Transcript Document

start
Содержание:
Определения сферы и шара
Характеристики сферы(шара)
Уравнение сферы
Сечение сферы и шара плоскостью
Касательная плоскость к сфере
Поверхность шара
Поверхность шарового сегмента, пояса и шара.
Шаровой сегмент, слой и сектор
Объемы
Об авторе
Управляющие
кнопки
Шпаргалки
Определение сферы
Сфера, или шаровая поверхность - это
геометрическое место точек пространства,
равноудаленных
от
одной
точки,
называемой центром сферы.
O
Определение шара
Шаром называется тело, ограниченное сферой.
O
Радиус сферы - отрезок прямой,
соединяющий центр с любой ее точкой,
например AO = OB = R
A
A
O
B
O
B
Хорда – отрезок прямой, соединяющий две
любые точки сферы, например MN и LP.
L
N
L
M
O
M
P
N
O
P
Диаметр – хорда, проходящая через центр
сферы, например AC и BD.
A
A
B
O
B
D
C
Задача
O
C
D
Сечение сферы и шара плоскостью
Сечение сферы любой
плоскостью есть
окружность.
Сечение шара любой
плоскостью есть круг.
O
O
Круг, образованный сечением
шара плоскостью,
проходящей через центр,
называется большим кругом
шара.
Круг, образованный сечением
плоскостью, не проходящей
через центр, называется
малым кругом шара.
O
O
Сечения, равноудаленные от центра шара,
равны:
При AO = OB
сечение плоскостью α
равно сечению
плоскостью β
A
α
O
B
β
Из двух сечений, не одинаково удаленных от
центра шара, больший радиус имеет то,
которое ближе к центру:
При AO > OB
сечение плоскостью
α меньше сечения
плоскостью β
A
α
O
B
β
Всякая плоскость, проходящая через центр
шара, делит его поверхность на две
симметричные и равные части.
OO
Через две точки сферы, не лежащие на концах
одного диаметра, можно провести окружность
большого круга и притом только одну.
A
O
B
Окружности двух больших кругов при
пересечении делятся пополам.
O
O
Уравнение сферы
В прямоугольной системе координат уравнение
сферы радиуса R с центром
C (x0; y0; z0)
имеет вид
(x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2 = R2
рисунок
доказательство
устные задачи
(x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2 = R2
y
M (x; y; z)
R
С (x0; y0; z0)
0
z
x
Доказательство:
Расстояние от произвольной точки M (x; y; z)
до точки C вычисляется по формуле
MC  (x – x 0 ) 2  (y – y 0 ) 2  (z – z 0 ) 2
Если точка M лежит на данной сфере, то
MC = R, или MC2 = R2, то есть координаты
точки M удовлетворяют уравнению
(x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2 = R2
Если же точка М не лежит на данной сфере,
то координаты точки не удовлетворяют
уравнению.
Устные задачи
Задача №1
Напишите уравнение сферы радиуса R с центром
A, если A (2; –4; 7), R = 3
Задача №2
Найдите координаты центра и радиус сферы,
заданной уравнением: (x – 3)2 + (y + 2)2 + z2 = 25
Касательная плоскость к сфере
Плоскость, имеющая со сферой только одну
общую точку, называется касательной
плоскостью к сфере, а их общая точка
называется точкой касания плоскости и
сферы.
O
Свойство касательной к плоскости
Радиус сферы, проведённый в точку
касания
сферы
и
плоскости,
перпендикулярен к касательной плоскости.
Доказательство
O
Признак касательной к плоскости
Если радиус сферы перпендикулярен к
плоскости, проходящей через его конец,
лежащий на сфере, то эта плоскость является
касательной к сфере.
Доказательство
O
Поверхность шара
Сегментная поверхность шара
Шаровой пояс
Часть шаровой поверхности, отсекаемая от
нее какой-нибудь плоскостью, называется
сегментной поверхностью.
O
Окружность пересечения плоскости с шаровой
поверхностью называется основанием, а
отрезок AB радиуса шара, перпендикулярного
к плоскости сечения, - высотой сегментной
поверхности.
A
A
D
B
C
O
C
B
O
D
Часть шаровой поверхности, заключенная
между двумя параллельными секущими
плоскостями называется шаровым поясом.
O
Окружности
сечений
называются
основаниями шарового пояса, а расстояние
AB между параллельными плоскостями –
высотой пояса.
D1
A
С1
С1
A
D1
O
O
D2
B
С2
С2
B
D2
Поверхность шарового сегмента,
пояса и шара.
Площадь поверхности:
шарового сегмента (сегментная поверхность)
шарового пояса
шара
Сегментная поверхность равна произведению
ее высоты на длину окружности большого
круга:
Sсегм = 2πRh ,
O
где R – радиус большого круга шара, а h –
высота сегментной поверхности.
Задача
Поверхность шарового пояса равна
произведению высоты пояса на длину
окружности большого круга:
Sпояса = 2πRh,
O
где R – радиус окружности большого круга,
а h – высота пояса.
Площадь
поверхности
шара
равна
произведению длины окружности большого
круга на диаметр:
Sшара = 4πR2
где R – радиус шара.
Поверхности шаров относятся, как квадраты
их радиусов или диаметров.
Задачи
Шаровой сегмент, слой и сектор.
шаровой сегмент
шаровой слой
O
шаровой сектор
Шаровым
сегментом
называется
отсекаемое от шара плоскостью.
O
тело,
Шаровым слоем называется тело, отсекаемое
от шара двумя секущими параллельными
плоскостями.
O
Шаровым
сектором
называется
тело,
полученное вращением кругового сектора
вокруг оси, лежащей в его плоскости,
проходящей
через
его
центр
и
не
пересекающей сектора.
O
Объемы
Объем:
шарового сектора
шара
шарового сегмента
Отношение объемов шаров
Объем шарового сектора равен произведению
поверхности соответствующего шарового
пояса (или шарового сегмента) на треть
радиуса:
Vшар.сект
O
R 2
 2RH    R 2 H
3 3
Объем шара равен произведению его
поверхности на треть радиуса:
O
Vшара
3
4

D
  R 3 
3
6
где R – радиус шара, D – диаметр.
Задача
Задача
Даны два шара. Диаметр первого шара в 3 раза
меньше диаметра второго шара. Найдите
отношение их объемов.
Решение:
D1/D2 = 1/3, следовательно
R1/R2 = 1/3, тогда
3
3
V1 4/3 πR1
R1
1
V2 4/3 πR23
R2
27
V1
1
Ответ:

V2 27
Объемы шаров относятся, как кубы их
радиусов или диаметров.
V1
V2
R1
R2
Задача
3
Объем шарового
формуле:
сегмента
находится
h

Vшар сегм.  h  R  
3

2
O
Задача
по
Задача
Найдите площадь и объем шарового сегмента,
если радиус окружности его основания равен
9 см, а расстояние от центра основания до
шара равно 3 см.
Рисунки
h
O
O
r
h = 3 см
R
r = 9 см
Sсегм.пов - ?
Vсегм.пов - ?
Решение
Решение:
По т еорем еПифагора:
( R  h) 2  r 2  R 2
R 2  2 Rh  h 2  r 2  R 2
2 Rh  h 2  r 2
h 2  r 2 9  81
R

 15(см), от куда
2h
6
S сегм.пов .  2Rh  2 15 3  90 (см2 )
h
1
Vсегм.пов .  h 2 ( R  )    9  (15  3  )  126 (см3 )
3
3
Доказательство:
Предположим, что ОА не перпендикулярен
плоскости, следовательно ОА - наклонная к
плоскости, откуда ОА > R. По условию
OA = R, получаем противоречие, поэтому
ОА перпендикулярен плоскости, что и
требовалось доказать.
O
Из условия теоремы следует, что данный
радиус является перпендикуляром,
проведённым из центра сферы к данной
плоскости. Поэтому расстояние от центра
сферы до плоскости равно радиусу сферы, и,
следовательно, сфера и плоскость имеют
только одну общую точку. Это означает, что
данная плоскость является касательной к
сфере, что и требовалось доказать.
Задача
Точка M – середина отрезка AB, концы которого
лежат на сфере радиуса R с центром O.
Найдите:
Найдите:
A
1) OM, если
R = 50 см, AB = 40 см;
M
R
O
B
2) AB, если
R = 10 дм, OM = 60 см;
3) R, если
AM = a, OM = b.
1)
По теореме OM AB
Рассм. AOB: OM – медиана (OA = OB)
OM – высота
Сл-но, AOB – равнобедренный
Рассм. AMO: OM = AO2 – AM2 = R2 – (AB/2)2 =
= 502 – (40/2)2 = 102(25 – 4) = 10 21 см
Ответ: OM = 10 21 см
2)
Из рассуждений предыдущей задачи AOB –
равнобедренный, тогда
AM = AO2 – OM2 = R2 – OM2 =
= 1002 – 602 = 102(100 – 36) = 80 см = 8 дм
AB = 2AM = 16 дм
Ответ: AB = 16 дм
3)
Из рассуждений предыдущей задачи
равнобедренный, тогда
R = AO = AM2 + OM2 = a2 + b2
Ответ: R = a2 + b2
AOB –
Задачи
Задача №1
Площадь сферы равна 324π см2. Найдите
радиус сферы.
Задача №2
Точка, лежащая на плоскости, касательной к
сфере, удалена от точки касания на 12 см.
Расстояние от этой точки до ближайшей к ней
точки сферы равно 3 см. Найдите площадь
сферы.
Решение задачи №1
A (2; –4; 7), R = 3
(x – 2)2 + (y – (–4))2 + (z – 7)2 = 32, тогда
(x – 2)2 + (y + 4)2 + (z – 7)2 = 9
Решение задачи №2
(x – 3)2 + (y + 2)2 + z2 = 25
(x – 3)2 + (y – (–2))2 + (z – 0)2 = 52, тогда
A (3; –2; 0), R = 5
Решение
S = 324π
S = 4πR2, таким образом,
324π = 4πR2
R2 = 81
R = 9 (см) (т.к. R > 0)
Ответ: R = 9 см
Плоский чертеж
A
C
B
R
R
AC = 12 см
AB = 3 см
O
S=?
Решение
Решение:
Из AOC :
 AB  R 2  AC 2  R 2
AB 2  2 AB  R  R 2  AC 2  R 2
2 AB  R  AC 2  AB 2

AC
R


144  9
 AB 2
 22,5см 

6
2 AB
2
Ответ : R  22,5см
Задача
Дан шар с радиусом 3см. Найти его объем.
Решение
R3
4 3 4
49
2
V  R    3 
  8 (см3 )
3
3
3
От вет: V  8 см
2
Шпаргалки
Sбок
Sполн.пов
V
Сегмент
2Rh
 (r 2  h 2 )
 (2Rh r )
 (h2  2r 2 )
1 2
h 3R  h 
3
1
h  3r 2  h 2 
6
Слой(пояс)
2Rh
 (2Rh  r12  r2 2 )
1
h  3r12  3r2 2  h 2
6
R(2h  r )
2
 R 2 H
3
4R 2
4
D 3
3
 R 
3
6
Сектор
Шар
2


Задача
Сколько краски понадобится для покраски
детали детской фигурки (рис.), если брать
г
расход краски – 150 2 ? Все данные
указаны на рисунке. м
3
1 2
Решение
S   (2Rh  r 2 )   (2  3 1  22 )  10 ( м2 )
m  15010  1500 (г )
Управляющие кнопки
Следующий слайд
Предыдущий слайд
Содержание
Об авторе
Создатель проекта:
Никитина Лилия
Особая благодарность:
Подольской
Анастасии Васильевне