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2. Probabilidad Dominar la fortuna
¿Cómo osamos hablar de leyes del azar? ¿No
es, acaso, el azar la antítesis de cualquier ley?
Bertrand Rusell
La probabilidad de tener un accidente de
tráfico aumenta con el tiempo que pasas en
la calle. Por tanto, cuanto mas rápido
circules, menor es la probabilidad de que
tengas un accidente.
1
2
3
EJEMPLOS:
S={A, E, I, O}
S={L, T, R}
4
EJEMPLOS:
5
Experimento aleatorio
Entenderemos por experimento aleatorio
cualquier situación que, realizada en las
mismas condiciones, proporcione un
resultado imposible de predecir a priori.
Por ejemplo:
* Lanzar un dado.
* Extraer una carta de una baraja.
* Se lanza una moneda. Si sale cara se extrae de una urna
U1, con una determinada composición de bolas de colores,
una bola y si sale cruz de extrae de una urna U2, con otra
determinada composición de bolas de colores, una bola.6
Sucesos o eventos
• Cuando se realiza un experimento aleatorio, diversos
resultados son posibles. El conjunto de todos los resultados
posibles se llama espacio muestral (E).
• Experimento aleatorio: lanzar un dado.
• Espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
• Se llama suceso o evento a un subconjunto de dichos
resultados.
• Por ejemplo: el suceso A = “que el resultado sea par”:
A = {2, 4, 6} es un suceso compuesto.
• Se llama suceso complementario de un suceso A, Ac al
formado por los elementos que no están en A.
• Ac será: “que el resultado sea impar”, Ac = {1, 3, 5}.
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Se considera el experimento aleatorio consistente en lanzar
una moneda. Si sale cara, se extrae de una urna que contiene
bolas azules y rojas una bola, y si sale cruz, se extrae una bola
de otra urna que contiene bolas rojas y verdes. ¿Cuál es el
espacio muestral E de dicho experimento aleatorio?
E = {(C,R), (C,A), (+,R), (+,V)}
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Probabilidad clásica
Laplace define la probabilidad de un
suceso A como el cociente:
Númerode casos favorables
P( A) 
Númerode casos posibles
Dado: ¿Cuál es la probabilidad P(A) de A = un número mayor
o igual a 5?¿Y la probabilidad de B = número impar?
Solución: Los seis casos posibles son igualmente probables,
cada uno tiene probabilidad 1/6.
P(A) = 2/6 = 1/3 pues A ={5,6} tiene dos casos favorables.
P(B) = 3/6 = 1/2 pues B = {1, 3, 5} tiene tres casos favorables
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Diagramas de Venn
A
A
1
A
B
B
5
6
3
2
E
E
Unión A  B
Intersección A  B
E
B
4
A={1,3,5}, B={5,6}
E={1,2,3,4,5,6}
Veamos un ejemplo de dados:
Sucesos A= Un número impar, B= Un número mayor que 4.
A={1,3,5}  Ac ={2, 4, 6}
B={5,6}
 Bc ={1, 2, 3, 4}
A  B ={1, 3, 5, 6}
A  B = {5}
(A  B)c ={2, 4}
(A  B)c = {1, 2, 3, 4, 6}
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Se llama suceso unión de A y B, A  B, al formado por los
resultados experimentales que están en A o en B (incluyendo
los que están en ambos).
Se llama suceso intersección de A y B, A  B, al formado por
los resultados experimentales que están simultáneamente en A
y B. Dos sucesos son mutuamente excluyentes si A  B = Ø,
donde Ø es el conjunto vacío.
Observemos que un suceso y su complementario son siempre
mutuamente excluyentes y su unión es todo el espacio E.
A  Ac = Ø, A  Ac = E
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¿Cuál será la probabilidad de dos
sucesos mutuamente excluyentes?
X  {1, 2 }
{}
X Y  Ø
Y  { 3,4,5,6 }
X
Y
P( X Y )  0
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Definición axiomática de probabilidad
Se llama probabilidad a cualquier función P que asigna a cada
suceso A del espacio muestral E un valor numérico P(A),
verificando los siguientes axiomas:
(1) No negatividad: 0 ≤ P(A)
(2) Normalización: P(E) = 1
(3) Aditividad: P(A  B) = P(A) + P(B)
si A ∩ B = Ø
(donde Ø es el conjunto vacío).
Kolmogorov, 1933
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Veamos un ejemplo de aplicación del axioma (3)
Aditividad: P(A  B) = P(A) + P(B) si A  B = Ø
(donde Ø es el conjunto vacío).
Si la probabilidad de que el parking de la escuela
tenga 100-209, 210-309, 310-400 y > 400 coches
es 0.20, 0.35, 0.25, 0.12 respectivamente.
¿Qué probabilidad hay de que el parking tenga
al menos 100 coches, pero menos de 401?
Solución
Puesto que los sucesos favorables 100-209,
210-309 y 310-400 son mutuamente excluyentes:
0,20 + 0,35 + 0,25 = 0,80
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¿Sabiendo la probabilidad P(A) de un suceso A,
cuál será la de su complementario Ac?
Teorema de la probabilidad complementaria
Para un suceso A y su complementario Ac en el espacio
muestral E:
P(Ac) = 1 - P(A)
Demostración: Por definición de complementario
E = A  Ac y A  Ac = Ø. A partir de los axiomas 2 y 3
1 = P(E) = P(A  Ac)= P(A) + P(Ac) de modo que
P(Ac) = 1 - P(A)
A
A
c
P( E )  1
c
P( A )  1  P( A)
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Lanzamiento de monedas
Cinco monedas se lanzan simultáneamente.
Encuentra la probabilidad del suceso A:
Al menos sale una cara. Asumimos que las
monedas no está cargadas.
Solución: Puesto que cada moneda puede aparecer
como cara o cruz, el espacio muestral consiste en
25 = 32 posibilidades. Como las monedas no están
cargadas cada posibilidad tiene la misma probabilidad
de 1/32.
El suceso Ac (ninguna cara) tiene solo una posibilidad.
Entonces P(Ac) = 1/32 y la respuesta es:
P(A) = 1 - P(Ac) = 31/32.
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Solución más elegante: La probabilidad de que una
moneda salga cara es 1/2 y de que salga cruz 1/2.
Puesto que cada lanzamiento es independiente, la
probabilidad de que salgan 5 cruces (ninguna cara)
será:
Probabilidad de que salga cruz
5
1 1 1 1 1 1
1
P( A )         
2 2 2 2 2  2  32
31
c
P( A)  1  P( A ) 
32
c
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Spotck, la gata de Data
en Start Treck, ha tenido
un camada de 4
cachorros. El capitán
Piccard le pregunta
cuántos son macho y
cuántos hembra. Data
le responde que, basándose en el cálculo de
probabilidades, lo más probable es que sean
dos gatitos y dos gatitas. Piccard llama
inmediatamente a seguridad para
que detengan a Data. ¿Qué ocurre?
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Si un gato puede ser macho o hembra y hay cuatro gatos,
tenemos 24 = 16 posibilidades:
HHHH MMMM
•Probabilidad de que todos sean del mismo sexo = 2/16 = 1/8
HHHM HHMH HMHH MHHH
MMMH MMHM MHMM HMMM
•Probabilidad descomposición (3-1) = 8/16 = 1/2
HHMM HMHM HMMH MHHM MHMH MMHH
•Descomposición (2-2) = 6/16 = 3/8
Hemos contado los 16 casos posibles y 1/8 + 1/2 + 3/8 = 1.
A casi todo el mundo le sorprende que en familias de cuatro
hijos haya tres del mismo sexo.
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Regla de la suma:
Dados dos sucesos A y B en el
espacio muestral:
C
D
P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B)
E
A
B
Demostración: En la imagen podemos ver que A = C  D y
B = D  E. Así que C, D, E son disjuntos. Por el axioma 3
P(A) = P(C) + P(D) y P(B) = P(D) + P(E)
Sumando:
P(A) + P(B) = P(C) + P(D) + P(D) + P(E)
Restando P(D) a ambos lados:
P(A) + P(B) - P(D) = P(C) + P(D) + P(E), es decir:
P(A) + P(B) - P(A  B) = P(A  B)
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EJEMPLO
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EJEMPLO
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