Transcript TEORIA DE PROBABILIDADES

PROBABILIDADES
CALCULO COMBINATORIO
 Se desarrolla algunos métodos para
determinar sin enumeración directa el
número de resultados posibles de un
experimento particular o el número de
elementos de un conjunto.
PRINCIPIOS BÁSICOS DEL
PROCESO DE CONTAR
 PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN. TEOREMA. Una 1ª decisión se puede tomar de m
manera
 Una 2ª decisión es tomada de n maneras
 Entonces el número de maneras de tomar
ambas decisiones es igual a m x n
PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN
 Ejemplo.- Supongamos que cuatro universidades de La Paz
desean contratar un empleado para cada de las 3 áreas.



Biblioteca
Mantenimiento
Personal
 Solución: Tenemos 2 conjuntos
 Universidades (cuatro)
 Empleado (tres)
 Hay 3 empleos para cada una de las cuatro universidades.
 m * n = 4  3 = 12
 posibles pares de universidad y empleo. Luego hay 12
oportunidades disponibles de empleo
PRINCIPIOS DE ADICIÓN. TEOREMA.- Si dos decisiones son
mutuamente excluyentes y la primera se
puede tomar de m maneras y las segunda de
n maneras, entonces una o la otra se puede
tomar de n + m maneras.
PRINCIPIOS DE ADICIÓN
 Ejemplo.- Una persona puede viajar de A a B
por vía aérea o por vía terrestre y tiene a su
disposición 5 líneas aéreas, 6 líneas
terrestres. ¿De cuántas formas puede hacer
el viaje?
 n1 + n2 = 5 + 6 = 11 formas posibles
PERMUTACIONES SIMPLES. TEOREMA.-
El número de permutaciones
distintas que pueden formarse con n objetos
se obtiene mediante la fórmula:
Pn = n! = n (n - 1) (n - 2) ...............3 * 2 * 1
PERMUTACIONES SIMPLES. Se proyecta presentar 6 conferencistas en
una reunión de padres de familia y
profesores de un colegio. ¿El moderador del
programa desea saber de cuántas maneras
diferentes se pueden situar en el escenario
las 6 conferencias en fila?
 Solución:

P6 = 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720
PERMUTACIONES CON
REPETICIÓN
TEOREMA.Sean k1, k2, ........km números
enteros positivos tal que k1 + k2 + ...... + km
=n
 El número de maneras en que un conjunto de
n elementos puede ser dividido en m partes
ordenados (particionado en m subconjuntos)
de las cuales el primero contiene k1
elementos, el segundo k2 elementos, etc., se
obtiene mediante la siguiente fórmula:
PERMUTACIONES CON
REPETICIÓN
 k1, k2, ........km
 Pn =
n
k1! * k2! * ........ * km!
PERMUTACIONES CON REPETICIÓN
 Ejemplo: ¿Cuántas permutaciones distintas se
pueden formar usando las letras MEMMER?
 Solución:

n
=
6 letras

k1 = n1 =
3 letras M

k2 = n2 =
2 letras E

k3 = n3 =
1 letra R

3*2*1

P6 =
6!
=
60
3! 2! 1!
 60 permutaciones distintas de las Letras
COMBINACIONES. TEOREMA.-
El número de combinaciones
de n objetos tomando de k veces se obtiene
mediante la fórmula siguiente.
n
C
k
=
n!
k! (n – k!)
COMBINACIONES
 Ejemplo: El numero de combinaciones de las
letras a,b,c tomadas de dos en dos es:

3

C =
3!
= 1*2*3 = 3

2
2! 1!
2*1
conceptos
 EXPERIMENTO.-
Es un proceso mediante
el cual se obtiene un resultado de una
observación. Un experimento puede ser
determinístico y no determinístico.
 EXPERIMENTO DETERMINISTICO.- Un
experimento es determinístico cuando el
resultado de la observación es determinada
en forma precisa por las condiciones bajo las
cuales se realiza dicho experimento.
conceptos
 EXPERIMENTO ALEATORIO O NO
DETERMINÍSTICO.Un experimento es aleatorio
cuando los resultados de la observación no se puede
predecir con exactitud antes de realizar el
experimento.
 Ejemplo:

 El número de estudiantes en la carrera de Ingeniería
de Sistemas (Determinístico)
 Lanzar un dado y observar el número que aparece
en la cara superior (Aleatorio).
conceptos
 ESPACIO MUESTRAL.-
Es el conjunto de
todos los resultados de un experimento; en
términos de conjuntos, es un conjunto del
espacio muestral (S).
 En particular S y  (conjunto vacío) son
eventos. Al espacio muestral S se le llama
evento seguro y a  evento imposible.
Conceptos
 Ejemplo: Sea el experimento: lanzar un dado y
observar el número que aparece en la cara superior.
El espacio muestral asociado a este experimento es:

S = 1, 2, 3, 4, 5, 6
 Para este experimento podemos definir los
siguientes eventos:
 A : Observar un número impar. Entonces A =  1, 3,
5
 B : Observar un número múltiplo de 2
6
 C : Observar un número menor que 4
3
B =  2, 4,
C =  1, 2,
OPERACIONES CON EVENTOS
 Usando las operaciones con conjuntos,
podemos formar nuevos eventos.
 Estos eventos serán nuevamente
subconjuntos del mismo espacio muestral de
los eventos dados.
UNION DE EVENTOS.-
A
B
AUB
UNION DE EVENTOS
 Ejemplo: Un experimento consiste en lanzar un dado








y observar el número que aparece en la cara
superior. Sean los eventos:
A : Observar un número impar
B : Observar un número mayor o igual a 4
Listar los elementos del evento A U B
Solución:
S = 1, 2, 3, 4, 5, 6
A = 1, 3, 5
B = 4, 5, 6
A U B = 1, 3, 4, 5, 6
INTERSECCIÓN DE EVENTOS
 A ∩B
A
B
INTERSECCIÓN DE EVENTOS
 Ejemplo: Un experimento consiste en lanzar un dado
y observar el número que aparece en la cara
superior. Sean los eventos:

A : Observar un número mayor que 3

B : Observar un número par
 Listar los elementos del evento A ∩ B

S = 1, 2, 3, 4, 5, 6

A = 4, 5, 6

B = 2, 4, 6
 A ∩ B =  4, 6
DIFERENCIA DE EVENTOS
A–B
A
B
DIFERENCIA DE EVENTOS
 Un experimento consiste en lanzar tres monedas y
observar el resultado. Sean los eventos:

A : Observar por lo menos una vez cara

B : Observar por lo menos dos veces cara
 Listar los elementos del evento A – B




S = ccc, ccs, csc, scc, css, scs, ssc, sss
A = ccc, ccs, csc, scc, css, scs, ssc
B = ccc, ccs, csc, scc
A – B = css, scs, ssc
COMPLEMENTO DE UN EVENTO
 A1
A
COMPLEMENTO DE UN EVENTO
 Ejemplo: Un experimento consiste en lanzar un dado
y observar el número que aparece en la cara
superior. Sean los eventos:
 A : Observar los números pares
 Listar los elementos del evento
A1 = S – A

S = 1, 2, 3, 4, 5, 6

A = 2, 4, 6
 A1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 - 2, 4, 6 = 1, 3, 5

Antecedentes
 En el siglo XVIII apareció junto con los juegos
de azar:
 Arrojar dados
 Girar ruletas
 Barajar cartas
 Definición.
 Es el estudio de experimentos aleatorios o libres
de determinación.
 Existen:
 Probabilidad a Priori (clásica)
 Probabilidad a Posteriori (de frecuencia)
Probabilidad a “priori”
Si un experimento aleatorio puede dar lugar a h
resultados mutuamente excluyentes e
igualmente posibles de un total de n
posibilidades. La probabilidad de que ocurra
el experimento (E) viene dada por el cociente
de los h resultados entre el total de las
posibilidades.
p(E) = h/n
Probabilidad a “priori”
 Ejemplo: Se arroja un dado, cual es la
probabilidad de que muestre un cuatro.
*
**
***
**
**
***
**
***
***
 n=6 y h=1
 P(E)= h/n  P(E)= 1/6
Probabilidad a “posteriori”
 Cuando el experiemento de repite varias
veces (n veces), el experimento tiene una
frecuencia.
 Ejemplo:
 Si en 1000 tiradas de una moneda salen 529
caras, la frecuencia es 529/1000. Si en otros
1000 salen 493, entonces la frecuencia total
es (529+493)/2000 = 0.5
PROBABILIDAD CONDICIONAL
 Las probabilidades condicionadas se
calculan una vez que se ha incorporado
información adicional a la situación de
partida:
 Las probabilidades condicionadas se
calculan aplicando la siguiente fórmula:
PROBABILIDAD CONDICIONAL
 Donde:
 P (B/A) es la probabilidad de que se de el
suceso B condicionada a que se haya dado
el suceso A.
 P (B ^ A) es la probabilidad del suceso
simultáneo de A y de B
 P (A) es la probabilidad a priori del suceso A
PROBABILIDAD CONDICIONAL
 Ejemplo: se tira un dado y sabemos que la
probabilidad de que salga un 2 es 1/6
(probabilidad a priori). Si incorporamos nueva
información (por ejemplo, alguien nos dice
que el resultado ha sido un número par)
entonces la probabilidad de que el resultado
sea el 2 ya no es 1/6.
Ejemplo
 P (B/A) es la probabilidad de que salga el número 2






(suceso B) condicionada a que haya salido un
número par (suceso A).
P (B ^ A) es la probabilidad de que salga el dos y
número par.
P (A) es la probabilidad a priori de que salga un
número par.
Por lo tanto:
P (B ^A) = 1/6
P (A) = 1/2
P (B/A) = (1/6) / (1/2) = 1/3