Transcript CALCULUL INVERSEI UNEI MATRICE

1.Ce înţelegem prin transpusa unei matrice?
2.Ce numim minor al elementului unei matrice?
3. Ce numim complement algebric al unui element
al matricei A?
Să se calculeze produsele AB ŞI BA unde
A=
Ce observaţi?
B=
Definitie 1.O matrice patratica a se numeste nesingulara (singulara)
daca det A este nenul (det A = 0).
2.Matricea a se numeste inversabila daca exista o alta matrice
notata A -1 astfel ca: AA -1 A = -1. A = I n .
Inversa unei matrice patratice exista daca si numai daca det A este
nenul , iar daca exista aceasta este UNICA.
1. Se calculeaza det A = d. (d nenul atunci se trece mai departe, daca
Nu spunem ca matricea A nu admite inversa)
2. Se scrie transpusa matricii A
3.Se scrie matricea adjuncta
corespunzatoare matricei A:
A *= matricea complementilor algebrici PENTRU transpusa lui A.
4.Scrierea matricei inverse.
Fie A o matrice patratica de ordinul n cu coeficienti complecsi.
Matricea A este inversabila daca si numai daca det(A) este diferit de 0
(in acest caz, matricea A se numeste nesingulara sau nedegenerata).
Matricea inversa a matricei A este data de formula:
unde A* (matricea adjuncta a matricei A) se obtine inlocuind fiecare element al
matricei tA (matricea transpusa a matricei A) cu complementul sau algebric:
Mij fiind minorul elementului
liniei i si coloanei j).
din
(determinantul obtinut din
prin eliminarea
A=
Rezolvare: d=
.Sa se arate ca este inversabila si [n caz afirmativ calculati A-1.
deci este inversabila si A-1=
A* dar
2.Fie A=
a)Sa se arate ca A este inversabila si sa se calculeze A-1.
b)Determinati X astfel [ncat A X=B unde B=
.
Rezolvare:
a)
A este inversabila pentru ca det A=4 deci d
avem A*=
,A-1=
.
0 deci A-1=
A*.Se observa ca At=A.
b)ecuatia AX=B are solutia X=A-1B si prin calcul direct obtinem:X=
altfel AX=B ó
=
=> X=
sau
) Sa se determine matricea X care satisface egalitatea X
=
Indicatie: ecuatia este de forma XA=B si solutia care este unica are forma X=BA-1(a nu se uita ca
[nmultirea matricelor nu este comutativa).
2) Se considera matricea X cu proprietatea X
=
Precizati tipul matricei x si apoi determinati aceasta matrice.