Transcript Uždavinių su parametru sprendimas

Uždavinių su parametru
sprendimas
Paruošė “Vėtrungės” gimnazijos
vyr. mokytoja Rita Žukaitienė.
Lygtys su parametru




Lygties su parametru prasmė yra tokia: kiekvieną
parametro reikšmę atitinka tam tikra lygtis, t. y. lygtis
su skaitiniais koeficientais.
Lygties su keliais kintamaisiais vienus kintamuosius
laikysime nežinomaisiais, o kitus parametrais.
Kiekvieną tokią lygtį atitinka jos sprendinių aibė.
Vadinasi, kiekvieną parametro reikšmę atitinka tam
tikros lygties sprendinių aibė.
Išspręsti lygtį su parametru a - vadinasi, kiekvienai a
reikšmei rasti x reikšmes, tenkinančias šią lygtį.
Tiesinės lygtys
Tiesinė lygtis su vienu kintamuoju ir vienu
parametru yra f(a)x = g(a). Galimi tiesinės
lygties f(a)x = g(a) atvejai:
 1) kai f(a) ≠ 0, tai tiesinės lygties sprendinys
g (a)
x 
f (a)


2) kai f(a)=0, g(a)=0, tada lygtis virsta 0 ·x = 0,
o tada lygties sprendiniai visi skaičiai;
3) kai f(a)=0, g(a)≠0, tada lygtis virsta 0·x=g(a)
ir lygtis sprendinių neturi.
Sprendžiant tiesinę lygtį su
parametru reikia nustatyti:



1) su kuriomis parametrų reikšmėmis lygtis
egzistuoja;
2) nustatyti, kaip nuo parametro priklauso
sprendinys;
3) su kuriomis kintamojo reikšmėmis lygtis
egzistuoja.
68.a) (p + 1)x = p;
Jei p ≠ -1, tai x = p/(p + 1);
Jei p = -1, tai 0·x = -1, lygtis sprendinių
neturi.
Atsakymas: x = p/(p + 1), kai p ≠ -1;
neturi sprendinių, kai p = -1.
b) px = p² + p + 1;
Jei p ≠0, tai x = (p² + p +1)/p;
Jei p = 0, tai 0·x = 1, lygtis sprendinių
neturi.
Atsakymas: x = (p² + p +1)/p, kai p ≠ 0;
neturi sprendinių, kai p = 0.
c) (p² - 1)x = p + 1;
Pertvarkome duotąją lygtį:
(p -1)(p +1)x = p +1
Jei p ≠ -1, p ≠1, tai x = (p +1)/((p -1)(p +1))
x =1/(p -1);
Jei p = -1, tai 0·x = 0 ir lygties sprendinys xbet koks realusis skaičius.
Jei p = 1, tai 0·x = 2 ir lygtis sprendinių
neturi.
Atsakymas: x =1/(p -1), kai p ≠ -1 ir p ≠1;
lygtis turi be galo daug sprendinių, kai p=-1;
sprendinių nėra, kai p = 1.
d) (p²- 5p + 6)x = p + 3;
Sprendimas.
(p - 2)(p - 3)x = p + 3;
Jei p ≠ 2, p ≠ 3, tai x = (p +3)/ (p² - 5p + 6);
Jei p = 2, tai 0·x = 5, lygtis sprendinių neturi;
Jei p = 3, tai 0·x = 6, lygtis sprendinių neturi.
Atsakymas: x = (p +3)/ (p² - 5p + 6), kai
p ≠ 2, p ≠ 3;
sprendinių nėra, kai p = 3 arba p = 2.
Sudėtingesnių lygčių su
parametru pavyzdžiai.
1.Išspręskite lygtį:
Pertvarkome lygtį:
xa
x a

.
1 a
2a
xa
x a

 0.
1 a
2a
Lygtis turi prasmę, kai (1 + a)(2 + a) ≠ 0.
2x  ax  2a  a 2  x  ax  a  a 2
x  3a  2a 2
 0,
 0.
(1  a )(2  a )
(1  a )(2  a )
Lygtis ekvivalenti sistemai
x  3a  2a 2  0,

(1  a )(2  a )  0.
Duotoji lygtis turi sprendinius, kai a ≠ -1, a ≠ -2.
Kai a ≠ -1, a ≠ -2, tai x + 3a + 2a² = 0, t.y.
x = - 3a - 2a².
Kai a =-1 arba a =-2, tai lygtis neturi sprendinių.
Atsakymas: x= - 3a - 2a², jei a ≠ -1 ir a ≠ -2.
sprendinių nėra, jei a = -1 arba a = -2.
Kvadratinės lygtys su
parametru



Kvadratinė lygtis, kurios kintamojo koeficientas ir
laisvasis narys arba nors vienas jų yra raidiniai
dydžiai, vadinama kvadratine lygtimi su parametru.
Kvadratinėje lygtyje su parametru svarbiausią
vaidmenį atlieka koeficientas prie x².Jei jis nelygus nuliui, tai lygtis išlieka kvadratine ir ieškomi
jos, kaip kvadratinės sprendiniai.
Jei koeficientas prie x² lygus nuliui, ieškomas
gaunamos pirmojo laipsnio lygties sprendinys.
Sprendžiant kvadratinę lygtį su
vienu parametru reikia nustatyti:


1) su kuriomis parametro reikšmėmis lygties
kairioji pusė egzistuoja;
2) kaip kvadratinės lygties sprendinys
priklauso nuo parametro.
Pavyzdžiai:
1. Išspręskite lygtį
a(a - 1)x² - (2a - 1)x + 1 = 0.
Sprendimas
1) Jei a = 0, tai duotoji lygtis yra tiesinė:
x +1 = 0 ir x = -1;
2) Jei a = 1,tai duotoji yra -x +1 = 0 ;
x = 1.
3) a ≠ 0 arba a ≠ 1 tada sprendžiame kvadratinę lygtį: D = (2a -1)² - 4a(a -1) =
= 4a² - 4a +1 - 4a² + 4a =1.
(2a  1)  1
x
, t. y.
2a ( a  1)
2a  1  1
2a
1
x1 


2a (a  1)
2a ( a  1)
a 1
2a  1  1
2( a  1)
1
x2 

 .
2a ( a  1)
2a (a  1)
a
1
1
Atsakymas: ir
, kai a ≠ 0, a ≠ 1;
a a 1
-1, kai a = 0;
1, kai a = 1.
2. Su kuriomis m reikšmėmis funkcija
y = mx² - 2mx + 4 įgyja tik teigiamas reikšmes?
Sprendimas.
Kai m = 0, tai funkcija pastovi: y = 4.Taigi jos reikšmė
teigiama.
Kai m ≠ 0, funkcija su visomis x reikšmėmis įgis
teigiamas reikšmes tik tuo atveju, kai m > 0 ir
diskriminantas D<0;
4m 2  1 6m  0,

m  0;
4m( m  4)  0,

m  0.
m  0;4 
Atsakymas. m 0;4.
Kai uždavinio sąlygoje prašo rasti parametro reikšmes su kuriomis kvadratinė lygtis su parametru neturi sprendinių, tai nagrinėjame tuos atvejus kai
kvadratinė lygtis sprendinių neturi, t.y.
D<0.
69. Su kuriomis k reikšmėmis lygtis
neturi sprendinių:
a) (2 - x)(x - 2) = k;
(x - 2)² = - k;
Lygtis neturi sprendinių, kai k>0.
Atsakymas: sprendinių nėra, kai k>0.
c)k²x² + 4kx + 4 = 0;
Kadangi neakcentuojama, kad reikia išspręsti
kvadratinę lygtį , tai nagrinėjame šiuos
atvejus:
1) Jei k = 0, tai 0·x = - 4 ir lygtis sprendinių
neturi.
2) Jei k ≠ 0, tai turime kvadratinę
lygtį, kurios koeficientai yra:
a = k², b = 4k, c = 4.
D =16k² - 16k² =0.
Lygtis sprendinių neturi, kai D<0.
Ši nelygybė sprendinių neturi, todėl
tokių k reikšmių nėra.
Atsakymas. Tokių k reikšmių nėra.
b) 3x² - 2kx - k + 6 = 0;
a = 3, b = - 2k, c = - k + 6;
D=(-2k)² - 12 (- k + 6) = 4k² + 12k - 72;
Lygtis sprendinių neturi, kai D < 0. Todėl
sprendžiame kvadratinę nelygybę:
k² + 3k – 18 < 0;
(k + 6)(k - 3) < 0;
Išsprendę nelygybę intervalų metodu gauname, kad k priklauso intervalui (-6; 3).
Atsakymas. (-6; 3).
d) x(x -1) + |k -1| = 0;
Pertvarkome lygtį:
x² - x + |k - 1| = 0;
D = 1 - 4|k - 1|;
Lygtis sprendinių neturi, kai D < 0,tai
1 - 4|k - 1| < 0;
- 4|k - 1| < -1;
|k - 1| >1/4;
k – 1 > ¼ arba k -1 < - ¼ ;
k > 1¼
k < ¾.
Atsakymas. (-∞; ¾ )U(1¼ ; +∞).
70. Su kuriomis p reikšmėmis lygtis
turi vieną sprendinį:
a) (x + 1)(2 - x) = p;
Pertvarkome lygtį: 2x + 2 - x² - x - p = 0;
-x² + x + 2 – p = 0;
x² - x + p – 2 = 0;
a =1, b = - 1, c = p – 2;
D = 1 – 4(p – 2) =1 - 4p + 8 = 9 - 4p.
Lygtis turi vieną sprendinį, kai D = 0. Tai
9 - 4p = 0;
4p = 9;
p = 2¼.
Atsakymas. 2¼.
b) x² - (p +1)x + p = - 4;
Pertvarkome lygtį: x² - (p +1)x + p + 4 = 0;
D=(p +1)²- 4(p + 4) =p² + 2p +1- 4p -16 = p² - 2p -15;
Lygtis turi vieną sprendinį, kai D = 0.
p² - 2p -15 =0;
D = 4 + 60 = 64
p = 5 ir p = - 3.
Atsakymas. – 3; 5.
c) x² + (2 - p)x – p - 3 = 0;
D = (2 - p)² + 4(p + 3) = 4 - 4p + p² + 4p +12 = p² +16;
Lygtis turi vieną sprendinį, kai D = 0.
p² +16 = 0;
p² = -16, sprendinių nėra.
Atsakymas. Tokių p reikšmių nėra.
d) (p -1)x² + 2px +(p +1) = 0;
Kai p = 1, tai lygtis tampa tiesine ir
0·x + 2x + 1 + 1= 0;
2x + 2 = 0; x = -1.
Kai p ≠ 1, tai turime kvadratinę lygtį:
(p -1)x² + 2px + (p +1) = 0;
D = 4p² - 4(p -1)(p +1) = 4p² - 4p² + 4 = 4.
Kadangi D = 4, t.y. D > 0, tai lygtis turės du
sprendinius.
Atsakymas. 1.
71. Su kuriomis a reikšmėmis
lygtis turi du sprendinius:
a) (a + 3)x² - 2(a + 6)x + a +10 = 0;
1)Kai a = - 3, tai lygtis tampa tiesine ir ji turi
vieną sprendinį. Tai ši reikšmė netinka.
2)Lygtis turi du sprendinius, kai D > 0.
D = (- 2a -12)² - 4(a + 3)(a +10) = 4a² + 48a +
+144 - 4a² - 12a - 40a - 120 = - 4a + 24.
- 4a + 24 > 0;
a  3,
4a < 24;

D

0
.

a < 6.
Atsakymas. (- ∞; - 3)U( - 3; 6).
b) (a - 3)x² + 2x + 3a = 11;
(a - 3)x² + 2x + 3a -11 = 0;
1) Ši lygtis tampa tiesine ir turės tik vieną sprendinį, kai
a = 3. Tai ši reikšmė mums netinka.
2) Kai a ≠ 3, tai
D = 4 - 4(a - 3)( 3a - 11) = - 12a² + 80a – 128.
Lygtis turės du sprendinius, kai D > 0.
- 12a² + 80a – 128 > 0|·(- 4);
3a² - 20a + 32 < 0;
3(a - 4)(a - 2⅔) < 0|:3.
Išsprendę intervalų metodu gauname intervalus
(2⅔; 3)U(3; 4).
Atsakymas. (2⅔; 3)U(3; 4).
c) (a -1)x² - 2(a + 1)x + a – 2 = 0
Lygtis tampa tiesine ir turi vieną sprendinį, kai a =1.Ši
reikšmė mums netinka.
Lygtis turi du sprendinius, kai D > 0.
D =(- 2a - 2)² - 4(a - 1)(a - 2) =4a² + 8a + 4 -4a² + 12a - 8
= 20a – 4.
Susidarome sistemą:
a  1,
a  1, a  1,



 1
D  0; 20a  4  0; a  .
 5
Atsakymas. (1/5; 1)U(1; +∞).
d) x² + (|a - 1| - 1 )x = 0;
Šios kvadratinės lygties a ≠ 0, tai lygtis turės du
sprendinius, kai koeficientas b ≠ 0.
x( x + (|a - 1| -1) = 0;
x = 0 arba x + (|a - 1| -1 =0,
Ši lygtis turi du sprendinius, kai
|a - 1| - 1 ≠ 0;
|a - 1| ≠ 1;
a - 1 ≠ -1
arba
a -1 ≠ 1,
a ≠ 0,
a ≠ 2.
Atsakymas. (- ∞; 0)U(0; 2)U(2; +∞).
Modulinių lygčių su parametru
sprendimas.
97. Su kuriomis p reikšmėmis lygtis turi bent vieną
sprendinį:
a) |x -1| + |2x - 3| = p;
Po moduliu esantys reiškiniai lygūs nuliui,kai x =1, x =1,5.
Šie taškai skaičių tiesę padalina į tris intervalus. Nagrinėdami
lygtį kiekviename iš šių intervalų gauname tris sistemas:
1)
x  1,
x  1,

4  p.


 x  1  2x  3  p; x 
3

4-p
Sistema turisprendinių, kai
 1 3,
3
p  1.
2)
1  x  1,5,
1  x  1,5,


x

1

2
x

3

p
;

x  2  p.
Sist ema t urisprendinių, kai 1  2 - p  1,5;
0,5  p  1.
x  1,5,
x  1,5;

3)
p  4.

x - 1  2x - 3  p, x 
3

p4
Sist ema t urisprendinių, kai
 1,5;
3
p  0,5.
Randame visų sist emų sprendinių visumą : p  0,5; .
At sakymas.0,5; .
b) |x +1| - |x -1| = p;
P o moduliu esant ys reiškiniai lygūs nuliui, kai x  1, x  1.
x  1,
x  -1,
1) 


x

1

x

1

p
;

0  x  p  2.
Ši sist ema t urisprendinių, kai p  2.
 1  x  1,
2) 
x  1  x  1  p;
 1  x  1,


p
x

.

2
Ši sist ema t uri sprendinių, kai
-1 
p
 1  2;
2
 2  p  2.
x  1,
x  1,
3) 

x

1

x

1

p
;

0  x  p  2.
Sist ema t uri sprendinių, kai p  2.
Randame sprendinių visumą : p  - 2;2.
At sakymas. - 2;2.
Lygčių su dviem kintamaisiais
sistemos
a1x  b1 y  c1 ,

a 2 x  b 2 y  c 2 .
a1 b1
 ;
T okiasistema turi tik vienąsprendinį,kai
a 2 b2
a1 b1 c1
 ;

turi be galo daug sprendinių, kai
a 2 b2 c2
a1 b1 c1
 .

neturisprendinių, kai
a 2 b2 c2
1) Lygčių sistema, kurios lygtyse
yra parametras, vadinama lygčių
sistema su parametru.
2) Sprendžiant tokią sistemą, reikia
priklausomai nuo parametro rasti
visus jos sprendinius arba įrodyti,
kad jų nėra.
100.Nustatykite, su kuriomis parametrų a ir
b reikšmėmis lygčių sistema turi be galo
daug sprendinių:
a) ax  2by  5,
T uri be galo daug sprendinių, kai

5x  4 y  a.
a 2b 5 a 5

 ,
 , a 2  25, a  5.
5 4 a 5 a
2b
Kai a  5, tai
 1, 2b  4, b  2.
4
2b
Kai a  5, tai
 1, 2b  4, b  2.
4
Atsakymas.a  5, b  2 arba a  5, b  2.
6x  y  a ,
b) 
Sistema turi be galo daug sprendinių, kai
2ax  by  12.
6
1
a

 ,
2a  b 12
3 a

a 2  36, a  6.
a 12
1
1
Kai a  6, tai    , b  2.
2
b
1
1
Kai a  6, tai
  , b  2.
2
b
At sakymas.a  6, b  2 arba a  6, b  2.
101. Nustatykite, su kuriomis
parametro a reikšmėmis lygčių
sistema neturi sprendinių:
x  4y  1,
a )
ax  y  1;
x  1  4y,

a (1  4y)  y  1;
x  1  4y,

(4a  1) y  1  a.
Nagrinėsime atvejį, kai a = - ¼ ir gauname lygčių
sistemą
 x  1  4 y,


1
0 y 1
.

4

kuri sprendinių neturi.
Atsakymas. a = - ¼.
x  ay  3,
b) 
ax  4 y  a  4;
x  3  ay,

a (3  ay)  4 y  a  4;
x  3  ay,
 2
(a  4) y  4  2a;
x  3  ay,

2(2  a ) .

 y  (a  2)(a  2)

Kai a = - 2, gauname lygčių sistemą
kuri sprendinių neturi.
Atsakymas. -2.
x  3  2 y,

24

y
.

 40

102. Nustatykite, su kuriomis
parametro p reikšmėmis lygčių
sistema turi sprendinių:
px2  y  2, py  12  y  2, 1
a) 

x  y  1; x  y  1.
Sprendžiame 1 : kai p  0, tai gauname y  2;
kai p  0, tai turimekvadratinęlygt į :
py2  2py  p  y  2;
py2  2p  1y  p  2  0.
D  2p  1  4pp  2  4p 2  4p  1  4p 2  8p  12p  1
Lygtisturisprendinių, kai D  0.
2
1

12p  1  0,12p  1,p   ,
12



p

0
;
p

0
;



p  0.
 1

At sakymas.  ;   .
 12

p  3x 2  4  p x  y  12, p  3x 2  4  p x  8  px  12,
c) 

px  y  8;
 y  8  px.
Sprendžiame 1 :
Kai p  3, tai gaunamelygtį x  8  3x  12, 4x  4, x  1;
Kai p  3, tai gauname
p  3x 2  4  p x  px  4  0;
p  3x 2  4x  4  0
D  16  16p  3  16  16p  48  64  16p.
D  0, 64  16p  0,  16p  64, p  4,




p

3
;
p

3
;
p

3
;



p  3.
Atsakymas. ; 4.
1
Uždavinių sprendimas iš 11
klasės uždavinyno.

75. Išspręskite lygtį su parametru:
a) (a + 2)x = a – 1;
1)Kai a + 2 ≠ 0, t.y. a ≠ -2, tai
a 1
x
;
a2
2) Kai a = -2, tai 0·x = -3, tai lygtis sprendinių neturi.
a 1
,
Atsakymas. x 
kai a ≠ -2;
a2
sprendinių nėra, kai a = -2.
b) ax = a(a - 2);
1) Kai a ≠ 0, tai x = a - 2;
2) Kai a = 0, tai 0·x = 0 ir sprendiniai visi skaičiai.
Atsakymas. x = a – 2, kai a ≠ 0;
x - bet kuris realusis skaičius, kai a = 0.
c)(a² - 4)x = a;
(a - 2)(a + 2)x = 0;
a
x
;
1) Kai a ≠ ± 2, tai
(a  2)(a  2)
2) Kai a = 2, tai 0·x = 2, lygtis sprendinių neturi;
3) Kai a = - 2, tai 0·x = - 2, lygtis sprendinių neturi.
a
Atsakymas. x 
kai a ≠ ± 2
,
(a  2)(a  2)
Sprendinių nėra, kai a = 2, a = - 2.
d) (a² - 2a + 1)x= a² + 2a – 3;
(a -1)²x = (a + 3)(a - 1);
(a  3)(a  1) a  3

;
1) Kai a ≠ 1, tai x 
2
(a  1)
a 1
2) Kai a = 1, tai 0·x = 0 ir sprendiniai visi skaičiai.
a 3
, kai a ≠1
Atsakymas. x 
a 1
x - bet kuris realusis skaičius, kai a = 1.
e) (a³- a²- 4a + 4)x = a – 1;
Pertvarkome lygtį:
(a -1)(a - 2)(a + 2)x = a -1;
1) Kai a ≠ 1, a ≠ ± 2, tai
x
a 1
1
 2 ;
2
(a  1)(a  4) a  4
2) Kai a = 1, tai 0·x = 0 ir sprendiniai visi skaičiai;
3) Kai a = 2, tai 0·x = 1 ir lygtis sprendinių neturi;
4) Kai a = -2, tai 0·x = - 3 ir lygtis sprendinių neturi.
Atsakymas. x  1 , kai a ≠ 1, a ≠ ± 2;
a2  4
x - bet kuris realusis skaičius, kai a = 1.
sprendinių nėra, kai a = ± 2.
f)(2a³ - a² - 2a + 1)x = (2a -1)(a +1);
Pertvarkome lygtį:
(2a -1)(a -1)(a +1)x = (2a -1)(a +1);
1) Kai a ≠ 0,5; a ≠ ±1, tai
(2a  1)(a  1)
1
x

;
(2a  1)(a  1)(a  1) a  1
2) Kai a = 0,5, tai 0·x = 0 ir sprendiniai visi skaičiai;
3) Kai a =1, tai 0·x = 2 ir lygtis sprendinių neturi;
4) Kai a = -1, tai 0·x = 0 ir sprendiniai visi skaičiai.
Atsakymas. x 
1
,
a 1
kai a ≠ 0,5; a ≠ ±1
x - bet kuris realusis skaičius, kai a = 0,5; a = -1;
sprendinių nėra, kai a = 1.
77.Su kuriomis m reikšmėmis lygties
sprendinių moduliai lygūs, o patys
sprendiniai yra priešingų ženklų:
a) x² + (3m - 5)x – 4 = 0;
P agal sąlygą x1  x 2 ir x1   x 2 , t ai x1  x 2  0.
P agal Vijet o t eoremą
x1  x 2  3m  5,
 3m  5  0,
3m  5,
2
m 1 .
3
2
At sakymas
. m 1 .
3


h )  3x 2  6m 2  5m  1 x  3  0  (3);


1
x  6m 2  5m  1 x  1  0;
3
x1  x 2 ir x1   x 2 .
2
6m 2  5m  1
T ai x1  x 2 
;
3
6 m 2  5m  1
 0  3;
3
5 1
6m  5m  1  0; D  1 m 
;
12
1
m1  0,5; m 2  .
3
1
Atsakymas. ;0,5.
3
2
79.Su kuriomis parametro a
reikšmėmis lygties sprendinių
suma lygi jų sandaugai:
a ) x 2  2ax  a 2  2a  5  0;
P agalsąlygą x1  x 2  x1  x 2 .
Vijeto teoremataikoma,kai D  0.
x1  x 2  2a; x1  x 2  a 2  2a  5.


D  4a 2  4 a 2  2a  5  4a 2  4a 2  8a  20  8a  20.
x1  x 2  x1  x 2 , 2a  a 2  2a  5, a 2  4a  5  0,
T ai 


D

0
;

8a  20  0;
8a  20;
a1  1, a 2  5,

a  2,5.
Atsakymas.  1; 5.


g ) 3x 2  2a 2  4a  1 x  a 2  0  3;


1
1 2
2
x  2a  4a  1 x  a  0;
3
3
 2a 2  4a  1 2  12a 2  0,
D  0,

2

 2a 2  4a  1
a
x1  x 2  x1  x 2 ; 
 ;
3
3

P irmojinelygybėteisingasu visomisa reikšmėmis, tai sprendžiame
lygtį :
2


2a 2  4a  1
a2
   3;
3
3
2a 2  4a  1  a 2 ;
1
3a 2  4a  1  0; D  4; a1  1, a 2  .
3
1
Atsakymas. ; 1.
3
97.Išspręskite nelygybę:
a) 5x – a > ax + 3;
5  a  x  a  3;
1) 5  a  0;
a  5,
2) a  5,
a 3
;
5a
t ai 0  x  8 ir sprendiniųnėra;
t ai
x
3) 5  a  0;
a 3
a  5, t ai x 
.
5a
a 3
At sakymas
.x 
, kai a  5;
5a
, kai a  5;
a 3
x
, kai a  5.
5a