S

ISTEME

C

RAMER

   Un sistem se numeste sistem Cramer daca matricea A a sistemului este inversabila, deci daca det A≠0.

Un sistem Cramer are x n ) ∈ C n solutie unica

x

1  ,

x

   (x 2 1, ,...., x 2,

xn

x 3 , …, 

n

 Notam cu A matricea coeficientilor necunoscutelor x1, x2, …., xn, deci A=( a ij ) ∈

M

n ( ℂ ). Matricea A se numeste matricea sistemului.

(1)     

a a

11 21

x x

1 1 ..........

an

1

x

1  

a a

12 22 ..........



an

2

x x x

2 2 2   ..........

..........

 ...

...

...

  

a a

1

nxn

2

nxn

 

b

1

b

..........

annxn



bn

2 ..

Demonstratie. Notam

x

1

X

  

x

2 ....

  matricea coloana a

b

1

xn

liberi.

B

 

b

2 ....

bn

  Atunci sistemul (1) se scrie AX=B (forma matriceala a sistemului). Cum A este inversabila, aceasta ecuatie matriceala are solutia unica X=A -1 B ∈

M

n,1 ( ℂ ). Daca (x 1, x 2, x 3 , …, x n ) ∈ C n este solutia sistemului, atunci

a

11

x

1  

a

21 ......

  

x

2  

a a

12 22 ......

   ...



xn

  

a a

1 2

n n

......

  

x

1

C

1  2

C

2  ...

an

1

an

2

ann

coloanele matricei A.

Fie j ∈{1, 2, …, n}. Din proprietatea 3 a determinantilor rezulta ca

k

△j=det(C1, C2, …, Cj-1, B, Cj, …, Cn)=det(C1, C2, …., Cj-1,

n

  1

xk k

  1

C

1 , 2 ,.....

Cj

1 ,

xkCk

, 1 ,....,

k n

  1

xk Cn

) =xj det(C1, C2, ….,Cj-1, Cj, Cj+1, …, Cn)=xj det A= =xj △, deoarece A=(C1, C2, …, Cj-1, Cj, Cj+1,…, Cn) si pentru orice k≠j det(C1, C2,…, Cj-1, Ck, Cj+1, …, Cn)=0 fiind determinantul unei matrice cu doua coloane egale.

 

j

EXEMPLU: Sa se rezolve peste ℂ sistemul  2  

x

3

x x

  

y

2

y



y



z



z

 2  0

z

3  13 2 Matricea sistemului are determinantul   1  1 1 1  1  12  0 3 2 deci sistemul este Cramer. 1 3 0  1 1  1 1  12  2  2 1 3 0  1 1  24 13 2 2 3 13 2 2  3  1 3 2  1 1 2 3 0  36 13 Aplicand regula lui Cramer obtinem: x=△1/△=12/12=1, y=△2/△=24/12=2 si z=△3/△=36/12=3. Deci solutia sistemului ese (1, 2, 3)

Exercitii propuse: ( 1 )    2 3 3

x x x

   4

y y

2

y

  

z

 2

z

4

z

4  11  11 ( 3 )   

x

2

x x

  

y ay y

  

z z

 3

z

1   2 0 ( 2 )  

x

2 4

x x

  

y

3

y

9 

y z

  4 3

z

 16

z

  9 29 ( 4 ) 

ax

 

x x

  

y y ay

  

z z az

  2  1 3

S ISTEME C OMPATIBILE 

Forma generala:

(1)     

a a

11 21

am

1

x x x

1 1 ..........

1   ..........



a a

12 22

am x

2 2

x

2 ..........

..........

..........

..

x

2   ...

 ...

 ...

 

a

1

nxn a

2

nxn



amnxn



b

 1

b

2

bm

unde a11, a22, …, amn ∈ℂ, b1, b2, … bm ∈ℂ, x1, x2,…., xn ∈ℂ.

x1, x2,…., xn - necunoscute b1, b2, … bm - termeni liberi aij ∈ℂ(1≤i≤m, 1≤j≤n) – coeficientii necunoscutelor

  In cazul in care m=n adica numarul de ecuatii coincide cu nr de necunoscute, sistemul liniar respectiv se numeste sistem liniar patratic .

Sistemului liniar (1) ii asociem in mod natural urmatoarele doua matrice:

a

11

A

  

a

21 ...

am

1

a

12

a

22 ...

am

2 ...

...

...

...

a

1

n a

2

n

...

amn

  ∈

M m,n

( ℂ ) numita matricea sistemului

a

11

a

12 ...

a

1

n b

1   

a

21 ...

am

1

a

22 ...

am

2 ...

...

...

a

2 ...

n amn b

2 ...

bm

  ∈

M m,n+1

( ℂ ) numita matricea extinsa Observam ca matricea extinsa provine din matricea sistem, careia ii adaugam coloana termenilor liberi.

 Daca notam cu X coloana necunoscutelor si cu B coloana termenilor liberi, adica:

x

1

X

  

x

2 ....

 

xn

∈

M n,1

( ℂ

B

      

b b

1 2 ....

bm

      ∈

M m,1

( ℂ ) , observam ca sistemul liniar (1) se scrie sub forma ecuatiei matriceale: AX=B (2).

Egalitatea (2) se numeste sistemului liniar (1).

forma matriceala a Sistemul liniar (1) se numeste cel putin o solutie, respectiv are nici o solutie.

compatibil daca are incompatibil daca nu

In cazul cand sistemul este compatibil si are o solutie, spunem ca sistemul este compatibil determinant, iar daca are mai multe solutii spunem ca este compatibil nedeterminat .

Rangul matricei A a sistemului se mai numeste rangul sistemului ; ecuatiile care corespund liniilor principale(respectiv secundare) ale matricei A se numesc ecuatii principale(respectiv secundare); necunoscutele care corespund coloanelor principale(respectiv secundare) se numesc necunoscute principale(respectiv secundare).

 

Teorema 1 (Kronecker – Capelli)

extinse. Un sistem liniar este compatibil daca si numai daca rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei

Demonstratie:

S. l. (1) se scrie sub forma echivalenta:

a

11

a

12

a

1

n b

1

x

1  

a

...

21   

x

2  

a

...

22    ...



xn

 

a

...

2

n

    

b

...

2   (3)

am

1

am

2

amn bm

Presup. s. l. (1) compatibil si demonstram ca matricele A si Ā au acelasi rang. S. l. (1) compatibil rezulta ca exista x1, x2, …, xn ∈ℂ a.i . are loc egalitatea (3). r si r’ sunt rangurile matricelor A si Ā. A este submatrice a matricei Ā rezulta ca r≤r’.

 Fie △ un minor de ordin r+1 al matricei extinse Ā. Daca △ este minor al matricei A, de rang r, rezulta ca △=0. Daca △ are ultima coloana formata din termeni liberi din (3) rezulta ca aceasta coloana este o combinatie liniara de coloane ale matricei A si atunci △ este combinatie liniara de minori de ordin r+1 ai matricei A, minori nuli, prin urmare △=0. Din r≤r’ si r’≤r rezulta r’=r.

 Definitie: Fie △ un minor principal al matricei A a sistemului liniar (1). Bordatii minorului △ in matricea extinsa Ā, care au ultima coloana formata din termeni liberi (daca exista asemenea bordati) se numesc minori caracteristici.  Daca matricea A are rangul r, minorii caracteristici au ordinul r+1, iar conditia necesara si suficienta sa existe minori caracteristici este r

a a

11

x

1 21

x

1  

a a

31

x

1 41

x

1    

a

12

x

2

a a a

22 32 42

x x x

2 2 2    

a

13

x

3

a a a

23 33 43

x x x

3 3 3    

b

1

b b

2

b

3 4

a

11

a

12 principal △= atunci minorii caracteristici sunt:

a

21

a

22

a

11

a

21

a

31

a

12

a

22

a

32

b

1

b

2

b

3 si

a

11

a

21

a

41

a

12

a

22

a

42

b

1

b

2

b

4

 

Teorema (2) (Rouche)

In cazul r

Demonstratie:

Presupunem s. l. (1) compatibil. Rangul matricei extinse Ā este egal cu rangul r al matricei A (Teorema (1)). Deoarece minorii caracteristici sunt minori de ordinul r+1 ai matricei Ā, rezulta ca ei sunt nuli.



Exemplu:

x

 2

x

 

y

3 

y z

  5 1

z

 3

Solutie:

1 2 1 3 =1 ≠0, deci r=2/. r=m rezulta sistemul este compatibil. Deoarece minorul principal este △p= rezulta ca necunoscutele principale sunt x si y, iar necunoscuta secundara z. 2 3 Sistemul se scrie echivalent  

x

2

x

 

y

3 

y

1   3

z

 5

z

si, aplicand 1 1 

z

1  

z z

1 2 1 1 1 1 3  5

z

2 3 2 3 Notam z=λ ∈ℂ rezulta multimea solutiilor sistemului este S={(2λ, 1-3λ, λ) | λ∈ℂ}

 Exercitii propuse:  (5)  

x x x

   2 2

y y

  2

y



z z

 

t t z

 5

t

 1   1   5  (6)     

x

2

x x x

   

y y

2

y y

    3

z z

2 3 

z z

 3    1 1 1

 Raspunsuri: (1) (3, 1, 1) (2) (1, 1, 1) (3) a≠-3 (4) a ∈ R \ {-2, 1} (5) (λ, m, -λ+2m, -1) (6) incompatibil