Transcript Teoría de Probabilidad

Teoría de Probabilidad
La teoría de probabilidad estudia los métodos de análisis que
son comunes en el tratamiento de fenómenos aleatorios.
De otra forma, la probabilidad es la ciencia de los fenómenos
aleatorios, en el sentido que estudia las propiedades de estos
fenómenos que dependen esencialmente del concepto de
aleatoriedad y no de otros aspectos particulares.
Un fenómeno aleatorio (fortuito o al azar) es un fenómeno
empírico que se caracteriza por la propiedad de que, al
observarlo bajo determinado conjunto de condiciones, no
siempre existe el mismo resultado (no existe regularidad
determinista) sino que los diferentes resultados ocurren con
regularidad estadística.
Teoría de Probabilidad
Regularidad estadística: Esto quiere decir que existen números
entre 0 y 1 que representan la frecuencia relativa con la que se
observan los diferentes resultados en una serie de repeticiones
independientes del fenómeno.
Hay dos conceptos ligados al fenómeno aleatorio: evento
aleatorio, y probabilidad de un evento aleatorio.
Un evento aleatorio tiene la propiedad de que la frecuencia
relativa con la que aparece en una sucesión muy larga de
observaciones realizadas al azar, se acerca a un valor límite
estable a medida que el número de observaciones tiende al
infinito. Y este valor límite se llama probabilidad del evento
aleatorio.
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Ejemplo de lo anterior: lancemos mil veces dos dados y observemos la
suma de las caras superiores de cada lanzamiento
Comparación de frecuencias y prob. teórica
0,18
0,16
0,14
0,12
0,1
Frec. Rel.
0,08
Prob.teo.
0,06
0,04
0,02
0
2
3
4
5
6
7
8
Suma de dos dados
9
10
11
12
Teoría de Probabilidad
En el ejemplo anterior:
•Experimento aleatorio: lanzar dos daos
•Un evento aleatorio: obtener suma 7
•Probabilidad (a priori) del evento anterior: 6/36
En la medida que los valores de las frecuencia relativas al
repetir muchas veces el experimento, bajo las mismas
condiciones, se aproxima a nuestros valores de probabilidad
(teóricos), se dice que el fenómeno aleatorio del lanzamiento de
un dado tiene este modelo matemático (definido por las barras
rojas).
Teoría de Probabilidad
Podemos decir entonces que la teoría de la probabilidad es el
estudio de los modelos matemáticos de los fenómenos
aleatorios; de otro forma, que trata de las proposiciones que
pueden hacerse acerca de un fenómeno aleatorio del que se han
postulado ciertas propiedades.
¿Cómo se formulan los postulados acerca de un fenómeno
aleatorio?
Para responder a esto, es necesario conocer el conjunto de
todos los posibles resultados del fenómeno aleatorio,
conocido como el espacio de las descripciones muestrales, o
simplemente espacio muestral.
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Ejemplos de espacios muestrales (para un mismo experimento)
1
2
3
4
5
6
Supongamos que tenemos seis bolas, cuatro blancas y dos rojas, en
una urna, y se extrae una bola al azar.
Según la bola extraída sea blanca o roja, el espacio muestral
será S = {B, R} ; B: blanca; R: roja
Ahora, si estamos interesados en el número de la bola extraída,
el espacio muestral será S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
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Otro ejemplo:
1
2
3
4
5
6
Tomemos ahora seis bolas numeradas del 1 al 6, en una
urna, y realizamos dos extracciones, sin reposición.
En este caso el espacio muestral es
S = { (x, y) / x, y e {1, 2, 3, 4, 5, 6} con x distinto de y }
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Eventos
1
2
3
4
5
6
Tomemos ahora seis bolas numeradas del 1 al 6, de las cuales dos son blancas
y cuatro rojas, en una urna, y realizamos dos extracciones, sin reposición.
El espacio muestral es
S = { (x, y) / x, y e {1, 2, 3, 4, 5, 6} con x distinto de y }
Algunos eventos son:
i)
La primera bola extraída sea blanca
ii)
La segunda bola extraída sea blanca
iii) La suma de los números de las dos bolas sea 7
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Eventos
1
2
3
4
5
6
Para cada uno de los eventos mencionados existe un conjunto de
descripciones en S tal que el evento ocurre si, y sólo si, el resultado observado
en las dos extracciones corresponde a una de las descripciones dentro del
conjunto.
En consecuencia, un evento es un conjunto de descripciones. Al decir
que cierto evento E ha ocurrido, significa que el resultado de la
situación aleatoria considerada tiene por descripción un elemento del
conjunto E.
Por lo tanto, podemos hablar de un evento en términos de concepto
de subconjunto. De otra forma, un evento es un subconjunto del
espacio de las descripciones muestrales.
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Elaciones entre eventos
Espacio S de las descripciones muestrales
Evento E
EC
No sucede E
Lo que no es rojo es el complemento de E, denotado por EC
Teoría de Probabilidad
Elaciones entre eventos
Espacio S de las descripciones muestrales
Evento E
Evento F
E U F: ocurre al menos uno de los dos eventos
Teoría de Probabilidad
Elaciones entre eventos
Espacio S de las descripciones muestrales
Evento E
Evento F
E U F: ocurre al menos uno de los dos eventos
Teoría de Probabilidad
Elaciones entre eventos
Espacio S de las descripciones muestrales
Evento E
Evento F
E
 F: ocurre tanto E como F