Transcript признаки равенства треугольников
ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Подготовил презентацию: Шевляков Станислав, 8а класс
Первый признак равенства треугольников
Теорема.
Первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
Если две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, заключенному между ними, другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство.
Пусть АВС и А 1 В 1 С 1 такие треугольники, что АС=А 1 С 1 , АВ=А 1 В 1 и А= А 1 . Совместим треугольник АВС с треугольником А 1 В 1 С 1 А 1 и сторона AC пошла по А 1 С 1 так, чтобы точка A совпала c . Тогда вследствие равенства этих сторон, точка C совместится с С 1 , а вследствие равенства углов А и А 1 сторона AB пойдет по А 1 В 1 , а вследствие равенства этих сторон точка B совпадет с В 1 , поэтому сторона CB совместиться с С 1 В 1 (так как две точки можно соединить только одной прямой). Таким образом, треугольники совпадут, то есть будут равны.
Второй признак равенства треугольников
Теорема.
Второй признак равенства треугольников (по стороне и прилежащим к ней углам).
Если два угла и прилежащая к ним сторона одного треугольника соответственно равны двум углам и прилежащей к ним стороне другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство.
Пусть АВС и А 1 В 1 С 1 такие треугольники, что - такие треугольники, что А= А 1 , С 1 С= С 1 и АС=А 1 С 1 . Совместим треугольник АВС с треугольником А и сторона АC пошла по А 1 С 1 1 В 1 С 1 так, чтобы точка C совпала c . Тогда вследствие равенства этих сторон, точка А совпадет с А 1 , а вследствие равенства углов и , и сторона BС пойдет по В 1 С 1 , а сторона AВ – по А 1 В 1 . Так как две различные прямые могут пересечься только в одной точке, то вершина В должна совпасть с В 1 . Таким образом, треугольники совпадут, то есть будут равны.
Третий признак равенства треугольников
Теорема.
Третий признак равенства треугольников (по трем сторонам).
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство.
Пусть АВС и А 1 В 1 С 1 такие треугольники, что что АС=А 1 С 1 , АВ=А 1 В 1 , СВ=С 1 В 1 .
Совместим треугольник АВС с треугольником А 1 В 1 С 1 так, чтобы сторона CВ совместилась с С 1 В 1 и их вершины А и А 1 лежали бы по разные стороны от основания СВ. Соединим прямой точки В и В1, тогда Получим два равнобедренных треугольника АСА С общим основанием CB. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны => 1= 2 и 3= 4 => 1+ 4 = 2+ 3 => А= А 1 => АВС= А 1 1 и АВА 1 ВС равны по перовому признаку ( А= А 1 , АС=А 1 С , АВ=А 1 В).
• Верно ли, что если треугольники равны, то каждый угол первого треугольника равен каждому углу второго?
• Верно ли , что если две стороны и угол между ними соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны?
• Верно ли, что если три угла одного треугольника соответственно равны трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны?
• Верно ли, что каждой стороне первого треугольника можно найти сторону, равную ей во втором , равном треугольнике?
• Верно ли, что если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны?
Задачи
KBC = DEC по первому признаку (BC= CE, KC= CD, BCK = DCE как углы, дополняющие угол KCD до 90°). Из равенства треугольников следует, что, BK= DE= 4. Тогда AB= BK+ AK= 5.
Ответ: размеры листа 3дм и 5дм.
EDC= EFA по второму признаку (AF= CD, F= D= 90 °, EAF= ECD).
EAF= ECD , т.к. F= D, AEF= CED как вертикальные, а сумма углов треугольника равна 180° . Из равенства треугольников следует, что AE = EC= 5 Отсюда AD= AE+ ED= 5+ 3= 8.
Ответ: размеры ковра 4м и 8м.
Задачи
Задача № 1.
Дано: АВ=АС; АСЕ=АВД. Доказать: ∆АСЕ=∆АВД Задача № 3.
В равнобедренном треугольнике СДЕ с основанием ДЕ проведена биссектриса СК. Найдите СК, если периметр треугольника СДЕ равен 84 см, а периметр треугольника СКЕ равен 56 см.
Задача № 2.
Отрезки МЕ и РК точкой Д делятся пополам. Докажите, что КМД= РЕД.
Задача № 4.
На сторонах угла Д отмечены точки М и К так, что ДМ=ДК. Точка Р лежит внутри угла Д и РК=РМ. Докажите, что луч ДР- биссектриса угла МДК.