Transcript Задачи на нахождение углов между плоскостями.

Задачи на нахождение углов между
плоскостями.
(Вычислительные методы)
Угол между плоскостями – это двугранный угол Т.е. - это
угол, образованный некоторой прямой a и двумя
полуплоскостями с общей границей a, не принадлежащими
одной плоскости.
Прямая
a – ребро двугранного угла
a
Двугранный угол
Две полуплоскости – грани двугранного угла
Две пересекающиеся плоскости образуют две пары
равных между собой двугранных углов.


Величиной угла между плоскостями
называется величина меньшего
двугранного угла.
Алгоритм построения линейного угла.
Угол РОК – линейный угол двугранного угла РDEК.
D
Градусной мерой двугранного
угла называется градусная
мера его линейного угла.
O
Р
К
E
Плоскостьлинейного угла ( РОК)  DE
Повторим Величиной угла между плоскостями
называется величина меньшего двугранного угла.
О


Величина двугранного угла
измеряется величиной
соответствующего линейного угла.
Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.
Треугольник АВС – равнобедренный.
АС  ВМ
В
H-я
 АС  NМ
TTП
П-я
П-р
А
К
N
M
П-я
С
Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВАСК
Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.
Треугольник АВС – прямоугольный.
АС  ВС
H-я
 АС  NС
TTП
П-я
В
П-р
А
К
С
N
Угол ВСN – линейный угол двугранного угла ВАСК
Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.
Треугольник АВС – тупоугольный.
АС  ВS
H-я
 АС  NS
TTП
П-я
В
П-р
А
К
С
S
N
Угол ВSN – линейный угол двугранного угла ВАСК
Задача. Построить линейный угол двугранного угла
ВАСК. АВСD – четырехугольник, АС – диагональ, АС=1;
ВС=2; АВ= 5 ОTTП
АС  ВС

АС  NС
П-я
H-я
В
5
А
П-р
2
1
К
N
С
D
Угол ВСN – линейный угол двугранного угла ВАСК
Задача. Построить линейный угол двугранного угла
ВАСК. АВСD – четырехугольник, АС – диагональ; АС=5,
ВС= 6, АВ= 9.
ОTTП
АС  ВS
H-я
 АС  NS
П-я
В
9
А
6
5
П-р
К
С
S
N
D
Угол ВSN – линейный угол двугранного угла ВАСК
Задача. Дан куб. Найдите следующие двугранные углы:
a) АВВ1С; б) АDD1B; в) А1ВВ1К, где K – середина
ребра А1D1.
•
D1
С1
K
•
А1
Угол АDВ – линейный угол
двугранного угла АDD1B. Равен 45 ,
т.к. D1B –диагональ квадрата.
0
В1
•
•
D
А
С
В
Угол АВС – линейный угол
двугранного угла АВВ1С.
Прямой, т.к. АВСД – квадрат.
Угол А1В1К– линейный угол
двугранного угла А1ВВ1К
В треугольнике А1КВ1 угол А1
–прямой, катеты равны 1 и 0,5.
1
A1 B1 K  arctg .
2
Решение задачи с помощью построения линейного
угла.
С1
2
А1
1) Построим плоскость СBА1 Перпендикуляр
из точки А1на плоскость (АВС) – точка
А, А1D – наклонная, АD проекция
наклонной на (АВС). Тогда угол АDА1
– это линейный угол двугранного угла
между плоскостями (АВС) и ( ВА1С).
В1
2) Из  AВС:
5
AD 

D
В
22  1 
4) Из  A1AD:
cos 
3) Из  A1ВD:
cos 
A1 D 

2
3.
С
А
AB  BD
2
A1 B 2  BD2
5 1 
4  2.
AD
;
A1 D
3
2
Из  A1AD:
  30
Решение задачи построением параллельной плоскости.
Задача.В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F середины ребер соответственно
A1B1 и A1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD1.
1) Заменим плоскость DBB1 на параллельную плоскостьFEKL. Угол
между плоскостями
углу между плоскостями AEF и
D1 AEF и BDD1 равен
C
1
FEK.
2) Ребро двугранного угла – FE.
F
3) Строим линейный угол
О E
двугранного угла AFEK.
A1
4) Найдем два элемента
B1
треугольника AOP. Пусть ребро
куба равно a (или 1).
5) Из  APK:
6) Из  AОP:
a
AP
AP
cos 45 0 
;
tgAOP

;
AK
D
C
OP
L
2 AP
a
P
a 2

;
tgAOP
: a;
a
2
4
a
2
A 0
B
45
2
K
AP 
a 22 a
. ;
24 2
tgAOP 
2
.
4
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с основанием
ВО = 3 – это составляет 3 части.
ABCD сторона основания равна 3 2 , а боковое ребро равно 5.
КО = 3 : 3 = 1 (это 1 часть)
MK угол
BO между плоскостями
Найдите
и ACM, где точка M делит ребро
SO II MK ВК = 3ABC

:
3
*
2 = 2 (это 2 части)
 BO
SOчто
BS так,
BM : MS = 2 : 1.
Тогда по теореме Фалеса:
угол двугранного
MO
AC,: MBBO
еслиSM
= 1: AC
2, тогда BOM
BS–=линейный
5 – это составляет
3 части.угла MACB

OK : KB = 1 : 2.
5(это
Из
KBM
:
SM
=
5
:
3
=
1
часть)
Из

ABD
:
S
3
2
2
2
BM
KB
KM
2 
2 ;
MB = 5 : 3 BD
* 2 2= 10AB
(это
2
части)

 AD ;
3
2
5
2
10
 2
2 2
2
3
 3 ;2 ;
BD   32 2 KM

   
5
10
3
M
D
8C
3
O
3 2
K
B
2
1
3
A
 3 2
BD  18  18;
100
2
KM 
 4;
BD   36
;
9
BD  6 . 64
KM  
;
Тогда ВО 9 3
8
KM  .
3
Из  KOM :
MK
tg 
;
KO
8
tg  : 1;
3
8
tg  .
3
8
Ответ :   arctg .
3
•
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка N – середина
ребра CD , AB = 3 , BC = 2 , BB1 = 2. Найдите угол между плоскостями
AB1N и ABC .
•
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD
сторона основания равна 3, а боковое ребро равно 5. Найдите угол
между плоскостями ABC и ACM, где точка M делит ребро BS так, что
BM : MS = 2 : 1.
Р е ф л е к с и я:
• На уроке я вспомнил(ла)………………………….
• На уроке мне удалось самостоятельно сделать
………………….........................................................
• Трудно было ………………………………………….
• Знания, полученные на уроке, я смогу (не
смогу) применить ……………………………………