Integrarea funcţiilor raţionale simple
Download
Report
Transcript Integrarea funcţiilor raţionale simple
Definiţie: Funcţiile raţionale simple sunt de forma:
definite pe domeniile lor maxime
1
x a
dx
dx ln x a C
I. 1)
xa
xa
1
1 ax b
1
dx
dx ln ax b C
2)
ax b a ax b
a
n 1
1
1
1
n
x a
dx x a x a dx
C
C
II. 1)
n
n 1
n 1
n 1 x a
x a
1
1
n 1
1 ax b
dx ax b ax b dx
C
2)
n
a n 1
ax b a
1
1
C
n1
an 1 ax b
n 1
III.
Caz
I
1)
1
dx , unde a 0 .
2
ax bx c
0 ax 2 bx c ax x1 I
2
1
a
1
1 1
dx
C
2
a x x1
x x1
(formula III. 1))
2
b
2
Caz 2) 0 ax bx c a x 2 (forma canonică)
2a 4a
b
b
x
x
1
1
1
2a
2a 2a C
I
dx
ln
2
2
a
a
b
b
2
x
x
2a
2a 2a
2a 2a
b
1
2a
ln
b
x
2a
x
2a C
2a
Caz 3) 0 din forma canonică
b
b
x
x
1
1 1
1
2ax b
2a
2
a
I
dx
arctg
C
arctg
C
2
2
a b
a
x
2a
2a
2a 2a
Observaţie: În cazul 2) avem: 0 ax2 bx c ax x1 x x2
1 A
B
(se foloseşte formula I.1))
ax x1 x x2 a x x1 x x2
1
IV. Se ştie că ax 2 bx c 2ax b
B
2aB
2aB
x
2ax
2ax b
b
Ax B
A
A
A dx
A dx
A
dx
A
dx
2
2
2
2
ax bx c
ax bx c
2a ax bx c
2a
ax bx c
2aB
b
2
A
2ax b
A
A
ax
bx
c
A 2aB
A
dx
dx
dx
b
2
2
2
2a ax bx c
2a ax bx c
2a ax bx c
2a A
1
A
2aB Ab
1
2
dx ln ax bx c
dx , unde
2
2
ax bx c
2a
2a
ax bx c
1
J
dx se calculează cu formula III.
2
ax bx c
V.
1 a2 x2 a2
1 a2 x2
dx 2
dx 2
dx
2
2 n
2
2 n
2
2 n
a
a x a
x a
x a
1
x2
1
1
1
x 2 a 2 n x 2 a 2 dx 1 I
2
dx
dx
x
n 1
a x 2 a 2 n
a 2 x 2 a 2 n1
2a 2
a2
n 1
n 1
2
2 n 1
1
x a
1
1 x 2 a 2
x2 a2
x
x
dx
dx 2 I n1 2 x
2
2a
a
2a
n 1
n 1
n 1
1
1
x
1
1
I n 2 I n1 2
2 2 n1 2
I n1
a
2a n 1 x a
2a n 1
1
In
dx
x 2 a 2 n a 2
1
a2
2n 3
x
,
I
n 1
2
2
2
2 n 1
2a n 1
2a n 1x a
recurenţă din care se poate calcula I n .
In
ceea ce reprezintă relaţia de
VI. I n
ax
Ax B
2
,
cu
b
4ac 0
dx
n
bx c
Observaţie: Pentru 0 ax2 bx c ax x1 x x2 şi după descompunerea
2
în fracţii raţionale simple devine formula II..
B
A
A
In A
dx
2a
ax 2 bx c n
x
A
2a
ax
2ax b
2
bx c
n
2aB
2aB
2ax b
b
A
A
A
dx
dx
n
n
2
2
2a
ax bx c
ax bx c
2ax
2aB
b
A
A
A
dx
dx
2a ax 2 bx c n
2a
ax
2
n
bx c ax 2 bx c dx
n 1
2
A 2aB
1
A
ax
bx
c
A 2aB
b
dx
n
I
b Jn
n
2a A
ax 2 bx c
2a
n 1
2a A
Aplicaţii
1
1
1
1
2
4
1
dx;
dx;
dx;
dx;
dx;
dx; 2
dx;
2
5
5
x 1 2x 3
3 x
x 2 3 x 3x 1 x 2x 3
1
1
2x 1
1
x2
dx; 2
dx; 2
dx; I 2 2 2 dx; J 2 2
dx
2
2
x 4x 5
9x 6x 2
x x 1
x 1
x 2x 5