Transcript Тетраэдр и параллелепипед

«планиметрия» – наименование
смешанного происхождения: от
греч. metreo – измерять
и лат. planum – плоская
поверхность (плоскость)
ПЛАНИМЕТРИЯ
7-9
классы
ГЕОМЕТРИЯ на плоскости
Школьный курс
ГЕОМЕТРИИ
СТЕРЕОМЕТРИЯ
10-11
классы
ГЕОМЕТРИЯ в пространстве
«стереометрия» – от греч.
stereos – пространственный
(stereon – объем).
ЧТО БУДЕМ ИЗУЧАТЬ В 10-м КЛАССЕ
Аксиомы стереометрии
Параллельность прямых и плоскостей
Учебный материал
10 класса
по геометрии
Перпендикулярность прямых и плоскостей
Многогранники
Основные понятия стереометрии
точка,
прямая,
плоскость,
А
Р

С
К
 = (РКС)
Аксиомы стереометрии
Через любые три точки, не лежащие на одной прямой
проходит плоскость, и притом только одна
А-1
Р

С
К
 = (РКС)
Аксиомы стереометрии
А-2
Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки
прямой лежат в этой плоскости.

Если
М, C  
М, C  m,
то
m
Аксиомы стереометрии
Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют
общую прямую, на которой лежат все общие точки
этих плоскостей.
А-3
М  , М  , М  m

М
m  , m  

=m
СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ
Через любую прямую и не принадлежащую ей точку
можно провести плоскость, и притом только одну.
Т-1
Дано: Мm
В
А

м
Доказательство
Пусть точки A, B  m.
Так как Мm, то точки А, В и M не принадлежат одной прямой.
По А-1 через точки А, В и M проходит только одна плоскость — плоскость (ABM),
Обозначим её . Прямая m имеет с ней две общие точки — точки A и B, следовательно,
по аксиоме А-2 эта прямая лежит в плоскости ..
Таким образом, плоскость  проходит через прямую m и точку M и является искомой.
Докажем, что другой плоскости, проходящей через прямую m и точку M, не существует.
Предположим, что есть другая плоскость — , проходящая через прямую m и точку M.
Тогда плоскости  и  проходят через точки А, В и M, не принадлежащие одной прямой, а
значит, совпадают. Следовательно, плоскость  единственна.
Теорема доказана
СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ
Через любые две пересекающиеся прямые можно
провести плоскость, и притом только одну.
Т-2
n

м
N
Дано: m  n = M
Доказательство
Отметим на прямой m произвольную точку N,
отличную от М.
Рассмотрим плоскость  =(n, N). Так как M  и N, то по А-2 m  . Значит
обе прямые m, n лежат в плоскости  и следовательно , является искомой
Докажем единственность плоскости . Допустим, что есть другая, отличная от
плоскости  и проходящая через прямые m и n, плоскость .
Так как плоскость  проходит через прямую n и не принадлежащую ей точку N, то по
T-1 она совпадает с плоскостью . Единственность плоскости  доказана.
Теорема доказана
В стереометрии мы будем рассматривать ситуации, задающие различные
расположения в пространстве основных фигур относительно друг друга
Определите: верно, ли суждение?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
ДА
Любые три точки лежат в одной плоскости.
НЕТ
Любые четыре точки лежат в одной плоскости.
Любые четыре точки не лежат в одной плоскости.
НЕТ
Через любые три точки проходит плоскость и при том
НЕТ
только одна.
Если прямая пересекает 2 стороны треугольника, то
ДА
она лежит в плоскости треугольника.
Если прямая проходит через вершину треугольника, то НЕТ
она лежит в плоскости треугольника.
НЕТ
Если прямые не пересекаются, то они параллельны.
Если плоскости не пересекаются, то они параллельны. ДА
Пользуясь рисунком,
назовите:
• четыре точки,
лежащие в плоскости
SAB, в плоскости
ABC;
• плоскость, в которой
лежит прямая MN,
прямая КМ;
• прямую, по которой
пересекаются
плоскости ASC и
SBC; плоскости SAC
и CAB.
Пользуясь рисунком,
назовите:
1) плоскости,
содержащие
прямую DE,
прямую EF;
2)прямую, по которой
пересекаются
плоскости ACB и
SBC, SBC и SAC;
3) плоскости, в
которых лежит
прямая SB; AC.
Пользуясь рисунком,
назовите:
плоскости,
содержащие прямую
В1С; прямую АВ
2) прямую, по которой
пересекаются
плоскости В1CD и
AСD;
плоскости ADC1 и ABD;
3) плоскость, не
пересекающуюся с
прямой CD1; с прямой
ВС1.
1)
Верно ли утверждение:
Через любые три точки проходит
плоскость, и притом только одна
А
С
В
Две прямые пересекаются в точке М. Докажите, что
все прямые, не проходящие через точку М и
пересекающие данные прямые, лежат в одной
плоскости. Лежат ли в одной плоскости все
b
прямые, проходящие через
точку М?
Дано:
А
М
ab  M
В
a
c

Докажите, что
a, b, c  
Пусть
Т.к.
ca  A
cb  B
A a
Вв
Т.к.
и
a b  M
А, В  с
, то по Т2
,то по А2
с 
a, b 

49
m
B

50


m
51
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости
параллельны другой плоскости, то эти плоскости
параллельны

n

m
51

n
k
H
m

52

А

С
В
53
C1
1
^
_
=
A1
4
_
B1
O
=
A2
2
3
B2
C2
В
54
M
N
P
А
Д
S=48
С
55

m

56


A
m
57

m

63
A
6
Y 5
B1
A1

12

B2
A2
A1A2=2A1A
63б
A
24
A1


A2
Y
18
x
B1
B2
AA2=3\2A1A2
64
В2

С2
А2
В1

А1
С1
65
В2

С2
А2
В1

А1
С1
Тетраэдр и параллелепипед
Д
А
С
В
АВСД -ТЕТРАЭДР-ПОВЕРХНОСТЬ,
СОСТАВЛЕННАЯ ИЗ ЧЕТЫРЕХ
ТРЕУГОЛЬНИКОВ
• Точки А,В,С,ДВЕРШИНЫ
вершины
Д
• Отрезки АВ, ВС, СА,
ДА, ДВ, ДС РЕБРА
ребра • Треугольники АВС,
ДАВ, ДВС, ДАС ГРАНИ
С
А
В
грани
Д
• ОПРЕДЕЛЕНИЕ :
• ДВА РЕБРА ТЕТРАЭДРА ,
НЕ ИМЕЮЩИЕ ОБЩИХ
ВЕРШИН НАЗЫВАЮТСЯ
ПРОТИВОПОЛОЖНЫМИ
•
А
В
Контрольные вопросы
• Что такое тетраэдр?
• Сколько вершин, ребер,
граней имеет тетраэдр,
С назовите их
• Назовите
противоположные ребра
тетраэдра
Параллелепипед
В1
С1
А1
Д1
В
А
С
Д
ДВЕ ГРАНИ ИМЕЮЩИЕ ОБЩЕЕ РЕБРО НАЗЫВАЮТСЯ СМЕЖНЫМИ,
НЕ ИМЕЮЩИЕ ОБЩИХ РЕБЕР ПРОТИВОПОЛОЖНЫМИ
Две вершины не принадлежащие одной грани называются
противоположными
Отрезок,соединяющий противоположные вершины
С1
В1
ОСНОВАНИЕ
диагональ
ВЕРШИНА
ТОЧКА
РЕБРО
ОТРЕЗОК
А1
Д1
БОКОВАЯ ГРАНЬ
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ
В
С
ОСНОВАНИЕ
А
Д
С1
В1
А1
Д1
С
В
А
Д
Противоположные грани параллелепипеда
параллельны и равны
ТЕОРЕМА 1
С1
В1
А1
о
В
А
Д1
С
Д
Диагонали параллелепипеда пересекаются
в одной точке и делятся точкой пересечения пополам
ТЕОРЕМА 2
В1
А1
о
Д1
С
В
А
Д
Диагонали параллелограмма пересекаются
в одной точке и делятся точкой пересечения пополам
ТЕОРЕМА 2
В1
А1
о
В
А
Д1
С
Д
Диагонали параллелограмма пересекаются
в одной точке и делятся точкой пересечения пополам
ТЕОРЕМА 2
В
66
А
Д
С
Д
67
54
72
20
18
21
В
А
С
D
21
20
C
A
D
D
54
20
A
18
18
B
B
72
21
C
А
68
M
N
В
Д
С
S
69
В
D
A
P
С
70
А
М
Д
В
Е
С
71
Д
О
М
N
С
А
В
K
71 A
Д
М
А
В
Е
С
71 A
Д
М
В
А
Е
С
87 A
C1
B1
A1
M
D1
C
B
N
A
D
87
C1
B1
D1
A1
B
A
M
C
D
86
C1
B1
D1
A1
B
A
C
D
85
C1
B1
M
D1
A1
L
K
A
B
C
D
70
Д
М
Р
С
А
В
О
Д
Р
А
С
М
В
Д
М
Р
О
С
А
В
Д
М
С
А
В
Р
Д
Р
А
В
М
С
B1
A1
C1
D1
B
A
C
D M
C1
B1
D1
A1
B
A
M
C
D
C1
B1
D1
A1
C M
B
A
D
M
C1
B1
D1
A1
B
A
C
D
C1
B1
D1
A1
C
B
A
D
M
1
3
2
4
М
Е
7
С
А
В
А
В
Cамостоятельная работа по
теме «Сечения»
ВАРИАНТ №1 задача 1
В1
С1
Д1
А1
В
А
С
Д
ВАРИАНТ №1 задача 2
В1
С1
Д1
А1
В
А
С
Д
ВАРИАНТ №1 задача 3
В1
С1
Д1
А1
В
А
С
Д
В №1 задача 5
М
А
Д
В
Е
С
В №1 задача 6
Д
Е
М
В
Т
А
С
Д
Т
В
Е
С
А
М
ВАРИАНТ №2 задача 1
В1
С1
Д1
А1
В
А
С
Д
ВАРИАНТ №2 задача 2
В1
Д1
А1
М
А
С1
В
С
Д
ВАРИАНТ №2 задача 3
М
В1
С1
Д1
А1
Р
В
С
H
А
К
Д
ВАРИАНТ №2 задача 4
В1
С1
Д1
А1
R
S
В
С
А
T
Д
В №2 задача 5
Е
А
Д
В
М
С
В №2 задача 6
Д
М
Е
В
А
С
В №2 задача 7
Д
H
М
В
А
Е
С
Устные упражнения по теме
«Сечения»
Д
М
Е
В
К
А
С
Д
H
М
В
А
Е
С
Д
Т
В
А
М
Е
С
Д
Е
А
В
М
С
В1
С1
Д1
А1
В
А
С
Д
В1
С1
Д1
А1
В
А
С
Д
В1
С1
Д1
А1
В
А
С
Д
Перпендикулярность прямой
и плоскости
Определение Прямая называется перпендикулярной к плоскости,
если она перпендикулярна любой прямой лежащей в плоскости
а

а  
А
р
Теорема Если одна из двух параллельных прямых
перпендикулярна плоскости, то и другая прямая
перпендикулярна плоскости
а
в

х
а
а в
в 
Сформулируйте обратное утверждение
Теорема Если две прямые перпендикулярны
к плоскости, то они параллельны
а
в

х
а
в 
в а
Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Если прямая перпендикулярна двум пересекающим
прямым,лежащим в плоскости, то она перпендикулярна
плоскости
А
l
q
m

а
Р
Q
p
А1
L
№116 а Дано  ВАД=90
В1
С1
Д1
А1
В
А
С
Д
116 б
В1
С1
Д1
А1
В
С
90
А
Д
№117
Д
Дано ВС АД
Доказать М N  АД

N
А
С
М
В
№118
А
М
В
С
О
Д
№119 а
Дано АО=ОД
Доказать: АВ=ВД
А
=
В
О
=
Д
С
№119б
Дано ОВ=ОС
Доказать АВ=АС
В
А
О
Д
С
№119в
А
=
Дано АВ=АС
Доказать: ОВ=ОС
=
В
О
Д
С
К
№120
=в
С
В
а
А
О
Д
К
=
в
С
В
а
А
О
Д
К
№121
12
С
?
6
8
А
В
М
Д
№122
16
?
?
С

=
А
16
В
3
К
В
12
О
А
С
16
3
№123 а 
 ,


а



№124
Р
Р1
Q
Q1
№125
Q
15
Р
Р1
33,5
21,5
Q1
?
№126
М
В
А
д
С
Д
№127
С
В
А
№129
М
В
А
О
Д
С
М
№128
В
С
О
А
Д
№130
М
m
В
n
А
90
n
С
о
Д
№131
Д
В
А
М
С
№138а
А
φ
d
?
В
С
?
№138б
А
m
φ
?
В
С
?
№139
А
=
С
=
В
Д
№139 б
В
=
=
С
А
Д
№140
А
6
60 0
О
?
=
=
С
1,5
В
№141
В
С
6
?
А
М
Н
№142
В
М
А
1см
?
4 см
М
№143
4
4
4
6
=
А
6
С
=
Д
6
В
Д
№145
В
а
С
в
90
А
№147
АМД
М
В
МСД
С
пр
90
90
А
Д
№148
К
пер
А
М
90
=
С
=
пр
В
№149
Д
12
6
С
3
А
5
4
=
4
3
пер
5
М 6
пр
90
=
5
5
В
№150
К
7
?
6
А
?
9
В
пр
90
90
Д
С
№151
Д
В
С
н
А
№152
F
8
4В
С
пр
90
90
А
О
Д
Д
№154
9
13
=
13
=
В
90
А
10
М
С
М
№155
2
7
С
4
=
=
4
90
А
М1
В
№156
Д
n
С
φ
m
90
А
М
φ
В
№157
К
4,5
В
Н1
С
6
А
4
8
О
Н
3
Д
В
S=6
2,5 ОН=6
X=1,2
3
А
1,2
5
Н
С
О
4
Д
№158
12,5
В
25
25
А
60
90
Д
С
№159
К
М
С
В
А
Д
№160
В
А1
5
13
В1
А
№161
А
С
М
В
Д
М
№163а
=
=
d
А
45
Н
М
№163 б
30
d
Н
А
60
М
№163 в
d
Н
А
30
№164
М
30
d
Н
А
60
d
2
№165
А
d
Н
В
30
120
30
С
Н
60
В
М
d√3
С
№66
Д
В
А
С
№67
Д
72
54
20
18
90
21
В
А
С
№68
Д
=
Доказать МN (ВСД )
м
А
В
N
С
№70
А
=
Доказать
(МРК) (ВСД)
Р
М
Д
В
К
С
№71
Д
М
N
Е
А
К
В
Н
С
№72(а)
Д
Е
М
О
В
А
С
№72(б)
Д
Е
М
О
В
А
С
№73
Д
К
5
6
12
10
А
М
В
Р
N
С
№74
Д
Е
М
К
О
В
А
С
№75
K
F
Е
L
М О
A
N
№76
В1
С1
Д1
А1
В
А
С
Д
№78
В1
С1
М1
=
А1
=
Д1 N1
В
С
М
А
=
Д
=
N
№79а
В1
А1
С1
Д1
А
Д
В
С
№79 б
В1
С1
Д1
А1
В
А
С
Д
№80
В1
А1
С1
Д1
О
О
1
А
Д
В
С
№81
В1
А1
Е
М
С1
Д1
N
В
А
С
Д
Р
№82аб
В1
С1
Д1
А1
М
В
А
С
Д
№82в
В1
С1
Д1
А1
М
В
А
С
Д
ПЕРПЕНДИКУЛЯР И
НАКЛОННЫЕ
АН 

Отрезок АМНАКЛОННАЯ
М
проекция
точка М
основание
наклонной
А
Отрезок АНПЕРПЕНДИКУЛЯР
расстояние от
А до
Н


Точка Носнование
перпендикуляра
А
А1
Н
Н1
расстояние между
параллельными
плоскостями

=
а
А
АН 
Н

а

-расстояние
от А до

АА1 
А


А1 –ПРОЕКЦИЯ А НА
В
А
А1
В1
А1
Проекция
АВ НА


А1В1С1 - проекция АВС НА 
В
А
С
А1
С1
В1

АВ1С - проекция АВС НА 
В

В
А
1
С
ТЕОРЕМА О ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ
• ПРЯМАЯ , ПРОВЕДЕННАЯ В ПЛОСКОСТИ ЧЕРЕЗ
ОСОВАНИЕ НАКЛОННОЙ,ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО К
ЕЕ ПРОЕКЦИИ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО И САМОЙ
НАКЛОННОЙ
ПРЯМАЯ , ПРОВЕДЕННАЯ В ПЛОСКОСТИ ЧЕРЕЗ
ОСОВАНИЕ НАКЛОННОЙ,ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО К ЕЕ
ПРОЕКЦИИ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО И САМОЙ НАКЛОННОЙ
А
Н
М
а
ТЕОРЕМА О ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ
ПРЯМАЯ , ПРОВЕДЕННАЯ В ПЛОСКОСТИ ЧЕРЕЗ
ОСОВАНИЕ НАКЛОННОЙ,ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО К ЕЕ
ПРОЕКЦИИ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО И САМОЙ
НАКЛОННОЙ
ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА
Прямая,проведенная в плоскости через
основание наклонной и перпендикулярно ей,
будет перпендикулярна и ее проекции
Угол между прямой и плоскостью
это угол между прямой и ее проекцией
М
А



Н
-угол между прямой АМ и плоскостью

А
Д
М
К
С
грань
АМ  СД, КМ  СД
 АМК –линейный угол двугранного  АСДК
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ
ПЛОСКОСТИ
Две пересекающиеся плоскости называются
перпендикулярными,если угол между ними
равен 90
Признак перпендикулярности
плоскостей
Если плоскость проходит через прямую
перпендикулярную другой плоскости,то
такие плоскости перпендикулярны
Если плоскость проходит через прямую
перпендикулярную другой плоскости,то такие
плоскости перпендикулярны

В
С
А

Д
АВ  
АВ



Прямой параллелепипед- основанияпараллелограммы ,боковые ребра
перпендикулярны основанию
Прямоугольный параллелепипедоснования-прямоугольники, боковые
ребра перпендикулярны основанию
В прямоугольном параллелепипеде
1. Все шесть граней прямоугольники
2. Все двугранные углы прямые.
КУБ
• Прямоугольный параллелепипед у
которого все три измерения равны
называется кубом.
• Грани куба –равные квадраты
Теорема. Квадрат диагонали прямоугольного
параллелепипеда равен сумме квадратов трех его
измерений
2
2
2
2
d=а+в+с
В1
С1
Д1
А1
d
2
прямоугольного
параллелепипеда равны
с
А
в
2
АС1 = АВ + АД +АА1
В
а
2
Следствие. Диагонали
С
Д
2
КУБ
2
d = 3а
2
№166
А
М
пер
С

н
В
пр
N

Самостоятельная работа
задача 1 вариант 1
А
М
6 3
? 60
В
С
А
?
С
60
6 3 В

N

А
Самостоятельная работа
задача 1 вариант 2
5 2
?
С
45
А

?
М 5 2
С
45
В
В
N

№167
Д
=
=
=
М
А
В
С
Доказать  ДМВл.у ВАСД
А
№168
d
С
А
М
пер
d
С



н
В
пр
В
N

№169
№170
В
пер

2
н
45
С
150
А
30
М
В1
пр
Прямая СД перпендикулярна плоскости
прямоугольного треугольника АВС, с
прямым углом С. Найти
1) ДМ, где точка М середина АВ
2) Докажи,что прямая ДН
АВ, где СН
высота треугольника АВС
3)Найди ДН,если

1 ВАРИАНТ
• АС=8 СВ=6
• СД=2 5
2 ВАРИАНТ
• СВ=4
•
САВ=60
• СД= 2 2

С
С
С


т
т
А
А
т
В

В
А
В
С
С
С



6
2
А
А
4
В
В
А
В
С
С
С
60
45
4 2
60
4 2
А
А
2
В
В
А
30
В
С
С
С
60
45
2
60
А
30
А
В
4 2
В
30
А
4
2
В
№171
С

2Х
==
2Х
Х 2
М
?
А
Н
Х ==
2Х 2
30
В
№172
В
?
13
Н
60
А
5
С

№173
ДАСВ
ДАВС
ВДСА
Д
3 7
С
6
3 3
=
А
6
6
М
В
№174
Д
5 3 пер
5
пр
С
5 5
5 2
А
=
н
АВСД
5
В
№175
Д
А
С
ДАСВ
ДАВС
ДСВА
САДВ
К
М
В
а
а 3
2
60
а
а
М
а 3
2
а 3
2
Д
а
В
№176
В
С
В
4 3
В А
60 К
45
Д
4 3
60
Н
8
Н
45
К
А
М
К
177

У
А
В

178

А
а
С
с

В
 с
 
а
а
 
179

В
пер
С
А
Д

180
а


с
182
М
А
В

С
с

Д
10
А
Д
184
10
5
М
А
В
10
М
С
В
189
А1
?
А
d
т
А1
190
В1
К
С1
Д1
А
Д
В
С
191
А1
В1
С1
Д1
А
Д
В
С
192
А1
В1
С1
Д1
а
а
Д
а
А
В
а 2
С
А1
193
В1
С1
Д1
d
?
Д
А
п
т
В
С
?
194а
А1
В1
С1
Д1
а
а
Д
А
М
а
В
С
А1
194б
В1
С1
Д1
а
а
Д
А
а
В
С
А1
195
19
В1
С1
Д1
45
30
А
Д
12
6
В
С
А1
196
В1
С1
Д1
А
Д
а
В
С
А1
196б
В1
С1
Д1
А
Д
В
С
Многогранник , составленный из двух равных многоугольников,
РАСПОЛОЖЕННЫХ В ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЯХ и п
параллелограммов называется призмой
В1
С1
Н1
А1
М1
В
М
Е1
Боковые ребра
Боковые грани
параллелограммы
С
Н
А
Д1
Д
Е
высота
Основаниямногоугольники
Площадь полной поверхности
призмы это сумма площадей
всех ее граней
Площадь боковой поверхности
призмы это сумма площадей
всех ее боковых граней
Sполн = Sбок + 2Sосн
Прямая призмабоковые ребра
перпендикулярны
основаниям
Н
SБОК = РОСН Н
(боковое ребро
является высотой)
Правильная призма это прямая
призма, у которой основания
правильные многоугольники
Боковые грани –
равные прямоугольники
А1
219
В1
С1
Д1
А
12
Д
5
В
45
С
А1
220
В1
С1
Д1
10
А
В
24
Д
10
С
221
В1
А1
С1
6
8
А
С
10
10
В
С
8
А1
4
8
В1
222
9
А1
Д1
В1
9
С1
8
Д
А
В
8
С
25
8
223
А1
В1
С1
Д1
А
Д
В
С
А1
224
В1
С1
Д1
А
4
Д
4 2
4
В
60
С
225
А1
В1
С1
Д1
30
х
Д
А
2Х
х
В
Х 2
С
А1
226
В1
С1
Д1
М
4
А
Д
2 6
3
н
пр
2
О
2 2
В
С
227
228
А1
С1
В1
А
13
В
10
С
229а
С1
10
В1
А1
15
А
С
В
А1
229б
12
С1
Д1
8
Д
В1
А
В
С
229в
50
23
С1
230
5
120
3
В1
А1
С
А
В
231
А1
В1
С1
Д1
10
А
В
13
8
Д
60
15
С
А1
232
В1

Д1
С1
d
А
Д
В

С
В1
233
А1
С1
В
А
27
Д
12
С
В1
234
А1
С1
В
42
21
20
А
R
90
M
С
А
29
М
20
29
2
С
В
R
21
20
tqC=
21
В1
235
А1


С1
В
А
Д
С
236
h1
h2
a
SБОК = Р СЕЧ а
238
12
К
М
35
24
Р
 Плоский угол
Р
при вершине
Боковое
ребро
вершина
апофема

между боковым
 Угол
ребром и плоскостью
высота
А1
Боковая граньтреугольник Аn
основания
А2
Н


основание
 двугранный угол при основании
А3
А4
Площадь полной поверхности пирамиды
это сумма площадей всех ее граней
Площадь боковой поверхности пирамиды
это сумма площадей ее боковых граней
Sполн = Sбок + Sосн
Пирамида называется правильной
если ее основание правильный
многоугольник и вершина проектируется в центр основания
Боковые ребра правильной пирамиды равны.
Боковые грани- равные равнобедренные треугольники
Двугранные углы при основании равны
ДОКАЗАТЬ!
Р
На
A1
A2
R
r
An
1
SБОК = 2 РОСН
а
A3
На - апофема
ПРАВИЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
№
1
а
2 3 6 3
2
3
3
6
4
P
R
r
S
2
1
3 3
9 3 3
3/2 9 3/4
18 2 3 3 9 3
3
3
0.5 3 3/4
1
3
КВАДРАТ
№
1
2
3
4
а
P
2 2 8 2
6
R
r
S
2
2
8
24 3 2
2 3 8 3 2 6
2 4 2 1
3
36
3 12
2/2 2
Устно
ПРАВИЛЬНАЯ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА
№ а h
1 4 2 4
2
r
6
3
4
Ha PA
6
23
32
R
2
6
ПРАВИЛЬНАЯ ПИРАМИДА
Р
16,25
5
4
В
R=3
А
О
3 3
М
r=1,5
С
Устно
r=3
h=4
ПРАВИЛЬНАЯ ПИРАМИДА
Найти а, На R Sосн SБОК
Р
РА1
h
На
A1
A2
О
A4
а
R
r
A3
Устно
а=4 2
h=4
ПРАВИЛЬНАЯ ПИРАМИДА
Найти На r
Р
h
R Sосн SБОК РА
На
A1
A2
О
A4
а
R
r
A3
 РКО
РСО
- двугранный угол при основании
P
-угол между РС
и плоскостью
основания
 РСО= 45
4 2
4
 СРД= 45
2 6
С
В
4
А
2 2
К
О
4 2
Д
№2
P
2 5
4
2 6
С
В
2
А
О
2
К
2
2
Д
ПРАВИЛЬНАЯ ТРЕХУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА
№
а h
Ha PA
r
R
Sбок Sпол
н
1
2
3
4
известна сторона основания- а и высота
пирамиды- h
Найдите
1)боковое ребро
2) апофему
3)площадь боковой и полной поверхности
4)угол между боковым ребром и
плоскостью основания
5) двугранный
угол при основании
6)плоский угол при вершине
• 1)В n=3
a=4 h=5
• 1) n=3 a=4 Дома
3
классе
• 2) n=4 a=2 h=3
• 2) n=6 a=6 h=4
h=6
• 2) n=4 a=4 2
h=4
• 2) n=6 a=4 h=5
№1
Р
5
В
R
А
О
4
М
r
С
P
3
С
В
4
А
О
К
2
Д
Р
4
Д
Н
С
О
А
6
В
239
Р
7
5
С
В
8
О
А
5
5
Д
P
4
2 6
С
В
4
А
2 2
К
О
4 2
Д
240
Р
S=360
12
13
15
С
В
А
К
5О
36
9
Д
М
20
241
2
С
В
4
А
3
К 5
О
Д
242
М
х
В
х
х 2
А
12
45
Д
С
Д
243
9
А
13
В
12
М 10
13
С
5
Д
244
20
А
29
В
21
90
С
245
М
2х
В
30
А
х
2х
8
2х
45
Д
С
246
Р
41 40
41
С
В
А
Р
О
Д
Д
Р
247
С
В
А
Р
О
Д
Д
М
248
В
10
А
О
10
45
К
r
12
С
249
Р
С
В
А
Р
О
Д
Д
Д
250
16
А
В
М
45
С
Д
251
А
В
С
Правильные многоугольники
а
R
r
R= 3 ,
R=2
R= 4/ 3
R= 4
а
R
r
1) а=3
2) а=2 3
3) а=4
4) а=4 3
S
r= 3/2
r=1
r=2/ 3
r=2
S=9 3/4
S=3 3
S=4 3
S=12 3
P
Основанием пирамиды ДАВС является
равнобедренный
треугольник АВС
АВ=АС, известно что боковые ребра
пирамиды равны
Найти высоту пирамиды,если
• Вариант 1
ВС=12 АВ=10 ДС= 20
• Вариант 2
ВС=6
В=30 ДА=20

Основанием пирамиды является треугольник
АВС.Каждая боковая грань наклонена к
плоскости основания под углом 45 Найти
площадь боковой поверхности пирамиды
ДАВС , если стороны треугольника АВС
Вариант 1
Вариант 2
13, 14, 15
ПРАВИЛЬНАЯ ПИРАМИДА
Д
В
R
А
О
М
r
С
Найти 1)боковое ребро2)угол между боковым ребром и плоскостью
основания 3) апофему 4) площадь поверхности 5) двугранный угол
при основании 5) плоский угол при вершине
Д
Д
ПРАВИЛЬНАЯ ПИРАМИДА
5
?
13
5
3
5
2 3
А 4 3 С
В
А
2 О
4 3
4
С
254
Д
К
Н
?
В
М
А
О
а
С
255
Д

В
А
О
8
М
С
Д

2
А
4
4
8
С
256
Р
С
В
А
Р
О
Д
т
Д
ЦИЛИНДР
В
ОСНОВАНИЕ
О1
С
ОБРАЗУЮЩАЯ
(ВЫСОТА)
Боковая
поверхность
А
ОСЬ
О
Д
М
РАДИУС
ОСНОВАНИЯ
Р
Sос сеч = 2RH=dH
О1
В
С
Н
ОСЕВОЕ СЕЧЕНИЕ
МНРК
ОСЕВОЕ СЕЧЕНИЕ
АВСД
К
А
О
М
Д
СЕЧЕНИЕ ПРОХОДЯЩЕЕ
ЧЕРЕЗ ОСЬ ЦИДИНДРАОСЕВОЕ СЕЧЕНИЕ
(ПРЯМОУГОЛЬНИК две
стороны –диаметр основания,
две другие образующие)
Если секущая плоскость проходит
перпендикулярно оси цилиндра, то
сечением является круг
Цилиндр может быть получен
вращением прямоугольника вокруг
одной из его сторон
В
С
А
Д
Развертка цилиндра
В
2ПR
С
H
А
SБОК = 2ПRH
Д
2
S=2ПRH+ 2ПR
Найти высоту,
радиус основания,
площадь основания
522
В
С
О
48
А
30
60
О
?
24
Д
?
Найти высоту,
площадь основания
523
В
С
?
20
О
45
А
О
Д
?
524
Осевые сечения цилиндров равны. Равны ли
высоты?
525
Площадь осевого сечения цилиндра 10 м
2
площадь основания- 5 ,найти высоту
цилиндра
10 м
2
S =
S
осн
ос. сеч
3П
4
Найти
1) угол между диагональю
осевого сечения и плоскостью
основания
2)Угол между диагоналями
осевого сечения
С
В
2
1
А
Д
527а
О
d
r
М
13
О1
В
h
Д
А
В
10
О
М
10
C
527б
О
5 d
r
М
10
О1
В
8
6
Д
А
530
О
А
О
10
?
К
В А 6 К
12
В
531
О
К
?
9
240
В
10
В
О
9
М
C
532
А1
С1
В1
2r
В

А
С
533
А1
d
В1
h
С1
S
А
2r
В
С
Scеч-?
534
А1
В1
h
С
d
В
А
С
120
О
О
60
d
В
М
А
№535
Scеч-?
А1
С1
10 3
А
В
60 2
М
С
В
60
О
30
О
2
С
М
А
№536
А1
С1
В1
S
S
А
В
С
№537
Найти SБОК
h=C
1м
№538
SБОК=S
Найти S OC.CЕЧ
№539
2
на 1м -200г
1,5м
3м
№540
Высота цилиндра на 12 больше его радиуса, а
площадь полной поверхности равна 288П
Найдите радиус основания и высоту цилиндра
х
Х+12
№541
20см
4м
№542
Sосн = S


Найти
Sбок
№543
Найти Sбок Sполн
C=2ПR

d
№544 Найти Sосн
C=2ПR
d
d
2
а
№545
а
r=a
h=а
D
524
r=b
A
b
a
a
r=a
C
b
B
КОНУС
Р
вершина конуса
образующие
высота
ось
О
основание
в
а
Осевое
сечение
С
О
А
Д
М
Сечение перпендикулярное оси
В
2
S=Пl a 360
a
l
S=Пrl
S = П r ( l + r)
l
r
Sб=Пrl
Усеченный
КОНУС
С
О
А
М
Д
В
О1
основание
высота
образующая
О
основание
О1
О
О1 а
m
h
О
в
Sб = П (R+r) l
№547
С
?
15
А
О
8
В
№548
С
12
А
60
45
30
О
В
№549
С
?
8
А
О
В
С
550
О
А
М
Д
В
№551
30
45
60
2r
2r
2r
2r
№552
С
60
90
?
h
А
О
В
№553
С
?
S=6
А
О S=8
В
С
555
10
А
М
В
30
45
60
60
H
60
K
С
557
О
O1
А
М
Д
D1
В
558
4
a
l5
3
C
560
180
90
60
l
A
H
B
C
561
120
9
A
B
№562
С
45
6,5
А
О
В
№563
С
S=0,6
1,2
А
О
В
№564
С
a
a
А
p
О
В
565
6
8
566
B
m
m
A
p
H
D
567
3
B
4
A 3
6
О1
4
3
О
568
B
5
О1
10
A
6
11
5
О
569
r
B
О1
R-r
45
A
R-r
K
R
r
О
570
С
О
А
Sб=80
М
Д
В
571
B
C
4
3
A
3 2
45
4
3
D
572
B
10
О1
30
A
5
15
10
О
1м
2
= 150 г
Сфера и шар
Сферой называется поверхность, состоящая из
всех точек пространства, расположенных на
данном расстоянии от данной точки
ОМ –радиус сферы
М
О
Центр сферы
573
А
М
О
В
574а
А
В
М
50
О
574б
А
В
М
15
О
574В
А
В
М
100
О
574г
А
В
М
в
О
а
О1
r
d R
R
О
580
r
9
R 41
d
О
581
В
8
С
О1
6 r
10
d
А
R
О
582
С
О1
В
Д
8
r
d
А
R 10
АС=16
О
583
В
13
О1
А
15
5
14
С
О
С
В
583
О1
10
С
В
К
О1
10
А
D
О
А
7,5
К
D
AC=20
BD=15
Самостоятельная работа
по теме
«Объем»
Найти объем куба
V=a3
2
3 2
2
Найти объем куба
V=a3
2
2
d = 3a
3 3
2
27=3a
2
a =9
a=3
v=27
Найти объем прямоугольного параллелепипеда
V= Sосн h = abh
5
3
5
4
45
Найти объем прямоугольного параллелепипеда
V= Sосн h = abh
5
3
5
4
45
Найти объем прямоугольного параллелепипеда
V= Sосн h = abh
1
2
1
3
2
30
Найти объем прямоугольного параллелепипеда
V= Sосн h = abh
4
5
3
4
SСЕЧ =20
Найти объем прямоугольного параллелепипеда
V= Sосн h = abh
2
сечение
квадрат
2 2
2
3
1
Найти объем прямоугольного параллелепипеда
V= Sосн h = abh
2
1
30
3
2
1
Найти объем прямоугольного параллелепипеда
V= Sосн h = abh
4
30
2
1
60
3
Найти объем правильной пирамиды
V=
1
3
P
Sосн h
3
С
В
2
А
О
К
2
2
Д
Найти объем правильной пирамиды
V=
1
3
P
Sосн h
5
3
С
В
4
А
О
К
4
2
Д
Найти объем правильной пирамиды
V=
1
3
P
Sосн h
2
45
В
А
О
К
4
2
2
Д
С
Найти объем правильной пирамиды
V=
1
3
P
Sосн h
2 3
3
30
В
А
О
К
3
2
3
Д
С
Найти объем правильной пирамиды
V=
1
3
Sосн h
D
2
А
1
С
3
3
О
В
Найти объем правильной пирамиды
V=
А
1
3
Sосн h
D
45
3
1
С
О
В
Найти объем правильной пирамиды
V=
1
3
Sосн h
D
2
А
1
30
С
3
3
О
В
Найти объем пирамиды у которой равны боковые ребра,
основание прямоугольник
P
1
3
V= Sосн h
5
45
В
А
5
6
О
К
8
С
Д
Найти объем пирамиды у которой углы между боковыми
ребрами и плоскостью основания равны 45,
основание прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8
D
5
А
45
5
С
О
6
8
В
Найти объем пирамиды у которой углы между боковыми
ребрами и плоскостью основания равны 45,
основание равнобедренный прямоугольный треугольник
с гипотенузой 2
D
1
45
А
1
1
2
С
О
В
1
2
Найти объем пирамиды у которой углы между боковыми
ребрами и плоскостью основания равны 30 ,
основание равнобедренный прямоугольный треугольник
с гипотенузой 4
D
1
30
А
2
С
О
2
2
В
ПЛАНИМЕТРИЯ
«Не знающий геометрии да не
войдет сюда».
Геометрия учит доказывать, а
речь человека убедительна только
тогда,
когда он доказывает свои выводы.
№
R
Q
А
а
В
Р
А а
В а
Ра
Q а
R а

№2
В
А
С
№3
1случай
В
А
С
№3
2 случай
А
№4
С
В
А
Д
№4
С
В
А
Д
№5
R
P А
М
S
N
В Q
№6
А
В
С
а
№7
А
В
С
Д
ЛУЧ
В
С
A
Точка А разделяет прямую а на две
части, каждая из которых называется
лучом, исходящим из точки О
Точка А -начало луча
О
М
Луч ОМ
а Луч а
Угол
А
В
С
Угол- это геометрическая фигура, котор
состоит из точки и двух лучей, исходящих
из этой точки
Лучи АВ и АС – стороны угла
Точка А- вершина угла
Угол
А
В
С
 ВАС или  САВ или  А
к
а
 ак
Внешняя
область угла
А
F
Р
В
Внутренняя
область угла
С1
А
М
В
G
К
С
Развернутый угол
обе стороны лежат на одной прямой
А
А развернутый
В
Д
А
С
Луч АД делитАВС на два угла
 АВД и  ДАС
№8
A
С
В
№9
В
m
А
О
 ВОА
к
h
№10
a
a
s
 sad
a
d
№11
h
k
l
 hk
 kl

hl
№12
А
К
G
М
k
В
С
h
№14
В
C
O
А
Д
№15
D
N
A
E
S
Биссектриса угла –луч, исходящий из
вершины и делящий его на два равных
угла
В
Д
С
А
Луч АД делитАВС на два равных угла
 АВД
=
ДАС
АД-биссектриса
 АВС
№17
О
В
ОВ < ОА
ОС > ОА
ОВ < ОС
А
С
О -середина АВ
O


=
A

=
№18
АО=ОВ
B

Д

=
С

=
B

=
A

=
№20
Середина отрезка АС - точка В
АЕ - точка С
СЕ- точка В
Отрезок серединой которого является
точка
Д
точка С
- СЕ
- АЕ , ВД
Е

№21
В
С
О
 АОВ >  АОС
А
№22
h
l
k

hl
 hk
=  kl
>  hl
№30
А

7,8см
В

С

2,5см
Дано:
АС-отрезок
В АС
АВ=7,8см
ВС=25мм=2,5см
Найти
АС
Решение
АС=АВ+ВС
АС=7,8+2,5 =10,3(СМ)
Ответ: 10,3(СМ)
№31(а)
А

3,7см
В

?
7,2см
Решение
С

Дано:
АС-отрезок
В АС
АВ=3,7см
АС=7,2см
Найти
ВС
№31(б)
А
 4мм
В

?
40мм
Решение
С

Дано:
АС-отрезок
В АС
АВ=4мм
АС=4см=40мм
Найти
ВС
№32
1 случай
С
А
В



12см
13,5 см
а
2 случай
а
В

12см
А

С

13,5 см
Решение
Дано:
а-прямая
А,В,С а
АВ=12см
ВС=13,5см
Найти
ВС
№33
В

а
1 случай
7 см
Д

16см
М

Найти
ВМ
2 случай
а
Д

7см
В

16 см
Дано:
а-прямая
М,В,Д а
ДВ=7см
МД=16см
М

№34
А

Д 15см С


32см
32см
64 см
Решение
В

Дано:
АВ -отрезок
С-середина АВ
ДСА
АВ=64см
СД=15см
Найти
ВД и ДА
№35
М
 170км
Т

?
650км
Решение
С

Дано:
М,С,Т  а
МС=650 км
МТ=170 км
Найти
ВС
№36
А

3см
В

4см
С

неверно
5 см
А
В
С

Дано:
С середина АВ
О –середина АС
АВ=2см
Найти
АС,СВ,АО,ОВ
№37(а)
А
О
 0,5см 
С

0,5 см
2см
Решение
1см
В

Дано:
С середина АВ
О –середина АС
СВ=3,2м
Найти
АВ,АС,АО,ОВ
№37(б)
А
С
О
 1,6см  1,6 см 
6,4см
3,2м
В

Дано:
А,О,В а
О АВ
М середина АО
К –середина ОВ
АО=12см
ОВ=9см
Найти: МК
№38(а)
А
12см


М
6
О

9см
4,5

К
В

№38(б)
9
Дано:
А,О,В а
О АВ
М середина АО
К –середина ОВ
АО=12см
ОВ=9см
Найти: МК
4,5
А

В
6см
М

12см
4,5
К

6 см
О

№38
С

А М О
  
а
В

№40
А М О
  
С

28см
16см
Д

В

Виды углов
Развернутый угол
обе стороны лежат на одной прямой
А
А развернутый
=180
А
Виды углов
Развернутый угол обе стороны лежат на одной прямой
Угол называется прямым, если он равен 90
Угол называется острым, если он меньше 90
Угол называется тупым, если он больше 90
А
 А<90
М
 М =90
D>90
D
В
Д
А
С
Если луч делит угол на два угла, то
градусная мера всего угла равна сумме
градусных мер этих углов
В
Д
А
С
Луч АД делитАВС на два угла
 АВД и  ДАС
 АВС =  АВД +  ДАС
№47 В
Е
О
77
44
А
Дано:
а) АОЕ=77
ЕОВ=44
б) АОЕ=12 37 /
 ЕОВ=108 25
Найти:
АОВ
 АОВ =  АОЕ +  ЕОВ
АОВ =77 +44 = 121
 АОВ=12 37* + 108 25* =121 2*
№47
Дано:
а) АОВ=78
 АОС < ВОС
на 18
В
Найти:
 АОВ
С
О
х
А
№49
Дано:
а) АОВ=155
 АОС > ВОС
на 15
Найти:
 АОC
В
С
х
О
х+15
х+15+х=155
2х=155-15
2х=140
х=70
А
Решение
2)70+15=85 -  АОС
Ответ:  АОС=85
№50
С
х
О
В
3х
Дано:
 АОС=78
 АОВ=3  ВОС
Найти:
 АОВ
№50
А
№51
М
А
В
С
30
О
30
Р
30
Д
№52
Y
V
U
80
1
Z
1 22
O  XOZ-?
X
№53
h
 hl= kl
l
k
 hl – прямой или тупой ?
Смежные углы
Определение: два угла у которых одна
сторона общая, а две другие являются
продолжением одна другой называются
смежными
ТЕОРЕМА : сумма смежных углов равна 180
В
А
О
С
Вертикальные углы
Определение :два угла называются
вертикальными, если стороны одного
угла являются продолжением сторон
другого
Теорема: вертикальные углы равны
1
3 2
4
Д
А
Перпендикулярные прямые
2
1
3
4
С
В
Определение : две пересекающиеся прямые
называются перпендикулярными, если они
образуют четыре прямых угла
Перпендикулярные прямые
А
В
АА1
ВВ1
Q
Р
А1
В1
АА1


PQ
PQ
ВВ1
Теорема: две прямые перпендикулярные
третьей не пересекаются
№54
В
О
Д
А
Дано:
1)  АВС=111
2)  АВС=90
№56
3) АВС=15
С
111
М
В
Найти
 СВМ смежный
с
 АВС
А
№61
k
x x+40
h
l
1)
 h k <  kl на 40
2)
 hk >
3)
4)
 hk >  kl на 47 18
kl на 120
 hk=3 kl 5) hk: kl=5:4
№62
Д
С
148
74
А
32
2 1
О
74
В
№64
2 3
1 4
43 27
Дано:
 1+ 3=114
№65
72
2 3
1 4
72
№65(2)
40
Дано:
1+ 3+  2=220
1
2
3
4
140
40
Найти:
1+  2+  3
№66
2
1
3
3
1
2
№68
B
A
60
C
60
O
F
D
E
№69
a
P
A
Q
№70
A
d
b
e
a
№50
№50
№50
№50
№50
№50
№50
№50
№50
№50
№50
№50
№50
№50
№50
№50
№50
№50
Устные
упражнения
В
С
А
Д
а
С
Е
В
К
А
а
в
n
m
а
а
F
А1
В1
С1
Д1
А
Д
В
С
а
В
А
а
С
Д
АВСДЕ