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NÚMEROS REALES
Luis Figueroa S.


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NÚMEROS REALES


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NÚMEROS REALES R
Formado por:

I. Números Naturales: N = {1,2,3,..∞+}
II. Números Enteros: z = {-∞,…,-2,-1,0,1,2,..,∞+}

III. Números Racionales: Q = {x/x = m/n; m y n son
números enteros, donde m≠o}

IV. Números Irracionales: I = {x/x es representado por un decimal
no periódico}

V. Números Reales: R = {x/x Q ó I}
VI. Números Complejos: C = {x/x a + bi; donde: a, b son R
y i = √-1}


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Definición:
Llamaremos sistema de números reales a un conjunto
R, consta de 2 operaciones: adición (a+b)
y multiplicación (a.b) “Leyes de composición interna”,
y una relación de orden denotado por “<” y el axioma
del supremo.


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1º Ley de Composición Interna
T: R x R
R
(a, b)
+ (a,b) = a+b

Además debe cumplir los siguientes
axiomas:
i)
Cerradura: V a,b E R
a+b E R
ii)
Conmutativa: a+b=b+a ; V a,b E R
iii)
Asociativa: (a+b)+c=a+(b+c) ; V a,b,c E R
iv)
Identidad Aditiva: a+0=0+a=a V a E R, 0 E R
v)
Opuesto Aditivo: a+(-a)=(-a)+a=0, y es único
tal que V a E R ,
-a E R


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2º Ley de Composición Interna
RxR

R

(a,b)

a.b

Además de los siguientes axiomas:
i.
ii.
iii.

Cerradura: V a, b E R => a.b E R
Conmutativa: a.b = b.a V a, b E R
Asociativa: ( a. b) .c = a ( b . c) ;V a, b, c E R


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TEOREMAS












TEOREMA DE IGUALDAD PARA LA ADCION
Si a=b entonces a+c=b+c, para todo a,b,c  R
TEOREMA DE IGUALDAD PARA LA
MULTIPLICACION
Si a=b entonces a.c=b.c, para todo a,b,c R
TEOREMA DE LA CANCELACION PARA LA
ADICION
Sean a,b,c R; Si a+c=b+c entonces a=b
TEOREMA DE LA CANCELACION PARA LA
MULTIPLICACION
Sean a,b,c R; Si a.c=b.c y c0, entonces a=b


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SUSTRACION DE NÚMEROS REALES
Para cualquier números reales a,b  R, definiremos a la
sustración de números reales por:
a-b=a+(-b)

DIVISIÓN DE NÚMEROS REALES
Para cualquier números reales a,b  R donde b  0,
definiremos al cociente de números reales por:
a/b=a.b-1


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DESIGUALDADES
La correspondencia entre los números reales y los puntos de un a recta
pueden usarse para dar una interpretación geométrica de la relación de
orden entre los números reales
La relación acorresponde al numero “a”, que se encuentra a la izquierda del punto B
correspondiente al número “b”.

I) Un número real “a” es positivo si, a>0
II) Un número real “a” es negativo si, a<0


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AXIOMAS DE LA REALCION ORDEN
 a,b,c  R, se tiene


O1.- Orden de tricotomia: una y solo una de las
siguientes posibilidades se cumple: a=b  ab



O2.- Orden transitivo: si a


O3.- Orden de adición: si a


O4.- Orden Multiplicativo: si a0 a.c