Transcript Объем наклонной призмы, пирамиды и конуса. Теорема

Объем наклонной
призмы, пирамиды и
конуса.
Теорема: Объём пирамиды равен одной трети
произведения площади основания на высоту
O
B1
h A1
A
M1
C1
B
C
h
х
S ( x)
x
S
k  , следовательно
 ( ) 2 или S ( x)  2 x 2
h
S
h
h
h
h
3 h
S 2
S
S x
2
x
dx

x
dx

2
2 
2
h
h
h
3
0
0
V   S ( x)dx  
0
AB
ОА1М1 и ОАМ подобны.
ОА1 ОМ 1 х
А1 В1 х
В1С1 х




ОА ОМ h
АВ h
ВС h
M
x
Дано: треугольная пирамида OABC, Vобъем
S - площадь основания, h - высота
Доказать: V = Sh
Доказательство: проведём ось Ox, OM высота пирамиды, сечение A1B1C1 ┴Ox
и => A1B1C1║ABC, x - пересечение A1B1C1 с
осью Ox, S(x) - площадь сечения. A1B1 OA1
A1B1║AB, поэтому ∆O A1B1~∆OAB => ——— = ———
0
1
 S h
3
OA
С1 А1 х

СА h
h
V = ⅓(S1+S2+S3)h =⅓S*h
S1
S2
S3
h
h
V =∫ S(x)dx = ∫
0
0
3
S
2
S
h
2
S
— ∫ x dx = —
x
dx
=
2
2
h
—
2
h
0
h
x
—
3
h
│ =⅓S*h
0
Следствие:
Объем V усеченной пирамиды, высота которой равна h , а площади
oснований равны S и S1, вычисляется по формуле
V = ⅓h(S + S1 + √S*S1)
Следствие:
Объем V усеченной пирамиды,
высота которой равна h , а
площади оснований S и S1,
вычисляется по формуле:
1
V  h( S  S1  S  S1 )
3
Задача: Дано: АВСД - правильная пирамида,
АВ = 3, АД = 2√3.
Д
Найти: а) S бок пов ;
б) АО;
в) ДО;
г) V
С
А
0
В
Задача: Дано: АВСДF- правильная
пирамида. <FCO= 450, FO = 2
F
Найти: а) Sбок;
б) V
В
А
С
O
Д
Дома:
П 69
№ 684(а)
№ 686(а)
№ 687