Transcript Estadística y Probabilidad I

Distribución muestral de la
media
2011 – 0
Distribución muestral de la media

Sea X1, X2, ... , Xn una muestra aleatoria de una
población con una distribución normal con media m y
varianza s 2, entonces:
 s2 
X ~ Nm ,

n 


Sea X1, X2, ... , Xn una muestra aleatoria de una
población cuya distribución tiene media m y varianza
s 2. Si el tamaño de muestra n ≥ 30, entonces
(Teorema central del limite):
 s2 

X  N  m ,
n 

Distribución muestral de la media
Ejemplo: Un equipo de empacado de un proceso de
fabricación rellena cajas de cereal de tal forma que la
cantidad por caja tiene una distribución normal con una
media 368 g. y desviación estándar 15 g.
• Si se selecciona una caja al azar, ¿cuál es la
probabilidad de que pese entre 365 g. y 368 g.?
• Si se selecciona una muestra de 16 cajas de las miles
que se rellenan cada día y se calcula el peso promedio,
¿cuál es la probabilidad que esté entre 365 g. y 368 g.?
Distribución muestral de la media
Ejemplo: El tiempo de fabricación de una plancha de
vidrio es una variable aleatoria con una media de 17
minutos y una varianza igual a 4/3 minutos2. Si se
registran los tiempos de fabricación de una muestra de
200 planchas de vidrio, ¿cuál es la probabilidad que el
tiempo promedio de fabricación sea menor que 16.9
minutos?
Distribución muestral de la media
Ejemplo: El tiempo que un cajero de banco atiende a un
cliente es una variable aleatoria con una media de 3.2
minutos y una desviación estándar de 1.6 minutos. Si se
observa una muestra de 64 clientes, encuentre la
probabilidad de que el tiempo promedio de los mismos
con el cajero sea como máximo 2.7 minutos.
Diferencia de medias muestrales

Poblaciones normales:

s 12 s 22 

X 1  X 2 ~ N  m1  m 2 ,

n1 n2 


Poblaciones no normales:

s 12 s 22 

X 1  X 2  N  m1  m2 ,

n1 n2 

siempre que n1 ≥ 30 y n2 ≥ 30
Diferencia de medias muestrales
Ejemplo: El comportamiento del desgaste abrasivo de
dos materiales Alpha y Beta tienen como medias 85 y 81
unidades y desviaciones estándar de 5 y 4 unidades
respectivamente. Si se hacen pruebas de desgaste con el
abrasivo a una muestra de 40 placas del material Alpha y
60 placas del material Beta, ¿cuál es la probabilidad de
que la media muestral de desgaste del material Alpha sea
mayor en por lo menos tres unidades a la media muestral
de desgaste del material Beta?
Una proporción muestral

Proporción muestral (n ≥ 30) :
  1    
p  N  ,

n



Diferencia de proporciones muestrales:
1 1  1   2 1   2  


 p1  p2   N  1   2 ,

n1
n2


siempre que n1 ≥ 30 y n2 ≥ 30
Una proporción muestral
Ejemplo: Una empresa ha instalado bombas de agua
de una determinada marca en edificios de
apartamentos, 10% de las cuales presentan fallas luego
del primer año de uso. Si se inspecciona una muestra
de 64 bombas de agua de dicha marca en edificios de
apartamentos que han sido instaladas hace más de un
año, ¿cuál es la probabilidad de que más del 15% de
las bombas de agua en la muestra presenten fallas?
Diferencia de proporciones muestrales
Ejemplo: Una empresa constructora ha instalado bombas
de agua de la marca A en edificios de apartamentos, 10%
de las cuales presentan alguna falla luego del primer año de
uso. También ha instalado bombas de agua de la marca B y
se sabe que el 12% de ellas presentan alguna falla luego del
primer año de funcionamiento. Si se inspeccionan 60
bombas de agua de cada una de las marcas en edificios de
apartamentos que han sido instaladas hace más de un año,
¿cuál es la probabilidad de que la proporción muestral de
bombas con alguna falla de la marca B sea mayor que la
proporción muestral correspondiente de la marca A?