE)
Da bi skup S = {x, y, z,….}, gde x, y, z,…(0, 1)
i operandi definisani na ovom skupu:
Osnova
+ logičko sabiranje ( ILI )
BINARNI OPERANDI
• logičko množenje ( I )
’ negacija ( NE )
UNARNI OPERAND
predstavljali Bulovu algebru moraju da budu
zadovoljene teoreme Hantingtona
Aksiome i teoreme Bulove algebre
Osnovne aksiome:
A-1:Binarne operacije + i • su komutativne na skupu S
i uzajamno su distributivne:
x+y=y+x
x•y=y•x
x • ( y + z ) = x • y + x • z x + ( y • z ) = (x + y)•( x+ z)
A-2:Za binarne operacije + i • postoje neutralni
elementi 1 i 0, tako da za svako x iz skupa S važi:
x+0=0+x=x
x•1=1•x=x
A-3:Za svako x iz skupa S postoji jedinstven inverzan
element x, tako da važi:
x+x=1
x•x=0
Aksiome i teoreme Bulove algebre
Osnovne teoreme:
T-1: Teorema idempotentnosti:
x+x=x
x•x=x
T-2: Teorema o nultim elementima:
x+1=1
x•0=0
T-3: Teorema o involuciji:
x=x
T-4: Teorema o apsorpciji:
x+x•y=x
x • (x + y) = x
T-5: Teorema o asocijativnosti:
x + (y + z) = (x + y) + z
T-6: De-Morganove teoreme:
x•y=x+y
x+y=x•y
Osnovne logičke operacije

NEGACIJA (NOT)
X
Z=X
X
Z=X
1
0
0
1
Osnovne logičke operacije

I - OPERACIJA (AND)
X
Y
Z= X
Y
X
Y Z =X
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Y
Osnovne logičke operacije

ILI - OPERACIJA (OR)
X
Y
Z= X+Y
X
Y
Z=X+Y
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
Osnovne logičke operacije

EKSKLUZIVNA ILI – OPERACIJA
(EX-OR)
X
Y
Z = X Y
X
Y
Z = X Y
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
Osnovne logičke operacije

NI - OPERACIJA (NAND)
X
Z= X
Y
Y
X
Y
Z= X
Y
X
Y Z =X
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
Y
Osnovne logičke operacije

NILI - OPERACIJA (NOR)
X
Z= X+Y
Y
X
Y
Z= X +Y
X
Y
Z=X+Y
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
Osnovne logičke operacije
EKSKLUZIVNA NILI
- OPERACIJA
(EX-NOR)
X
Y
X
Y
Z = X Y
Z = X Y
X
Y
Z = X Y
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Osnovne logičke operacije
Realizacija
NE, ILI i I operacija samo
pomoću NI logičkih kola
X
1
X
X
Y
X
X
1
X
Y
1
Y
1
Y
1 = X
X
Y
1 = X
X
1
Y
Y
1
1
1 = X + Y
Osnovne logičke operacije
Realizacija
NE, ILI i I operacija samo
pomoću NILI logičkih kola
X
0
X
X
Y
X
X
0
X
+0 = X
+Y
0
X
+0
X
Y
0
Y
+Y + 0 = X + Y
+0
+ 0 +Y + 0 = X
Y
Osnovne logičke operacije
Kada
je potrebna primena logičkih
operacija nad više ulaza, to se
rešava:
Upotrebom višeulaznih logičkih kola
Povezivanjem više dvoulaznih kola
Osnovne logičke operacije nad
binarnim ciframa
Tabela
istinitosti za
troulazno ILI - kolo
X
Y
X
+Y
Z
X
+Y+Z X
Y
Z
X
+Y+Z
i
X Y
Z
F=X+Y+Z
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
2
0
1
0
1
3
0
1
1
1
4
1
0
0
1
5
1
0
1
1
6
1
1
0
1
7
1
1
1
1
Osnovne logičke operacije nad
binarnim ciframa
Tabela
istinitosti za
četvoroulazno I - kolo
X
Y
Z
W
X

Y
ZW
X
X Y Z  W Y
Z
W
X Y  Z W
i
X Y Z W
F  XYZW
0
0 0 0 0
0
1
0 0 0 1
0
2
0 0 1 0
0
3
0 0 1 1
0
4
0 1 0 0
0









14
1 1 1 0
0
15
1 1 1 1
1
Logičke funkcije
Logičke funkcije mogu da se
predstave:
ŠEMATSKI
Pomoću logičkih kola
TABELARNO
Pomoću tabela istinitosti
ANALITIČKI
Pomoću osnovnih logičkih operacija
Logičke funkcije
Analitičko predstavljanje
DISJUNKTIVNA FORMA (DF) je logička
suma logičkih proizvoda
Logička suma potpunih logičkih
proizvoda je disjunktivna normalna
forma (DNF)
KONJUKTIVNA FORMA (KF) je logički
proizvod logičkih suma
Logički proizvod potpunih logičkih suma
je konjuktivna normalna forma (KNF)
Logičke funkcije
Funkcija dve promenljive F(X, Y)
Proizvodi i sume ulaznih promenljivih
i
X Y
F=1
F=0
0
0 0
P0 = X  Y
S0 = X  Y
1
0 1
P1 = X  Y
S1 = X  Y
2
1 0
P2 = X  Y
S2 = X  Y
3
1 1
P3 = X  Y
S3 = X  Y
Logičke funkcije
Funkcija tri
promenljive
F(X, Y, Z)
Proizvodi i
sume ulaznih
promenljivih
i
X Y Z
F=1
F=0
0
0
0 0
P0 = X  Y  Z
S0 = X  Y  Z
1
0
0 1
P1 = X  Y  Z
S1 = X  Y  Z
2
0
1 0
P2 = X  Y  Z
S2 = X  Y  Z
3
0
1 1
P3 = X  Y  Z
S3 = X  Y  Z
4
1
0 0
P4 = X  Y  Z
S4 = X  Y  Z
5
1
0 1
P5= X  Y  Z
S5= X  Y  Z
6
1
1 0
P6 = X  Y  Z
S6 = X  Y  Z
7
1
1 1
P7 = X  Y  Z
S7 = X  Y  Z
Logičke funkcije
Funkcija
četiri
promenljive
F(X, Y, Z, W)
Proizvodi i
sume ulaznih
promenljivih
i
X Y Z W
F=1
F=0
0
0 0 0 0
P0 = X  Y Z  W
S0 = X  Y Z  W
1
0 0 0 1
P1 = X Y Z W
S1 = X Y Z W
2
0 0 1 0
P2 = X Y Z W
S2 = X  Y Z  W
3
0 0 1 1
P3 = X Y Z W
S3 = X  Y Z  W
4
0 1 0 0
P4 = X Y Z W
S4 = X  Y Z  W












14
1 1 1 0
P14 = X Y Z W S14 = X  Y Z  W
15
1 1 1 1
P15 = X  Y Z W S15 = X  Y Z W