Transcript Conceptos básicos de probabilidad

Conceptos Básicos de
Probabilidad
DEFINICIONES
• EXPERIMENTO
– Es cualquier acto o proceso en el que se realizan observaciones que
no puede ser predecidas con certeza.
• EVENTO SIMPLE
– Es el resultado más básico de un experimento. Es un punto en el
espacio muestral.
• EVENTO O SUCESO
– Es una colección específica de eventos simples.
• ESPACIO MUESTRAL
– S De un experimento es el conjunto que consta de la totalidad de
puntos muestrales (eventos simples), mutuamente excluyentes, que
resultan de la ejecución del experimento.
ENFOQUES DE PROBABILIDAD
• PROBABILIDAD SUBJETIVA
• PROBABILIDAD OBJETIVA
– Clásica o a Priori
– Frecuencia Relativa o a Posteriori
– Axiomático
Probabilidad Subjetiva
• La posibilidad (probabilidad) de que suceda un evento,
asignado por una persona (opinión experta) con base en
cualquier información de que disponga.
• Significa evaluar las opiniones disponibles y otra
información subjetiva para luego llegar a la probabilidad.
• Por ej. “esta vaca tiene una probabilidad de 60% de parir
esta noche”.
• Desventajas:
– 1. Son difíciles de defender cuando son
puestas en duda.
– 2. Difícil de identificar los sesgos del
informante.
Probabilidad Clásica o a priori:
• Se basa en la consideración de que los
resultados de los experimentos son igualmente
posibles y mutuamente excluyentes. Se basa en
el modelo teórico.
– E=Suceso n=casos posibles h=número de casos en
que el suceso ocurre.
– Todos los eventos simples son igualmente posibles
• La probabilidad de aparición del suceso
(ocurrencia) está dada por: P(E)=h/n
Probabilidad Clásica o a priori:
• La probabilidad de no-ocurrencia (no aparición)
– q = P(no E) = (n-h)/n = 1 – (h/n) = 1 – p = 1 – P(E)
• P(E) es un número comprendido entre 0 y 1.
• p=0 es un suceso imposible; p=1 suceso cierto.
• Limitaciones:
– En muchas situaciones la ocurrencia de eventos
simples posibles no es igualmente probable, ni
mutuamente excluyentes.
Concepto de frecuencia relativa o
probabilidad a posteriori
• Se determina observando en que fracción de tiempo
sucedieron eventos semejantes en el pasado (Probabilidad
Estimada o Empírica).
• La probabilidad será el límite de la frecuencia relativa
cuando el número de observaciones crece
indefinidamente.
– La probabilidad así determinada es solo una estimación
del valor verdadero.
– Cuanto mayor es el tamaño de la muestra mejor es esta
estimación.
– La probabilidad son solo válidas bajo las mismas
condiciones en los cuales los datos fueron originados.
Concepto de frecuencia relativa o
probabilidad a posteriori
• La probabilidad de que un evento ocurra a largo
plazo se determina observando en que fracción de
tiempo sucedieron eventos semejantes en el
pasado.
• P =número de veces que ocurrió en el
pasado/número de observaciones.
• Ejemplo: probabilidad de parto múltiples en
bovinos
Concepto de frecuencia relativa o
probabilidad a posteriori
1.0
0.9
0.8
0.7
fr
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
n
Encare Axiomático
• PROBABILIDAD
– De un Evento Simple es un número entre 0 y 1.
– COLECTIVAMENTE EXHAUSTIVO: La suma de
todos los resultados mutuamente excluyentes
es igual a 1, por lo menos uno de los eventos
ocurre cuando se realiza un experimento.
Calculo de la Probabilidad de un Evento
• Definir el experimento:
– describir el proceso usado para hacer una observación
y el tipo de observación que será registrada.
• Listar todos los Eventos Simples Posibles
• Asignar Probabilidad a cada Evento Simple.
• Determinar la Composición del Evento de
interés
• Calcular la probabilidad del Evento
– Sumando la probabilidad de los eventos simples.
DEFINICION AXIOMATICA
Se llama probabilidad a cualquier función P que asigna a cada
suceso A del espacio muestral S un valor numérico P(A), verificando
los siguientes axiomas:
1.- No negatividad: 0 ≤ P(A)
2.- P(S) = 1
3.- Aditividad: P(A  B) = P(A) + P(B)
si A ∩ B = Ø
(donde Ø es el conjunto vacío).
REGLAS BÁSICAS DE PROBABILIDAD
•
•
•
•
•
Complemento
General de Adición
Especial de Adición
General de Multiplicación
Especial de Multiplicación
Nomenclatura
• Probabilidad de ocurrencia de A y B
p(AB)
A intersección B
• Probabilidad de ocurrencia de A o B
p(AB) A unión B
• Probabilidad de B dado que ya ocurrió A
p(B|A) (probabilidad condicional)
Eventos o Sucesos
•
Cuando se realiza un experimento aleatorio diversos resultados son
posibles. El conjunto de todos los resultados posibles se llama espacio
muestral (S).
•
Se llama suceso o evento a un subconjunto de dichos resultados.
•
Se llama evento complementario de un suceso A, al formado por los
elementos que no están en A y se denota Ac
S espacio muestral
S espacio muestral
A
•
Se llama evento unión de A y B, AB, al formado por los resultados
experimentales que están en A o en B (incluyendo todos los que están
en ambos).
•
Se llama evento intersección de A y B, A∩B al formado por los
elementos que están en A y B
S espacio muestral
Ac
S espacio muestral
S espacio muestral
A
A
A
B
B
unión
B
intersección
Regla del Complemento
• Probabilidad del complemento de un evento A es el
evento donde A no ocurre (Ac o ), en otras palabras es la
A
suma de todos los eventos simples donde A no ocurre. La
suma de un evento con su complementario es igual a 1.
• P(A) + P(Ac) = 1; P(A) = 1 – P(Ac)
S espacio muestral
• Ejemplo:
– Si la probabilidad de un gatito vacunado entre
la semana 9 y 13 contra rinotraqueitis viral
felina de contraer la enfermedad es de 0.04, la
probabilidad de estar adecuadamente
protegido (o de no contraer la enfermedad) es
1-0.04= 0.96
A
Ac
Regla General de Adición
• La unión de dos eventos A y B es un nuevo
evento, cuya probabilidad se calcula
sumando las probabilidades de los puntos
que lo forman:
S
espacio muestral
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B)
A
B
unión
• Ejemplo cual es la probabilidad que al elegir
una carta de truco aleatoriamente y que
saquemos un 2 o una espada.
S (12 elementos o puntos muestrales)
Si P=1/n para cada punto
*
B
A
*
*
*
*
**
*
*
*
*
*
P(A)=7/12
P(B)=6/12
P(AB)=3/12
S (12 elementos o puntos muestrales)
Si P=1/n para cada punto
*
B
A
*
*
*
*
**
*
*
*
*
*
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B)
P(AB) = [7/12 + 6/12 – 3/12] = 10/12
P(AB)=10/12
Regla Especial de Adición
• Si 2 eventos son mutuamente excluyentes
(cuando ocurre un evento, ninguno de los
otros puede ocurrir al mismo tiempo) la
probabilidad de que ocurra uno u otra es igual
a la suma de sus probabilidades.
P( A  B)  P( A)  P( B)
• Ejemplo: una línea de envasado de vacunas
muestra que hay frascos correctamente llenos
(900), hay frascos con menos dosis (25) y hay
frascos con más dosis (75)
• ¿cuál es la probabilidad de llenado incorrecto?
S (12 elementos o puntos muestrales)
Si P=1/n para cada punto
*
B
A
*
*
*
*
**
*
*
*
*
*
P( A  B)  P( A)  P( B)
P(AB) = [4/12 + 3/12] = 7/12
P(AB)=7/12
Probabilidad Condicional
• A veces tenemos información adicional que nos altera la
probabilidad de su presentación. Hay una reducción del
espacio muestral.
• La probabilidad de que A ocurra dado que B se ha
presentado se denota como P(A|B).
• Es igual a la P(A) cuando la ocurrencia de B no afecta la
presencia de A y se dice que A y B son independientes.
– P(A|B) = P(A)
INDEPENDENCIA
• Si la probabilidad que ocurra A es afectada por la
ocurrencia de B se dice que los sucesos son
dependientes.
P( A | B)  P( A)
P( A  B)
P( A | B) 
P( B)
S (12 elementos o puntos muestrales)
Si P=1/n para cada punto
*
B
A
*
*
*
*
**
*
*
*
P(A|B)= [3/12]/[6/12]=3/6
*
*
P( A  B)
P( A | B) 
P( B)
Regla General de Multiplicación
• Indica que para dos eventos la probabilidad
conjunta de que ambos ocurran resulta de
multiplicar la probabilidad del primero por
la probabilidad de que ocurre el segundo
dado que el primero ocurrió.
Independencia
• A veces, la información de la ocurrencia de un evento no
nos da información adicional sobre la ocurrencia de otro.
• Si la probabilidad de que A ocurra dado que B se ha
presentado P(A|B) es igual a la P(A), quiere decir que la
ocurrencia de B no afecta la presencia de A y se dice que
A y B son independientes.
– P(A|B) = P(A)
INDEPENDENCIA
P( A  B)
P( A | B) 
P( B)
Ecuación General
Regla Especial de Multiplicación
• Esta regla requiere que los sucesos sean
independientes esto es cierto si la
ocurrencia de uno no altera la probabilidad
del otro.
P( A  B)  P( A)  P( B)
• Ejemplos:
– P(sacar 2 caras) al tirar 2 monedas al aire
– P(de sacar un oro y un 3) en un mazo de
cartas.
Probabilidad condicionada
A
A
B
B
P(A) = 0,25
P(B) = 0,10
P(A∩B) = 0,10
P(A) = 0,25
P(B) = 0,10
P(A∩B) = 0,08
¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B?
P(A|B)=1
P(A|B)=0,8
Intuir la probabilidad condicionada
A
A
B
B
P(A) = 0,25
P(B) = 0,10
P(A∩B) = 0,005
P(A) = 0,25
P(B) = 0,10
P(A∩B) = 0
¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B?
P(A|B)=0,05
P(A|B)=0
P(AB)=P(A) P(B|A)=P(B) P(A|B)
Teorema de la probabilidad total
A2
A1
Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los
componentes de un sistema exhaustivo y excluyente
de sucesos, entonces podemos calcular la probabilidad
de B como la suma de todas las intersecciones.
B
P(B|A1)
P(A1)
A3
A4
Suceso
seguro
P(A2)
P(A3)
P(A4)
P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + P( B∩A4 )
=P(A1) P(B|A1) + P(A2) P(B|A2)+ …
B
A1
A2
A3
A4
P(B|A2)
P(B|A3)
P(B|A4)
B
B
B
Teorema de Bayes
A2
A1
…si ocurre B, podemos calcular la
probabilidad (a posteriori) de
ocurrencia de cada Ai.
B
A3
Si conocemos la probabilidad de B en
cada uno de los componentes de un
sistema exhaustivo y excluyente de
sucesos, entonces…
A4
P(BAi)
P(Ai| B) 
P(B)
P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total:
P(B)=P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + ( B∩A4 )
=P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + …
P(BAi)
P(Ai| B) 
P(B)
Teorema de Bayes
P(A i B) 
P(BA i ).P(Ai )
j
 P(BA ).P(A )
j
i
j