Control Estadístico de Procesos

Control Estadístico de Procesos

Introducción a la Probabilidad

Introducción a la Probabilidad 2  

R

2  Cada vez que realizamos un cálculo matemático para resolver un problema, lo que estamos haciendo es aplicar un

modelo matemático

a un fenómeno de la realidad.

Introducción a la Probabilidad  Este fenómeno puede ser, por ejemplo, la caída de un objeto desde cierta altura, y en este caso utilizamos un modelo que es la Ley de Gravedad.

Introducción a la Probabilidad ¿Qué es un modelo?.

Introducción a la Probabilidad  Al enfrentar un problema de física, química, ingeniería o de algún otro tipo, estamos analizando e investigando una parte o aspecto de la realidad material que nos rodea.

Introducción a la Probabilidad  Para resolver el problema, necesitamos modelar esa realidad, es decir, construir una

representación en la mente

de cómo ocurren los hechos, junto con ecuaciones matemáticas que permitan calcular los efectos de los mismos.

Introducción a la Probabilidad  El modelo de fuerza gravitatoria o leyes de la gravedad permite estudiar la caída de un cuerpo en el vacío.

Introducción a la Probabilidad  Cuando aplicamos este modelo a la caída real de un cuerpo, estamos dejando de lado la influencia del aire, cuyo rozamiento en el cuerpo disminuye su velocidad, pero lo hacemos a sabiendas que este rozamiento es muy pequeño y por lo tanto no va a afectar demasiado nuestros cálculos.

Introducción a la Probabilidad  En ningún caso se debe confundir modelo con realidad. Un modelo es sólo una

representación de la realidad

, utilizado para estudiar y analizar dicha realidad.

Introducción a la Probabilidad  Los modelos matemáticos que mencionamos hasta ahora, después de efectuar los cálculos nos dan un resultado numérico preciso, por ejemplo, que la velocidad de un automóvil es de 75,5 Km/Hora.

Introducción a la Probabilidad  También podemos calcular la corriente eléctrica que circula por un cable con la Ley de Ohm y obtenemos, por ejemplo, un resultado como 5,7 Amperes:

I



V R

 5 .

7

A

Introducción a la Probabilidad  Este tipo de modelos matemáticos se denominan

Determinísticos

.

Introducción a la Probabilidad  Hay fenómenos que necesitan otro tipo de modelos matemáticos, que se denominan

no determinísticos

,

probabilísticos

o

estocásticos

.

Introducción a la Probabilidad  Por ejemplo, supongamos que un agricultor necesita saber cuanta lluvia va a caer en los próximos meses, antes de decidir si le conviene sembrar o no esta temporada.

Introducción a la Probabilidad  El agricultor se informó en la oficina de meteorología acerca de la presión barométrica, la temperatura, velocidad del viento y otros datos meteorológicos de la zona en que vive.

Introducción a la Probabilidad  Sin embargo, no hay una

ecuación

que con todos esos datos le permita calcular los milímetros de lluvia que van a caer en un mes en forma precisa.

Introducción a la Probabilidad  De la misma manera, ningún operador puede calcular cuanto va a subir la Bolsa, ni siquiera si va a subir o bajar, aún cuando tenga a su alcance todas las variables económicas disponibles para el país.

Introducción a la Probabilidad  Este tipo de fenómenos No admiten un modelo

determinístico

, sino un modelo

probabilístico

, que como resultado nos dice la probabilidad de que llueva una cierta cantidad, o la probabilidad de que la Bolsa suba un cierto porcentaje.

Introducción a la Probabilidad  El resultado no es un valor determinado, sino la

probabilidad

de un valor.

Introducción a la Probabilidad  Veamos algunos ejemplos de fenómenos o experimentos para los cuales es apropiado o conveniente utilizar un modelo probabilístico:

Introducción a la Probabilidad  

Experimento 1

: Se lanza un dado y se anota el número que aparece en la cara superior.

Introducción a la Probabilidad  

Experimento 2

: Se arroja una moneda cuatro veces y se cuenta el número total de caras obtenidas.

Introducción a la Probabilidad  

Experimento 3

: Se arroja una moneda cuatro veces y se anota la sucesión de caras y cecas obtenidas.

Introducción a la Probabilidad  

Experimento 4

: Se fabrican artículos en una línea de producción y se cuenta el número de artículos defectuosos producidos en 24 horas.

Introducción a la Probabilidad  En todos estos casos, el resultado del experimento no se puede predecir con absoluta certeza. Hay

varios resultados posibles

cada vez que se realiza la experiencia.

Introducción a la Probabilidad  Para cada experimento del tipo que estamos considerando, se define el

Espacio Muestral

como el conjunto de todos los resultados posibles que pueden producirse al realizar el experimento.

Introducción a la Probabilidad  

Experimento 1

: Se lanza un dado y se anota el número que aparece en la cara superior.

1 4 2 3 5 Espacio Muestral S 6

S

 

1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6



Introducción a la Probabilidad  

Experimento 2

: Se arroja una moneda cuatro veces y se cuenta el número total de caras obtenidas. 1 3 0 2 4 Espacio Muestral S

S

 

0 , 1 , 2 , 3 , 4



Introducción a la Probabilidad  

Experimento 3

: Se arroja una moneda cuatro veces y se anota la sucesión de caras (

C

) y cecas (

X

) obtenidas.

S

  

cccc

,

xxcc

,

xccc xcxc

, ,

cxcc xccx

, ,

ccxc cxxc

, ,

cccx cxcx

, ,    

ccxx

,

xxxx xxxc

,

xxcx

,

cxxx

,

xcxx

,  

Introducción a la Probabilidad  

Experimento 4

: Se fabrican artículos en una línea de producción y se cuenta el número de artículos defectuosos producidos en 24 horas.

S

 

0 , 1 , 2 , 3 ,...,

N

  donde

N

es el número máximo que pudo ser producido en 24 horas.

Introducción a la Probabilidad  Un

Suceso

, respecto a un espacio muestral

S

asociado con determinado experimento, es un subconjunto de resultados del espacio muestral.

Introducción a la Probabilidad 1 3 4 2 6 5 Espacio Muestral S

Suceso

Introducción a la Probabilidad  Entonces, el subconjunto formado por un solo elemento del espacio muestral es un suceso.

Introducción a la Probabilidad 1 3 4 2 6 5 Espacio Muestral S

Suceso Elemental

Introducción a la Probabilidad  El conjunto formado por

todos

los elementos del espacio muestral también es un suceso.

Introducción a la Probabilidad 1 3 4 2 6 5 Espacio Muestral S

Suceso

Introducción a la Probabilidad  Y también lo es el conjunto vacío.

Introducción a la Probabilidad  Hemos visto que dado un experimento cualquiera, hay un espacio muestral asociado cuyos elementos son todos los resultados que se pueden obtener de la experiencia.

 Un subgrupo o subconjunto de resultados es un suceso.

Introducción a la Probabilidad   Ahora ¿Cómo podemos saber si la posibilidad de que ocurra un suceso es grande o pequeña?

Por ejemplo, si arrojamos un dado, ¿Cómo podemos calcular la

probabilidad

de que salga un 2 ?.

Introducción a la Probabilidad  Para esto necesitamos un número asociado con cada suceso, al cual se lo denomina

probabilidad

del suceso.

Introducción a la Probabilidad  Entonces, la

probabilidad

P de un suceso es un número entre 0 y 1, que nos dice en que medida es

posible

que ocurra el suceso.

Introducción a la Probabilidad  Si la probabilidad es 1 significa que el suceso ocurrirá con toda certeza.  Si la probabilidad es 0,5 significa que un suceso puede ocurrir o puede no ocurrir con la misma probabilidad.

 Probabilidad 0 quiere decir que el suceso es imposible que ocurra.

Introducción a la Probabilidad  ¿Cómo podemos calcular la

Probabilidad

de un suceso?

Introducción a la Probabilidad   La respuesta a esta pregunta no siempre es sencilla y depende del experimento y de su espacio muestral asociado.

Hay casos simples en los que el cálculo es relativamente sencillo.

Introducción a la Probabilidad   En primer término, supondremos que se trata de un experimento cuyo espacio muestral es finito y tiene un

número pequeño de resultados posibles

.

En segundo término, supondremos que todos los resultados que integran el espacio muestral (sucesos elementales) tienen

la misma probabilidad de ocurrir

.

Introducción a la Probabilidad  Con estas dos hipótesis, la fórmula para calcular la probabilidad es muy sencilla.

Introducción a la Probabilidad  Supongamos que se trata de un experimento cualquiera cuyo espacio muestral

S

tiene N elementos (N resultados posibles).

 Deseamos calcular la probabilidad de un suceso

H

(Un subconjunto

H

del espacio muestral

S

) que tiene m elementos.

Introducción a la Probabilidad  De acuerdo a lo dicho previamente, el número N tiene que ser pequeño y la probabilidad de cada suceso elemental tiene que ser la misma.

Introducción a la Probabilidad Suceso

H

m elementos N elementos Espacio Muestral

S

Introducción a la Probabilidad  Entonces la probabilidad

P

de que ocurra el suceso

H

es:

P



m N

Introducción a la Probabilidad  Veamos algunos ejemplos. Supongamos que se arroja un dado sobre una mesa y apostamos a que salga un número igual o menor que 4.

Introducción a la Probabilidad  Sabemos que son igualmente posibles los números:

{

1, 2, 3, 4, 5 y 6

}

(Espacio muestral con 6 elementos).

Introducción a la Probabilidad  Pero los números favorables a nuestra apuesta son:

{

1, 2, 3 y 4

}

(Suceso con 4 elementos). Entonces, la probabilidad de que ganemos es:

P

 4 6  0 , 666 ...

Introducción a la Probabilidad

Suceso

2 1 6 4

P

 4 6  0 , 666 ...

3 5 Espacio Muestral S

Introducción a la Probabilidad  Es decir que tenemos a nuestro favor una probabilidad de 0,666.. (o sea aproximadamente del 67 %).

Introducción a la Probabilidad  Si apostamos a un sólo número, por ejemplo a que sale un

as

, la probabilidad de ganar sería:

P

 1 6  0 , 1666 ...

Introducción a la Probabilidad

Suceso

2 1 6 4

P

 1 6  0 , 1666 ...

3 5 Espacio Muestral S

Introducción a la Probabilidad  Repitiendo, la probabilidad es un número entre 0 y 1, que nos dice en que medida es

posible

que ocurra un suceso.

Fin de la sección