Transcript Palyginimo požymis

Teigiamų narių
eilučių konvergavimo
požymiai
Asist. Kristina Lukoševičiūtė
Palyginimo požymisn
n
 Jeigu eilučių (A)
an ir (B)  bn nariai teigiami ir an  bn (n  1, 2, ...)
n 1
tai:
n 1
(1) konverguojant (B) eilutei, konverguos ir (A) eilutė;
(2) diverguojant (A) eilutei, diverguos ir (B) eilutė

Ribinis palyginimo požymis
 Jeigu eilučių (A) ir (B) nariai yra teigiami ir egzistuoja baigtinė nelygi
nuliui riba
an
lim
 L  0 ( arba   ) , tai nagrinėjamos eilutės arba abi
n
bn
konverguoja, arba abi diverguoja.
Palyginimui visada naudosime Dirichlė eilutę arba geometrinės
progresijos eilutę.
Pavyzdys


Eilutës
n

2

n
k onv ergav imui nust at y ti, paly ginimui ims ime eilut æ
3
n 1 n  n

arba sutv arkæ

n 1 n
1
.
2
3
Pas taroji eilut ë div erguoja, nes t ai D iric hlë eilutë, kai p=1.
n
n 1
Sk aièiuojam e ribà
n
a( n )  
2
b( n)  
3
n n
1
l im
n
a( n )
n   b( n)
1
Taigi riba egzist uoja ir nely gi nuliui, t ai abii eilutës elgiasi v ienodai, t. y . div erguoja.

Eilutæ

n 1
n2
3

2


n  3n n  n  1

paly gint um e su eilut e
n 1
n
3 2
n n


1
5
n 1
n
2
D’Alambero požymis

Jeigu skaičių eilutės

 an
nariai teigiami ir egzistuoja riba
n 1
a n 1
lim
 L , tai:
n a
n
(1) eilutė konverguoja, kai L<1;
(2) eilutė diverguoja, kai L>1;
Jeigu L=1, negerai parinktas požymis.
Šiam požymiui priskiriamos eilutės kurių išraiškoje yra faktorialas arba
Rodiklinė funkcija an.
Pavyzdys

Eilutës

n 1
n
2
n  n
konv ergav imui nustaty ti, taikome D'Alambero poþy má
Skaièiuojam e ribà
a( n) 
n
2
lim
n  n
n 
a( n  1)
a( n )
0
L=0<1, tai eilutë konv erguoja.
Taip pat D'Alambero poþimá taikome ir eilutei, kuri atrodo taip:


n 1
n
4
n ( n  1)
n
a( n) 
4
n ( n  1)
L=4>1, tai eilutë div erguoja.
lim
n 
a( n  1)
a( n )
4
Koši radikalusis požymis

Jeigu skaičių eilutės

 an
nariai teigiami ir egzistuoja riba
n 1
lim n a n  L , tai:
n
(1) eilutė konverguoja, kai L<1;
(2) eilutė diverguoja, kai L>1;
Jeigu L=1, negerai parinktas požymis.
Šiam požymiui priskiriamos eilutės kurių išraiškoje yra reiškinys iš kurio
galima ištraukti n-tojo laipsnio šaknį.
Pavyzdys

Eilutës

n 1
 2  n



 3n  2  
konv ergav imui nus taty t i, taik ome Koði rarikaløjá poþy má
Sk aièiuojame ribà
2 
a( n )   

 3n  2 
n
l im
n 
n
a( n )
2
3
L=2/3<1, t ai eilutë k onv erguoja.
2

n 
2 3n  1 
Taip pat Koði rarikaløjá poþimá taikome ir eilut ei, k uri at rodo taip: n 
 
5

4n
 
 


n 1
Koši integralinis požymis


Jeigu skaičių eilutės
 an
nariai teigiami ir išreiškiami formule
n k
an  f (n) , kai n  k  1 ;
čia f(x) – teigiama monotoniškai mažėjanti funkcija intervale [k ;  )

tai eilutė  an konverguoja (diverguoja), kai konverguoja
n k
(diverguoja) integralas

 f ( x)dx
.
k
Šį požymį taikome, kai netinka nei vienas kitas anksčiau nagrinėtas
požymis
Pavyzdys


Eilutës
n 3
a( n )  
1
k onv ergav im ui nust at y t i, taikome Koði int egraliná poþy má, nes
l n( n ) n
1
l n( n ) n
0.4
Vis i nariai y ra teigiami (v irð n aðies)
N ëra trûk io t aðkø, maþëjanti f unk cija
0.3
a( n) 0.2
f (n)  
0.1
0
20
40
60
80
100
n
Sk aièiuojame int egralà




f ( x) d x  
3
eilut ë div erguoja, nes integralas div erguoja.
1
l n( n ) n