Transcript Estadística Tema 4: Introducción a Probabilidad Eduardo Véliz, Ing. Tema 4: Introducción a Probabilidad.

Estadística
Tema 4: Introducción a Probabilidad
Eduardo Véliz, Ing.
Tema 4: Introducción a Probabilidad
1
Probabilidad

¿Cuál es la
Estadística?

¿Cuál es la probabilidad que exista vida en otro
mundo?

Todos los días nos hacemos preguntas sobre
probabilidad e incluso de cosas que no
sabemos, lo importante es que todos tenemos
una pequeña idea intuitiva de este curso.
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probabilidad
de
aprobar
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Nociones de probabilidad


Hay 3 maneras principales de entender la probabilidad:

Clásica: Basada en la idea de las proporciones. Eventos favorables
sobre posibles.

Empírica: Número de veces que ocurriría un evento al realizar un
experimento repetidas veces.

Subjetiva: Grado de certeza que se posee sobre un evento. Es personal.
En todos los tipos de definiciones aparece el concepto de
evento. Vamos a recordar
cuáles son y algunas
operaciones que se pueden realizar con eventos.
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Experimentos

S espacio muestral
Así como en Física o Química, para
nosotros un experimento será un proceso
de medición o de observación.
S espacio muestral

Un posible resultado de un experimento se
llama punto muestral o evento simple.

El conjunto de todos los resultados posibles
se llama espacio muestral (S).

Se llama evento a un subconjunto de
dichos resultados.
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Evento A
A
Punto muestral
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Experimentos



S espacio muestral
Se llama evento complementario de A, A’ a
los resultados experimentales que no están
en A.
Se llama evento unión de A y
evento formado por los
experimentales que están en
(incluyendo los que están en
menos en uno de los dos.
B, AUB, al
resultados
A o en B
ambos), al
Se llama evento intersección de A y B, A∩B
o simplemente AB, al formado por los
resultados experimentales que están
simultáneamente en A y B.
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A
A’
S espacio muestral
UNIÓN
A
B
S espacio muestral
INTERSEC.
A
B
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Teorema de Exclusión - Inclusión


La idea de este teorema, el cuál no vamos a demostrar,
sino a entender es hallar el número de elementos en la
unión de 2 o más conjuntos.
Denotemos con N(A) el número de elementos
(cardinalidad) de A.

A = {2, 3, 4, 6, 9}
 N(A) = 5

Puesto que no es difícil, observamos:



B= {2, 4, 6, 8}
N(B) = 4
AB = {2, 4, 6}
N(A B) = 3
AB = {2, 3, 4, 6, 8, 9}
N(AB) = 6
Ahora nótese que:

N(AB) = N(A) + N (B) – N(A B) = 5 + 4 – 3 = 6.
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Teorema de Exclusión – Inclusión (Ejemplo)

En la carrera de Ing. Sistemas hay 2000
estudiantes, de los cuales:
 1200
estudian Matemáticas.
 800 estudian Física.
 600 estudian Química.
 300 estudian Matemáticas y Física, pero no Química.
 200 estudian Matemáticas y Química, pero no Física.
 150 estudian Física y Química, pero no Matemáticas.
 Si de los 2000 estudiantes, todos estudian al menos
una asignatura, cuantos estudian las 3 asignaturas a
la vez?
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Teorema de Exclusión – Inclusión (Ejemplo)

En este caso hay 3 conjuntos:


Si hubieran 4 conjuntos:


N(ABC) = N(A) +N(B) +N(C) –N(AB) –N(AC) –N(BC) +N(ABC).
N(ABCD) = N(A) +N(B) +N(C) +N(D) –N(AB) –N(AC) –N(AD) –
N(BC) –N(BD) –N(CD) +N(ABC) +N(ABD) +N(ACD) +N(BCD) –
N(ABCD).
Nótese que siempre sumamos y restamos
alternadamente todas las formas de formar
conjuntos de tamaño k =1, 2, 3, 4,…
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Teorema de Exclusión – Inclusión (Ejemplo)
 Para no alargar el cuento (Despejamos):
N(ABC) = N(ABC) –N(A) –N(B) –N(C) +N(AB) +N(AC)
+N(BC).
 N(ABC) = 2000 -1200 -800 -600 +300 +200 +150 = 50.



Nótese que la suma de
todos los valores del
gráfico
es
2000
estudiantes.
Observamos que hay 750
que
estudian
sólo
Matemáticas, pero no
Física ni Química, y así…
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F
M
750
250
400
50
100
150
300
Q
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Probabilidad

Primero debemos saber que todo evento E es subconjunto del
espacio muestral y que el conjunto vacío es subconjunto de todo
conjunto.

Además al espacio muestral se le llama evento seguro y al vacío,
evento imposible.

Para entender la probabilidad clásica hay que apegarnos al
espacio muestral.

Así consideramos el experimento de Lanzar una moneda y
observar su cara superior. Puesto que tenemos 2 opciones:



S = {cara, sello}
P(S) = P(cara o sello) = 1
P() = P(No cara, Ni sello) = 0
P(cara) = ½
(Porque hay 1 cara entre los 2 posibles resultados).
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Probabilidad

Nótese que el valor obtenido siempre está en el intervalo
cerrado [0, 1]. Esto viene de lo anterior:
ES
 P() ≤ P(E) ≤ P(S)
 0 ≤ P(E) ≤ 1 (Recuérdenlo).


Definimos entonces la probabilidad de un evento como
una función que toma valores del espacio muestral y los
lleva al intervalo [0, 1]. Donde se cumple:

P(S) = 1
 0 ≤ P(E) ≤ 1

P(AUB)=P(A)+P(B) Cuando A y B no se intersectan.
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Reglas de Probabilidad


Eventos
Exclusivos
o
Mutuamente Excluyentes son
aquellos cuyos conjuntos no se
intersecan. Es decir que un dato
no aparece en ambos a la vez.
Eventos
Exhaustivos
son
aquellos cuya Unión es el
Espacio Muestral, es decir que
cada dato aparece al menos en
un evento.
B
A
AB=
A
B
AB = S
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Sistema exhaustivo y excluyente de sucesos
A1
A2
Son una colección de sucesos
A1, A2, A3, A4…
Tales que la unión de todos ellos forman
el espacio muestral, y sus intersecciones
son disjuntas.
A3
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A4
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Reglas de Probabilidad
B
A
0.24


Eventos
independientes
son aquellos que no
afectan en el resultado del
otro.
Cumplen la propiedad:
P(AB) = P(A)P(B)
0.06
0.14
P(A) = 0.20
P(B) = 0.30
P(AB) = 0.06
P(A)P(B) = 0.06
Nótese al graficar que:
P(A) = 0.14+0.06 = 0.20.
P(B) = 0.24+0.06 = 0.30.
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Reglas de Probabilidad

Regla Complementaria.


P(A’) = P(S) - P(A) = 1 – P(A).
Regla Multiplicativa. Similar a Inclusión-Exclusión.


P(AB) = P(A)P(B|A)
P(AB) = P(B)P(A|B)





Esto significa que la probabilidad que sucedan A y B a la vez es
equivalente a la probabilidad que suceda A por la probabilidad que
suceda B, dado que ya sucedió A.
Qué sucede si A y B son Independientes?
Puesto que P(AB) = P(A)P(B)
Entonces P(A)P(B) = P(B)P(A|B)
Entonces P(A) = P(A|B)

Lo mismo sucede con P(B) = P(B|A).
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Reglas de Probabilidad

Regla Aditiva. Similar a Inclusión-Exclusión.

P(AB) =P(A) +P(B) –P(AB).

Qué sucede si A y B son Exclusivos?
Puesto que P(AB) = P() = 0.
Entonces P(AB) =P(A) +P(B).







Qué sucede si A y B son Independientes?
Puesto que P(AB) = P(A)P(B)
Entonces P(AB) =P(A) +P(B) –P(A)P(B).
Qué sucede si A y B son Exhaustivos?
P(AB) = P(S) = 1.
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Probabilidad condicional

Despejemos de la Regla Multiplicativa.
E espacio muestral
P( AB)
P( A | B) 
P( B)

A
B
Se llama probabilidad de A condicionada a B, o
probabilidad de A sabiendo que sí sucede B.
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
EJEMPLO: En una muestra de 1000 individuos elegidos al azar, entre
una población de enfermos de osteoporosis 760 eran mujeres.
¿Qué porcentaje de mujeres hay en la muestra?


Si elegimos a un individuo de la población, qué probabilidad hay de que
sea mujer:


760/1000 = 0,76  76%
Es equivalente a medir la proporción de mujeres  P(Mujer) = 0.76
¿Cuál es la probabilidad de que elegido un individuo de la población sea
hombre:

P(Hombre) = P(Mujer’) = 1 -0,76 =0,24
Se sabe de otros estudios que entre los individuos con osteoporosis, aprox.
la cuarta parte de las mujeres fuman y la tercera parte de los hombres.
Elegimos a un individuo al azar de la población de enfermos.
 ¿Qué probabilidad hay de que sea mujer fumadora?


P(Mujer ∩ Fumar) = P(Mujer) P(Fumar|Mujer) = 0,76 x ¼ = 0,19
¿Qué probabilidad hay de que sea un hombre fumador?

P(Hombre ∩ Fumar) = P(Hombre) P(Fumar|Hombre) = 0,24 x 1/3 = 0,08
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Teorema de la probabilidad total
A2
A1
… podemos calcular la probabilidad de B.
B
A3
Si conocemos la probabilidad de B en cada
uno de los componentes de un sistema
exhaustivo y excluyente de sucesos,
entonces…
A4
P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + ( B∩A4 )
=P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + …
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Ejemplo: En este aula el 70% de los alumnos son mujeres. De
ellas el 10% son fumadoras. De los varones, son fumadores el
20%.
 ¿Qué porcentaje de fumadores hay en total?

P(F) = P(F∩H) + P(F∩M)
= P(F|H) P(H) + P(F|M) P(M)
=0,2 x 0,3 + 0,1 x 0,7
T. Prob. Total.
Hombres y mujeres forman
Un Sist. Exh. Y Excl.
De sucesos
= 0,13 =13%

¿Se elije a un individuo al azar y resulta
fumador. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un hombre?

P(H|F) = P(F ∩ H)/P(F)
Mujeres
Varones
= P(F|H) P(H) / P(F)
T. Bayes
= 0x2 x 0,3 / 0,13
= 0,46 = 46%
fumadores
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Árbol de Bayes
P(F|M)
P(M)
Fuma
P(F y M) = P(M)P(F|M)
Mujer
P(F’|M)
No fuma
Estudiante
P(F|H)
P(H)
Fuma
P(F y H) = P(H)P(F|H)
Hombre
P(F’|H)
No fuma
P(F) = P(F y M) + P(F y H)
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Expresión del problema en forma de arbol
0,1
0,7
Mujer
Fuma
0,07
0,9
No fuma
Estudiante
0,2
0,3
Fuma
0,06
Hombre
0,8
No fuma
0,13
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Teorema de Bayes
Si conocemos la probabilidad de B en
cada uno de los componentes de un
sistema exhaustivo y excluyente de
sucesos, entonces…
A2
A1
…si ocurre B, podemos calcular la
probabilidad (a posteriori) de ocurrencia
de cada Ai.
B
A3
P(Ar B ) P(Ar )P(B| A r )
P(Ar | B) 

P(B)
P(B)
A4
donde P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total:
P(B)=P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + ( B∩A4 )
Conocimiento
aposteriori
=P(B|A ) P(A ) + P(B|A ) P(A ) + …
1
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1
2
Conocimiento
apriori
2
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¿Qué hemos visto?

Álgebra de sucesos


Unión, intersección, complemento
Probabilidad

Nociones






Clásica
Empírica
Subjetiva
Reglas de Probabilidad
Probabilidad condicionada
Sistema exhaustivo y excluyente de sucesos


Teorema probabilidad total.
Teorema de Bayes
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