Transcript Numere complexe

E&M
6. Interpretarea geometrică
a conjugatului
7. Proprietăţile numerelor
complexe conjugate
8. Operaţii cu numere
complexe
9. Puterile lui “i”
10. Ecuaţii de gradul al II-lea
cu numere complexe
11. Numere complexe în formă
trigonometrică
12. Utilizarea numerelor
complexe in realitate
13. Teste de verificare
1. Mulţimea numerelor complexe
2. Numere complexe în formă
algebrică
3. Reprezentarea în plan
4. Modulul unui număr complex
5. Conjugatul unui număr complex
N – mulţimea
numerelor
naturale
Z – mulţimea
numerelor întregi
Q – mulţimea
numerelor raţionale
I – mulţimea
numerelor iraţionale
R – mulţimea
numerelor reale
C – mulţimea
numerelor
complexe
ℂ= { z=a+bi /a,b ∊R,i*i=-1}
z= a+bi ∊ ℂ
Afixul
punctului
“a”
A (a,b)
Punctul din
plan
corespumzător
numărului
complex
?
y
3
x
Z= 3-4i —› A(3,-4)
-4
A
Definiţie: z= a+bi ∊ ℂ
atunci
Observaţie:
Modulul unui număr
complex reprezintă
distanţa de la punctul
plan corespunzător
numărului complex până
la originea axelor.
Z=a+bi
—›(a,b)

∆OAB
M(B)=90 ˚
}
T.
Pitagora :
=» OA = IzI
y
OA²=OB²+AB²
OA²=a²+b²
b
A
B
0
a
x
1) IzI ∊ R (modulul oricărui număr complex este număr real)
2) IzI ≥ 0, z ∊ ℂ
3) IzI=0; z=0 (a=0, b=0)
4) Iz1*z2I = Iz1I * Iz2I, z1,z2 ∊ ℂ
5) Iz1/z2I = Iz1I/ Iz2I
Definiţie: Dându-se numărul complex z=a+bi, a,b ∊
R, i²=-1, prin conjugatul lui z înţelegem un alt
număr complex z care se află cu formula z=a-bi.
Exemplu
Z1= 2+6i => Z1=2-6i
Z2= -1-5i => Z2= -1+5i
Z3= 8i => Z3=-8i
Z4= 5 => Z4=5
y
Z=a+bi -> A(a,b)
Z=a-bi -> A(a,-b)
b
A
a
-b
B
x
1.|z|=|z|
|z|=√a²+b²
|z|= √a²+(-b)²= √a²+b²
3.Dacă z ∊ ℂ atunci z ∊ R ⇔ z=z
4. z*z=|z|²
2. z+z'= z+ z‘
z-z‘= z - z‘
z*z‘= z * z‘
z/z‘= z / z‘ ; z‘ ≠ 0
3.Înmulţirea
a) 3*z=3(-2+5i)=-6+15i
b) -2z+4z’=-2(-2+5i)+4(4-3i)=
=4-10i+16-12i=
=20-22i
c) z*z’=(-2+5i)(4-3i)=
=-8+6i+20i-15i²=
= 7+26i
Puterile lui i
iª= 1, dacă a=4*p;
iª= i, dacă a=4*p+1;
iª=-1, dacă a=4*p+2;
iª=-i, dacă a=4*p+3;
Fie ax²+bx+c=0; a,b ∊R,a≠0;
Se calculează ∆=b²-4ac;
Daca ∆<0=>x=x’∊ ℂ, conjugate
x,x’=(-b+i√-∆)/2a;
y
Dacă z=a+bi; a,b∊R, i²=-1
A
b
0
a
x
Z →A(a,b)
r=|z|=√a²+b²; r≥0
t= (Ox,^OA);
t= argumentul redus al numărului
complex;
t= arctg b/a+kπ;
k=0 dacă t ∊ C1
k=1 dacă t ∊ C2 sau C3
k=2 dacă t ∊ C4
Obs: r=|z|
r≥0
t=arg.z∊[0,2 π)
=>z=r(cos t + i sin t)
-r şi t se numesc coordonate
polare ale punctului “A”;
Forma trigonometrică
r = raza polară;
t=unghi sau argument polar
Z=-1→A(-1,0)
r=√a²+b²=√1=1;
t= arctg 0/-1+kπ;
k=1=>t= 0+π= π
z=r(cos t + i sint );
z=cos π + i sin π.
y
t
A
0
x
1. Înmultirea
z’=r’(cos t’+i sin t’); r’≥0; t’∊[0,2 π)
z’’=r’’(cos t’’+i sin t’’); r’’≥0; t’’∊[0,2 π)
z’*z’’=r’*r’’[cos(t’+t’’)+i sin(t’+t’’)];
r’*r’’≥0, t’+t’’∊[0,2 π)
2. Ridicarea la putere
Dacă z=r(cos t + i sin t); r≥0, t ∊[0,2 π), a ∊ N* =>
=> zª=rª(cos at + i sin at ); rª≥0, at ∊[0,2 π)
Vă propunem nişte teste pentru verificarea cunoştiinţelor:
1.Testul Nr.1
3.Fişa de lucru Nr.1
2.Testul Nr.2
4. Fişa de lucru Nr.2
Realizat de:
Magdalena Apetrii
Elena Ciocan
E&M