Transcript numere complexe

Numerele complexe
* Sunteţi pe punctul de a începe studierea uneia dintre cele mai
frumoase idei în matematică. Ideea a evoluat în mai multe
secole, după multe eforturi, care au simplificat foarte mult
calcule extrem de dificile. Numerele complexe au de asemenea,
aplicaţii într-o varietate de domenii: fluxul de lichide, circuitele
electrice, fizica cuantică. În general, ele sunt descrise ca
făcând parte din domeniul matematicii cunoscut sub numele
de analiză complexă.
* Noţiunea de număr complex nu a apărut din probleme de
geometrie, ci din probleme de algebră. Cristalizarea acestui
concept a durat aproximativ 100 de ani, de -a lungul sec.al XVIII-lea. Matematicieni renumiţi ca Leonhard Euler (17071783), Jean d’Alembert (1717- 1783) au utilizat corect numerele
imaginare, care le completau pe cele reale, dar fără să le
explice originea şi proprietăţile. Importanţa introducerii
numerelor complexe în matematică s-a văzut în anul 1801în
lucrarea „Disquisitiones Aritmeticae” a lui Karl Friederich
Gauss.
* Ştim că în mulţimea numerelor reale nu putem rezolva o
ecuaţie de gradul II, al cărei discriminant este negativ.
Modulul şi conjugatul unui numãr complex
Modulul numărului complex Z=a+bi este numarul real
Conjugatul numarului complex al unui numar Z=a+bi
este numărul complex
Să se rezolve în mulţimea numerelor complexe,
ecuaţiile:
a) x2 +2xyi – y2 =-5-12i ; xy = - 6 şi x2 – y2 = -5 =>
Deci avem soluţiile:
b) Notăm z2 = t t2 + 5t +4 = 0 t1 = -1 şi t2 = -4, adică soluţiile
ecuaţiei sunt:
c) z( z2 + 2z +3) = 0
d)
, adică soluţiile sunt:
Arătaţi că numărul
este real,
n

3n
5n  3n
5n  
n

z  2   cos
 cos
 i sin
 sin

2

2
cos

n

cos

4
4
4
4
4



n