Transcript Azar y probabilidad
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AZAR Y
PROBABILIDAD
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EXPERIMENTOS ALEATORIOS.
Cuando efectuamos un experimento el cual no podemos
predecir el resultado, decimos que es un EXPERIMENTO
ALEATORIO.
Ejemplo
Si lanzamos dos dados,
el
resultado de sumar sus dos
caras
superiores,
experimento
es
aleatorio,
un
pues
solamente sabemos que este
resultado estará comprendido
entre 2 y 12.
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ESPACIO MUESTRAL DE UN EXPERIMENTO ALEATORIO.
El conjunto sobre el que queremos efectuar un experimento, lo
denominamos POBLACIÓN, y lo solemos representar por .
Al conjunto de todos los resultados posibles de un
experimento aleatorio, se denomina ESPACIO MUESTRAL
que solemos representar por E.
Ejemplo
Si efectuamos el experimento de lanzar dos dados, la población es:
= { {1,1}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, … , {{6,5}, {6,6} }
El espacio muestral asociado a la suma de puntos obtenida es:
E = { 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
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SUCESOS ALEATORIOS.
Si E es un ESPACIO MUESTRAL denominamos:
SUCESO ELEMENTAL, a cualquier subconjunto de E de un solo
elemento.
SUCESO COMPUESTO, a cualquier subconjunto de E que
contenga dos o mas elementos.
SUCESO ALEATORIO, a cualquier resultado posible obtenido
mediante uniones o intersecciones de sucesos de E.
Al conjunto E se le denomina SUCESO SEGURO y al SUCESO
IMPOSIBLE.
Ejemplo.- Si consideramos el Espacio muestral asociado al
lanzamiento de un dado. Obtener un resultado impar {1, 3, 5} es un
SUCESO ALEATORIO.
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EJEMPLOS DE OPERACIONES CON SUCESOS ALEATORIOS.
Si lanzamos un dado y denominamos A al suceso de obtener un
número impar y B al suceso de obtener un número primo distinto de 1,
como:
A = { 1, 3, 5}
y
B = { 2, 3, 5}.
El suceso de obtener un número impar o primo será: C = { 1, 2, 3, 5 }.
Si lanzamos un dado y denominamos A al suceso de obtener un
número impar y B al suceso de obtener un número primo distinto de 1,
como :
A = { 1, 3, 5}
y
B = { 2, 3, 5}.
El suceso de obtener un número impar y primo será: C = { 3, 5 }.
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PROBABILIDAD DE SUCESOS ELEMENTALES EQUIPROBABLES.
Cuando efectuamos un experimento aleatorio, podemos asignar un
medida de confianza o incertidumbre a cada uno de los sucesos. A
dicha medida le denominamos PROBABILIDAD.
En el caso de experimentos de una población de n elementos
equiprobables (que tengan la misma posibilidad de que se
produzcan), cada suceso elemental tienen probabilidad 1/n de que
ocurra.
Ejemplos.- Si lanzamos un dado equilibrado, la probabilidad de obtener el
número 3 es Probabilidad(3) = 1/6.
Si lanzamos un moneda equilibrada, la probabilidad de obtener cara es
Probabilidad(cara) = 1/2.
La probabilidad de extraer sota de copas de una baraja española es 1/40.
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PROBABILIDAD DE SUCESOS EQUIPROBABLES.
En el caso de experimentos en los que los que la población sea
finita, y sus elementos equiprobables, como todos los sucesos
compuestos contienen un número determinado de sucesos
elementales.
La probabilidad de que ocurra un suceso A que contiene r sucesos
elementales es r/n, donde n el número de elementos de .
Esta probabilidad, se denomina PROBABILIDAD CLÁSICA, y se
representa por la siguiente fórmula (REGLA DE LAPLACE):
P ( A)
N um ero de casos favorables de A
N um ero de casos posibles
Ejemplo.- Si
lanzamos
un
dado
supuestamente
probabilidad de obtener un número PAR es P(PAR) = 3/6.
equilibrado,
la
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EJEMPLO DE APLICACIÓN DE PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD.
Si extraemos una carta de una baraja española, como cada palo tiene
10 cartas, si denominamos por O y C, a los sucesos de sacar oros y
copas, se cumplirá:
P O
10
40
4
P C
10
1
40
1
4
P O o C P O P C
1
4
1
4
1
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SUCESOS NO EQUIPROBABLES Y FRECUENCIAS RELATIVAS.
Cuando experimentamos con sucesos no equiproblables, como
por
ejemplo
dados
cargados,
solemos
recurrir
a
la
experimentación:
Si dicha experimentación la repetimos N veces, y un Suceso S se
repite n veces denominamos FRECUENCIA ABSOLUTA de S a
f(S) = n. Y denominamos frecuencia relativa a:
fr ( A)
f
S
N
n
N
Por ejemplo: si lanzamos un dado 100 veces
y el número 6 aparece en la cara superior 20
veces, su frecuencia relativa será
f r (6 )
20
100
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LEY FUNDAMENTAL DEL AZAR O DE LOS GRANDES NÚMEROS.
En un experimento aleatorio, cuando mayor es el número de
repeticiones N, la frecuencia relativa de un suceso S, es más
próxima a la probabilidad de S
Es decir cuando no conocemos la probabilidad de un suceso (por
ejemplo por no ser equiproblables), si efectuamos un experimento
con muchas repeticiones, podemos utilizar aproximadamente las
frecuencias relativas de los sucesos como probabilidades
Por ejemplo: si lanzamos un moneda 1000 veces y aparece cara (C) 655
veces y reverso (R) 345, podemos pensar que la moneda está cargada y
podemos utilizar:
P (C ) f r (C )
655
1000
;
P(R) fr (R )
345
1000
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AZAR Y
PROBABILIDAD
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EXPERIMENTOS ALEATORIOS.
Cuando efectuamos un experimento el cual no podemos
predecir el resultado, decimos que es un EXPERIMENTO
ALEATORIO.
Ejemplo
Si lanzamos dos dados,
el
resultado de sumar sus dos
caras
superiores,
experimento
es
aleatorio,
un
pues
solamente sabemos que este
resultado estará comprendido
entre 2 y 12.
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ESPACIO MUESTRAL DE UN EXPERIMENTO ALEATORIO.
El conjunto sobre el que queremos efectuar un experimento, lo
denominamos POBLACIÓN, y lo solemos representar por .
Al conjunto de todos los resultados posibles de un
experimento aleatorio, se denomina ESPACIO MUESTRAL
que solemos representar por E.
Ejemplo
Si efectuamos el experimento de lanzar dos dados, la población es:
= { {1,1}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, … , {{6,5}, {6,6} }
El espacio muestral asociado a la suma de puntos obtenida es:
E = { 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
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SUCESOS ALEATORIOS.
Si E es un ESPACIO MUESTRAL denominamos:
SUCESO ELEMENTAL, a cualquier subconjunto de E de un solo
elemento.
SUCESO COMPUESTO, a cualquier subconjunto de E que
contenga dos o mas elementos.
SUCESO ALEATORIO, a cualquier resultado posible obtenido
mediante uniones o intersecciones de sucesos de E.
Al conjunto E se le denomina SUCESO SEGURO y al SUCESO
IMPOSIBLE.
Ejemplo.- Si consideramos el Espacio muestral asociado al
lanzamiento de un dado. Obtener un resultado impar {1, 3, 5} es un
SUCESO ALEATORIO.
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EJEMPLOS DE OPERACIONES CON SUCESOS ALEATORIOS.
Si lanzamos un dado y denominamos A al suceso de obtener un
número impar y B al suceso de obtener un número primo distinto de 1,
como:
A = { 1, 3, 5}
y
B = { 2, 3, 5}.
El suceso de obtener un número impar o primo será: C = { 1, 2, 3, 5 }.
Si lanzamos un dado y denominamos A al suceso de obtener un
número impar y B al suceso de obtener un número primo distinto de 1,
como :
A = { 1, 3, 5}
y
B = { 2, 3, 5}.
El suceso de obtener un número impar y primo será: C = { 3, 5 }.
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PROBABILIDAD DE SUCESOS ELEMENTALES EQUIPROBABLES.
Cuando efectuamos un experimento aleatorio, podemos asignar un
medida de confianza o incertidumbre a cada uno de los sucesos. A
dicha medida le denominamos PROBABILIDAD.
En el caso de experimentos de una población de n elementos
equiprobables (que tengan la misma posibilidad de que se
produzcan), cada suceso elemental tienen probabilidad 1/n de que
ocurra.
Ejemplos.- Si lanzamos un dado equilibrado, la probabilidad de obtener el
número 3 es Probabilidad(3) = 1/6.
Si lanzamos un moneda equilibrada, la probabilidad de obtener cara es
Probabilidad(cara) = 1/2.
La probabilidad de extraer sota de copas de una baraja española es 1/40.
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PROBABILIDAD DE SUCESOS EQUIPROBABLES.
En el caso de experimentos en los que los que la población sea
finita, y sus elementos equiprobables, como todos los sucesos
compuestos contienen un número determinado de sucesos
elementales.
La probabilidad de que ocurra un suceso A que contiene r sucesos
elementales es r/n, donde n el número de elementos de .
Esta probabilidad, se denomina PROBABILIDAD CLÁSICA, y se
representa por la siguiente fórmula (REGLA DE LAPLACE):
P ( A)
N um ero de casos favorables de A
N um ero de casos posibles
Ejemplo.- Si
lanzamos
un
dado
supuestamente
probabilidad de obtener un número PAR es P(PAR) = 3/6.
equilibrado,
la
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EJEMPLO DE APLICACIÓN DE PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD.
Si extraemos una carta de una baraja española, como cada palo tiene
10 cartas, si denominamos por O y C, a los sucesos de sacar oros y
copas, se cumplirá:
P O
10
40
4
P C
10
1
40
1
4
P O o C P O P C
1
4
1
4
1
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SUCESOS NO EQUIPROBABLES Y FRECUENCIAS RELATIVAS.
Cuando experimentamos con sucesos no equiproblables, como
por
ejemplo
dados
cargados,
solemos
recurrir
a
la
experimentación:
Si dicha experimentación la repetimos N veces, y un Suceso S se
repite n veces denominamos FRECUENCIA ABSOLUTA de S a
f(S) = n. Y denominamos frecuencia relativa a:
fr ( A)
f
S
N
n
N
Por ejemplo: si lanzamos un dado 100 veces
y el número 6 aparece en la cara superior 20
veces, su frecuencia relativa será
f r (6 )
20
100
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LEY FUNDAMENTAL DEL AZAR O DE LOS GRANDES NÚMEROS.
En un experimento aleatorio, cuando mayor es el número de
repeticiones N, la frecuencia relativa de un suceso S, es más
próxima a la probabilidad de S
Es decir cuando no conocemos la probabilidad de un suceso (por
ejemplo por no ser equiproblables), si efectuamos un experimento
con muchas repeticiones, podemos utilizar aproximadamente las
frecuencias relativas de los sucesos como probabilidades
Por ejemplo: si lanzamos un moneda 1000 veces y aparece cara (C) 655
veces y reverso (R) 345, podemos pensar que la moneda está cargada y
podemos utilizar:
P (C ) f r (C )
655
1000
;
P(R) fr (R )
345
1000
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