Transcript Skaičių eilutė, jos konvergavimas ir suma

Skaičių eilutė, jos
konvergavimas ir
suma
Asist. Kristina Lukoševičiūtė
Literatūra:




Vidmantas Pekarskas “Trumpas matematikos kursas”, 2005.
D. Plukienė, N. Janušauskaitė, D. Šileikienė. “Taikomoji
matematika”, 2006.
V. Dabrišienė, R. Palivonaitė, V. Petrauskienė “Taikomosios
matematikos pratybos ir laboratoriniai darbai: Mechanikos ir
Mechatronikos fakulteto studentams”, 2011.
Interaktyvi sistema moodle: mano.ktu.lt>PRISIJUNGTI>[Jūsų ktu
slaptažodis]>
>moodle>Taikomoji Matematika>[slaptažodis: tm2011me0]
Nagrinėkime skaičių seką: a1, a2 , a3 , ..., an , ...

1 Apibrėžimas. Reiškinys a1 a2  a3  ...  an  ...
vadinamas skaičių eilute. Skaičiai
tos eilutės nariais,
an
arba
a1, a2 , a3 ,..., an , ...
 an
n 1
vadinami
- bendruoju eilutės nariu.
Jei eilutės visi nariai yra neneigiami, t. y. a n  0 , kai n  1,  ,
tai eilutė vadinama teigiamų narių eilute.
Kai an yra bet kokio ženklo, tai eilutė vadinama kintamų ženklų
eilute.
Eilutė, kurios kas antras narys yra neigiamas, o kas antras –
teigiamas, tai eilutė vadinama alternuojančia, t.y.
a1 a2  a3  a4  ...  (1)
n 1

an  ...   (1) n 1 an
n 1

1
Pavyzdžiui: Skaičių eilutė 
yra teigiamų narių skaičių eilutė,
n 1 3n  1
1
1
1
1
kurios pirmasis narys yra a1 
, antrasis – a 2 


3 1  1 2
3 2 1 5
1
1
1
trečiasis - a3 
,
.
.
.,
bendrasis
narys
,...

an 
3 3 1 8
3n  1
Taigi išskleidę eilutę gauname ją tokio pavidalo

1
1 1 1
1
    ... 
 ...

2 5 8
3n  1
n 1 3n  1
(1) n
1 1 1
(1) n
Skaičių eilutė 
     .. .  2  .. .
2
1 4 9
n
n 1 n

yra kintamo ženklo eilutė ir dar alternuojanti, nes kas antras jos narys
yra neigiamas.
2 Apibrėžimas. Suma
Sn 

n
 ak
vadinama n-tąja eilutės
k 1
 an
n 1
daline suma.

3 Apibrėžimas. Jeigu egzistuoja eilutės
Sn baigtinė riba lim Sn  S
n
 an dalinių
sumų sekos
n 1
, tai sakome, kad duotoji eilutė
konverguoja. Skaičius S vadinamas tos eilutės suma ir rašoma

 an
Kai
lim
n
S
n 1
S n yra begalinė arba neegzistuoja, tai sakoma, kad eilutė
diverguoja. Tokia eilutė sumos neturi.
.
1. Pavyzdys:
Duota skaičių eilutė:

1

n 1 n( n  3)
Parašykime šios eilutės pirmųjų trijų narių dalinę sumą: S 3 
1
1
1


1 4 2  5 3  6
1
O eilutės trečiasis narys yra: a3 
. Šios eilutės pirmųjų n narių dalinė
3 6
suma yra:
n
1
1
1
1
1
Sn 


 ... 

1 4 2  5 3  6
n(n  3) k 1 k (k  3)
Pasinaudodami eilutės sumos apibrėžimu, ištirkime, ar eilutė
0.7
konverguoja ir apskaičiuokite jos sumą.
1
1
lim S n  lim 

n 
n  k 1 k (k  3)
3
n
Eilutė konverguoja ir jos suma lygi 1/3.
0.6
0.5
S( n)
0.4
0.3
0.2
0
100
200
300
n
400
500
2. Pavyzdys:
Nagrinėkime eilutę sudarytą iš geometrinės progresijos narių:
a  aq  aq  ...  aq
2
n 1

 ...   aq n 1
n 1
Kai q  1 ši eilutė konverguoja ir jos suma lygi S  a .
1 q
Kai q  1 eilutė diverguoja.
Kairėje pusėje grafikas rodo pavyzdį, kai geometrinės progresijos eilutė
n
3
3
Yra  (1) n  2    Ši eilutė konverguoja ir jos suma yra:  .
4
n 1
5

Dešineje demonstruojama eilutė
 0.4
6
 
n 1  5 

n 1
. Ši eilutė diverguoja.
4
510
0
10
20
30
 0.56
40
50
4
4.5510
4
410
4
310
 0.72
S( n)
S( n)
4
 0.88
210
 1.04
110
4
1
 1.2
0
n
1
10
20
30
n
40
50
50
Konverguojančių eilučių savybės:

Iš konverguojančios eilutės atėmę arba prie jos pridėję baigtinį
skaičių narių, gauname konverguojančią eilutę.

Jei eilutė a1 a2  a3  ...  an  ... konverguoja ir jos suma lygi S, tai
eilutė ca1 ca2  ca3  ...  can  ... taip pat konverguoja, o jos suma
cS, čia c – const.

Jei eilutės a1 a2  a3  ...  an  ... ir b1 b2  b3  ...  bn  ...
konverguoja, o jų sumos atitinkamai lygios S ir Z, tai eilutė
(a1  b1 ) (a2  b2 )  (a3  b3 )  ...  (an  bn )  ...
taip pat konverguoja, o jos suma lygi S+Z.