Transcript Probabilidad
Control Estadístico de Procesos
Control Estadístico de Procesos
Introducción a la Probabilidad
Introducción a la Probabilidad 2
R
2 Cada vez que realizamos un cálculo matemático para resolver un problema, lo que estamos haciendo es aplicar un
modelo matemático
a un fenómeno de la realidad.
Introducción a la Probabilidad Este fenómeno puede ser, por ejemplo, la caída de un objeto desde cierta altura, y en este caso utilizamos un modelo que es la Ley de Gravedad.
Introducción a la Probabilidad ¿Qué es un modelo?.
Introducción a la Probabilidad Al enfrentar un problema de física, química, ingeniería o de algún otro tipo, estamos analizando e investigando una parte o aspecto de la realidad material que nos rodea.
Introducción a la Probabilidad Para resolver el problema, necesitamos modelar esa realidad, es decir, construir una
representación en la mente
de cómo ocurren los hechos, junto con ecuaciones matemáticas que permitan calcular los efectos de los mismos.
Introducción a la Probabilidad El modelo de fuerza gravitatoria o leyes de la gravedad permite estudiar la caída de un cuerpo en el vacío.
Introducción a la Probabilidad Cuando aplicamos este modelo a la caída real de un cuerpo, estamos dejando de lado la influencia del aire, cuyo rozamiento en el cuerpo disminuye su velocidad, pero lo hacemos a sabiendas que este rozamiento es muy pequeño y por lo tanto no va a afectar demasiado nuestros cálculos.
Introducción a la Probabilidad En ningún caso se debe confundir modelo con realidad. Un modelo es sólo una
representación de la realidad
, utilizado para estudiar y analizar dicha realidad.
Introducción a la Probabilidad Los modelos matemáticos que mencionamos hasta ahora, después de efectuar los cálculos nos dan un resultado numérico preciso, por ejemplo, que la velocidad de un automóvil es de 75,5 Km/Hora.
Introducción a la Probabilidad También podemos calcular la corriente eléctrica que circula por un cable con la Ley de Ohm y obtenemos, por ejemplo, un resultado como 5,7 Amperes:
I
V R
5 .
7
A
Introducción a la Probabilidad Este tipo de modelos matemáticos se denominan
Determinísticos
.
Introducción a la Probabilidad Hay fenómenos que necesitan otro tipo de modelos matemáticos, que se denominan
no determinísticos
,
probabilísticos
o
estocásticos
.
Introducción a la Probabilidad Por ejemplo, supongamos que un agricultor necesita saber cuanta lluvia va a caer en los próximos meses, antes de decidir si le conviene sembrar o no esta temporada.
Introducción a la Probabilidad El agricultor se informó en la oficina de meteorología acerca de la presión barométrica, la temperatura, velocidad del viento y otros datos meteorológicos de la zona en que vive.
Introducción a la Probabilidad Sin embargo, no hay una
ecuación
que con todos esos datos le permita calcular los milímetros de lluvia que van a caer en un mes en forma precisa.
Introducción a la Probabilidad De la misma manera, ningún operador puede calcular cuanto va a subir la Bolsa, ni siquiera si va a subir o bajar, aún cuando tenga a su alcance todas las variables económicas disponibles para el país.
Introducción a la Probabilidad Este tipo de fenómenos No admiten un modelo
determinístico
, sino un modelo
probabilístico
, que como resultado nos dice la probabilidad de que llueva una cierta cantidad, o la probabilidad de que la Bolsa suba un cierto porcentaje.
Introducción a la Probabilidad El resultado no es un valor determinado, sino la
probabilidad
de un valor.
Introducción a la Probabilidad Veamos algunos ejemplos de fenómenos o experimentos para los cuales es apropiado o conveniente utilizar un modelo probabilístico:
Introducción a la Probabilidad
Experimento 1
: Se lanza un dado y se anota el número que aparece en la cara superior.
Introducción a la Probabilidad
Experimento 2
: Se arroja una moneda cuatro veces y se cuenta el número total de caras obtenidas.
Introducción a la Probabilidad
Experimento 3
: Se arroja una moneda cuatro veces y se anota la sucesión de caras y cecas obtenidas.
Introducción a la Probabilidad
Experimento 4
: Se fabrican artículos en una línea de producción y se cuenta el número de artículos defectuosos producidos en 24 horas.
Introducción a la Probabilidad En todos estos casos, el resultado del experimento no se puede predecir con absoluta certeza. Hay
varios resultados posibles
cada vez que se realiza la experiencia.
Introducción a la Probabilidad Para cada experimento del tipo que estamos considerando, se define el
Espacio Muestral
como el conjunto de todos los resultados posibles que pueden producirse al realizar el experimento.
Introducción a la Probabilidad
Experimento 1
: Se lanza un dado y se anota el número que aparece en la cara superior.
1 4 2 3 5 Espacio Muestral S 6
S
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6
Introducción a la Probabilidad
Experimento 2
: Se arroja una moneda cuatro veces y se cuenta el número total de caras obtenidas. 1 3 0 2 4 Espacio Muestral S
S
0 , 1 , 2 , 3 , 4
Introducción a la Probabilidad
Experimento 3
: Se arroja una moneda cuatro veces y se anota la sucesión de caras (
C
) y cecas (
X
) obtenidas.
S
cccc
,
xxcc
,
xccc xcxc
, ,
cxcc xccx
, ,
ccxc cxxc
, ,
cccx cxcx
, ,
ccxx
,
xxxx xxxc
,
xxcx
,
cxxx
,
xcxx
,
Introducción a la Probabilidad
Experimento 4
: Se fabrican artículos en una línea de producción y se cuenta el número de artículos defectuosos producidos en 24 horas.
S
0 , 1 , 2 , 3 ,...,
N
donde
N
es el número máximo que pudo ser producido en 24 horas.
Introducción a la Probabilidad Un
Suceso
, respecto a un espacio muestral
S
asociado con determinado experimento, es un subconjunto de resultados del espacio muestral.
Introducción a la Probabilidad 1 3 4 2 6 5 Espacio Muestral S
Suceso
Introducción a la Probabilidad Entonces, el subconjunto formado por un solo elemento del espacio muestral es un suceso.
Introducción a la Probabilidad 1 3 4 2 6 5 Espacio Muestral S
Suceso Elemental
Introducción a la Probabilidad El conjunto formado por
todos
los elementos del espacio muestral también es un suceso.
Introducción a la Probabilidad 1 3 4 2 6 5 Espacio Muestral S
Suceso
Introducción a la Probabilidad Y también lo es el conjunto vacío.
Introducción a la Probabilidad Hemos visto que dado un experimento cualquiera, hay un espacio muestral asociado cuyos elementos son todos los resultados que se pueden obtener de la experiencia.
Un subgrupo o subconjunto de resultados es un suceso.
Introducción a la Probabilidad Ahora ¿Cómo podemos saber si la posibilidad de que ocurra un suceso es grande o pequeña?
Por ejemplo, si arrojamos un dado, ¿Cómo podemos calcular la
probabilidad
de que salga un 2 ?.
Introducción a la Probabilidad Para esto necesitamos un número asociado con cada suceso, al cual se lo denomina
probabilidad
del suceso.
Introducción a la Probabilidad Entonces, la
probabilidad
P de un suceso es un número entre 0 y 1, que nos dice en que medida es
posible
que ocurra el suceso.
Introducción a la Probabilidad Si la probabilidad es 1 significa que el suceso ocurrirá con toda certeza. Si la probabilidad es 0,5 significa que un suceso puede ocurrir o puede no ocurrir con la misma probabilidad.
Probabilidad 0 quiere decir que el suceso es imposible que ocurra.
Introducción a la Probabilidad ¿Cómo podemos calcular la
Probabilidad
de un suceso?
Introducción a la Probabilidad La respuesta a esta pregunta no siempre es sencilla y depende del experimento y de su espacio muestral asociado.
Hay casos simples en los que el cálculo es relativamente sencillo.
Introducción a la Probabilidad En primer término, supondremos que se trata de un experimento cuyo espacio muestral es finito y tiene un
número pequeño de resultados posibles
.
En segundo término, supondremos que todos los resultados que integran el espacio muestral (sucesos elementales) tienen
la misma probabilidad de ocurrir
.
Introducción a la Probabilidad Con estas dos hipótesis, la fórmula para calcular la probabilidad es muy sencilla.
Introducción a la Probabilidad Supongamos que se trata de un experimento cualquiera cuyo espacio muestral
S
tiene N elementos (N resultados posibles).
Deseamos calcular la probabilidad de un suceso
H
(Un subconjunto
H
del espacio muestral
S
) que tiene m elementos.
Introducción a la Probabilidad De acuerdo a lo dicho previamente, el número N tiene que ser pequeño y la probabilidad de cada suceso elemental tiene que ser la misma.
Introducción a la Probabilidad Suceso
H
m elementos N elementos Espacio Muestral
S
Introducción a la Probabilidad Entonces la probabilidad
P
de que ocurra el suceso
H
es:
P
m N
Introducción a la Probabilidad Veamos algunos ejemplos. Supongamos que se arroja un dado sobre una mesa y apostamos a que salga un número igual o menor que 4.
Introducción a la Probabilidad Sabemos que son igualmente posibles los números:
{
1, 2, 3, 4, 5 y 6
}
(Espacio muestral con 6 elementos).
Introducción a la Probabilidad Pero los números favorables a nuestra apuesta son:
{
1, 2, 3 y 4
}
(Suceso con 4 elementos). Entonces, la probabilidad de que ganemos es:
P
4 6 0 , 666 ...
Introducción a la Probabilidad
Suceso
2 1 6 4
P
4 6 0 , 666 ...
3 5 Espacio Muestral S
Introducción a la Probabilidad Es decir que tenemos a nuestro favor una probabilidad de 0,666.. (o sea aproximadamente del 67 %).
Introducción a la Probabilidad Si apostamos a un sólo número, por ejemplo a que sale un
as
, la probabilidad de ganar sería:
P
1 6 0 , 1666 ...
Introducción a la Probabilidad
Suceso
2 1 6 4
P
1 6 0 , 1666 ...
3 5 Espacio Muestral S
Introducción a la Probabilidad Repitiendo, la probabilidad es un número entre 0 y 1, que nos dice en que medida es
posible
que ocurra un suceso.
Fin de la sección