Transcript Adaptyvieji filtrai - Kauno technologijos universitetas

Europos socialinis fondas
Skaitmeninis telekomunikacijų signalų
apdorojimas
Adaptyvieji filtrai
Mokomoji medžiaga parengta vykdant ES struktūrinių fondų remtą projektą
Telekomunikacijų ir elektronikos magistrantūros ir doktorantūros
studijų bei mokslininkų ir tyrėjų perkvalifikavimo programų tobulinimas
SFMIS Nr. BPD2004-ESF-2.5.0-03-05/0083
Kauno technologijos universitetas, 2007
Europos socialinis fondas
Vadovėlis
A.Čitavičius, Krivickas R., Nakutis Ž. Skaitmeninis
telekomunikacijų signalų apdorojimas, Kaunas:
Nonparelis, 2008, 314 p.
Skyriai:
 Adaptyvieji filtrai
 Vienodintuvai
2
Skaitmeninis telekom. signalų apdorojimas | Adaptyvieji filtrai
(Ž.Nakutis)
Europos socialinis fondas
Adaptyvieji filtrai. Įžanga
Projektuojant optimalius Wiener filtrus yra reikalinga a
priori informacija apie filtruojamų duomenų statistines
charakteristikas, pvz., autokoreliacinė funkcija. Tais
atvejais, kai filtruojamų duomenų statistinės
charakteristikos iš anksto nežinomos, efektyviai gali būti
panaudoti adaptyvieji filtrai (AF). Adaptyviųjų filtrų
veikimas yra paremtas rekursyviuoju algoritmu. Kai
signalai yra stacionarūs, tai po tam tikro iteracijų skaičiaus
filtras konverguoja į optimalų Wiener filtro sprendinį tam
statistine prasme. Kai signalai yra nestacionarūs, AF seka
(track) filtruojamų duomenų statistinių charakteristikų
kitimą.
3
Skaitmeninis telekom. signalų apdorojimas | Adaptyvieji filtrai
(Ž.Nakutis)
Europos socialinis fondas
Apibendrinto adaptyviojo filtro baziniai moduliai
Įėjimo signalas
Išėjimo signalas
Filtruojanti
struktūra
Filtro parametrai
Adaptavimo
algoritmas
4
Efektyvumo
įvertinimas
Skaitmeninis telekom. signalų apdorojimas | Adaptyvieji filtrai
(Ž.Nakutis)
Europos socialinis fondas
Adaptyviųjų filtrų tipai

Su atraminiu signalu (Supervised). Šiuo atveju AF iš
anksto gauna atraminio signalo imtis papildomu kanalu,
skaičiuoja paklaidą, t.y. skirtumą tarp atraminio ir
išėjimo signalų imčių, vertinama efektyvumo kriterijų
bei naudoja gautą reikšmę filtruojančios struktūros
koeficientų paderinimui.

Be atraminio signalo (aklas) (Unsupervised, blind).
Šiuo atveju tiesiogiai paklaidos imčių formuoti
neįmanoma. Telekomunikacijų uždaviniuose AF be
atraminio signalo užduotis yra priskirti priimtą impulsą
kuriam nors baigtinės aibės simboliui. Taigi, uždavinys
tampa labai panašus į klasifikavimą be apmokymo aibės.
5
Skaitmeninis telekom. signalų apdorojimas | Adaptyvieji filtrai
(Ž.Nakutis)
Europos socialinis fondas
Adaptyviojo filtro su atraminiu signalu struktūra
Įėjimo signalas
x ( n)
y ( n)
Filtruojanti
struktūra
Atraminis signalas
d ( n)
-
Filtro parametrai
Adaptavimo
algoritmas
6
Skaitmeninis telekom. signalų apdorojimas | Adaptyvieji filtrai
(Ž.Nakutis)
e( n )
Europos socialinis fondas
Optimalus filtras
Optimalus filtras minimizuoja vidutinį kvadratinį nuokrypį
(VKN) tarp atraminio ir išėjimo signalų
2
P0 (n)  E{ e0 (n) }
e0 (n)  d (n)  y0 (n)
Optimalaus filtro koeficientai gali būti rasti, išsprendus
normalinių lygčių sistemą, kuri matricinėje formoje
užrašomą
R ( n )c 0 ( n )  K ( n )
Pažymėjimai: R(n) – įėjimo signalo koreliacinė matrica, K(n) – įėjimo ir
atraminio signalų tarpusavio koreliacinė matrica, d(n) – atraminis signalas,
c0(n)- optimalaus filtro koeficientų vektorius, y0(n) – filtro išėjimo signalas,
e0(n) – paklaida.
7
Skaitmeninis telekom. signalų apdorojimas | Adaptyvieji filtrai
(Ž.Nakutis)
Europos socialinis fondas
Adaptyvieji filtrai vietoje optimalių
Daugelyje praktinių situacijų antros eilės momentai R(n) ir K(n) nėra
žinomi. Todėl yra tikslinga panaudoti adaptyviuosius filtrus.
Ergodinių signalų atveju laikiniai vidurkiai sutampa su vidurkiais
paskaičiuotais iš ansamblių. Tuomet, jeigu turėsime pakankamą kiekį
signalų x(n) ir y(n) imčių, tai galėsime suskaičiuoti antros eilės
momentų R(n) ir K(n) įverčius, naudodami laikinį vidurkinimą
ˆ
R
N
1 N 1

 x ( n )xT ( n )
N n 0
1 N 1
ˆ
KN 
 x( n )d ( n )
N n 0
Išsprendus tiesinę lygtį, galime gauti filtro koeficientus cN, kurie
būtų naudojami tolimesnėms n>N įėjimo signalo imtims filtruoti.
ˆ c K
ˆ
R
N N
N
8
Skaitmeninis telekom. signalų apdorojimas | Adaptyvieji filtrai
(Ž.Nakutis)
Europos socialinis fondas
AF atliekami skaičiavimai
AF kiekvienu diskrečiuoju laiko momentu atlieka tokius
skaičiavimus:

Filtravimą
y(n)  cT (n  1)x(n)

Paklaidos įvertinimą
e( n )  d ( n )  y ( n )

Koeficientų adaptavimą
c(n )  c( n  1)  Δc( n )
9
Skaitmeninis telekom. signalų apdorojimas | Adaptyvieji filtrai
(Ž.Nakutis)
Europos socialinis fondas
Adaptavimo algoritmo tipinė forma
Daugumai adaptavimo algoritmų yra būdinga tokia forma:
 Naujas   Senas 
 koef .
   koef .
   Adaptavimo 


 
  pataisa

 vektorius   vektorius 
10
 Paklaidos 
 signalas 


Skaitmeninis telekom. signalų apdorojimas | Adaptyvieji filtrai
(Ž.Nakutis)
Europos socialinis fondas
Adaptavimo algoritmą apibūdinantys faktoriai

Konvergavimo greitis
Paklaida
Sekimas (tracking)
Skaičiavimo resursų sąnaudos
Struktūra
Skaitmeninio apdorojimo ypatybės





11
Skaitmeninis telekom. signalų apdorojimas | Adaptyvieji filtrai
(Ž.Nakutis)
Europos socialinis fondas
Greičiausio priartėjimo algoritmas (GPA)
Agoritmai skiriasi tuo, kaip yra parenkamas modifikavimo
dydis (žingsnis) ir kryptis.
GPA kiekvienos iteracijos metu koeficientai modifikuojami
naudojantis išraiška
ck  ck 1   P(ck 1 )
indeksas k žymi iteracijos numerį, μ yra teigiama konstanta,
vadinama žingsniu. Reikia atkreipti dėmesį į tai, kad
indeksas žymi iteracijos numerį, bet nėra susijęs su
diskrečiojo laiko momentų numeriais. Todėl priėmus naują
įėjimo signalo imtį, galima atlikti keletą iteracijų.
12
Skaitmeninis telekom. signalų apdorojimas | Adaptyvieji filtrai
(Ž.Nakutis)
Europos socialinis fondas
LMS algoritmas
Mažiausių kvadratų (LMS Least-Mean-Square) algoritmas 1960 m.
pasiūlytas Widrow ir Hoff yra plačiai naudojamas praktikoje dėl
paprastumo, nedidelio skaičiavimo resursų poreikio ir gerų savybių
(stabilumo ir konvergavimo greičio).
Daugumoje realių taikymų yra žinomi arba gali būti priimami tik įėjimo ir
atraminiai signalai, o gradientas gali būti tik įvertintas panaudojant
turimus duomenis. Todėl LMS algoritme:
1.
Iteracijos indeksas k pakeičiamas diskrečiojo laiko momento indeksu n;
2.
Matricos R ir K pakeičiamos jų momentiniais įverčiais x(n)x(n)T ir
x(n)y(n)* atitinkamai.
Gradiento išraiška tampa P(c k 1 )  2x( n )e *( n )
T
čia e(n)  y(n)  c (n  1)x(n)
13
Skaitmeninis telekom. signalų apdorojimas | Adaptyvieji filtrai
(Ž.Nakutis)
Europos socialinis fondas
LMS algoritmo skaičiavimai (santrauka)
14
y(n)  cT (n  1)x(n)
(filtravimas)
e( n )  d ( n )  y ( n )
(paklaidos formavimas)
c(n)  c(n  1)  2  x(n)e(n)
(koeficientų modifikavimas)
Skaitmeninis telekom. signalų apdorojimas | Adaptyvieji filtrai
(Ž.Nakutis)
Adaptavimosi žingsnio įtaka
konvergavimo greičiui ir liekamajai paklaidai
Europos socialinis fondas
10
4
 =0.004
Vidutinis kvadratinis nuokrypis
1
10
2
 =0.008
2
 =0.055
 =0.040
4
3
 =0.055
4
10
10
0
-2
 =0.004
1
10
 =0.040
3
-4
 =0.008
2
10
15
-6
0
500
1000
Iteracijos nr.
1500
2000
Skaitmeninis telekom. signalų apdorojimas | Adaptyvieji filtrai
(Ž.Nakutis)
Europos socialinis fondas
Normalizuotas LMS algoritmas
Adaptavimo žingsnio parinkimas praktiniuose uždaviniuose
yra komplikuotas.
Normalizuoto LMS algoritmo koeficientų adaptavimo lygtis
yra
c(n)  c(n  1) 

EM (n)
EM (n)  x(n)
x(n)e(n)
2
Taigi, normalizuotas LMS pasižymi tuo, kad:
 Adaptavimosi žingsnis turi būti parenkamas intervale nuo 0 iki 1
 Adaptavimosi žingsnis yra filtro koeficientų vektoriaus
perskaičiavimo išraiškoje dalinamas iš įėjimo signalo energijos ir
filtro eilės (RIR tipo filtro atveju),
 Įėjimo imtys nėra normuojamos.
16
Skaitmeninis telekom. signalų apdorojimas | Adaptyvieji filtrai
(Ž.Nakutis)
Europos socialinis fondas
Modifikuotas LMS algoritmas
Jeigu įėjimo signalo koreliacinė matrica turi tikrinių reikšmių lygių
nuliui, tai LMS algoritmas gali nekonverguoti arba gali įvykti
tarpinių skaičiavimo reikšmių persipildymas (overflow) dėl
netiesinių kvantavimo efektų. Problema sprendžiama panaudojant
modifikuotą LMS (leaky LMS) algoritmą
c(n)  (1   )c(n  1)  e(n)xT (n)
čia nuotėkio koeficientas 0    1
Lyginant su paprastu LMS algoritmu modifikuotas LMS algoritmas
reikalauja truputi didesnių skaičiavimo resursų, nusistovėję filtro
koeficientų įverčiai būna su nedideliu poslinkiu atžvilgiu optimalaus
filtro koeficientų, bet algoritmas pasižymi geresnėmis konvergavimo
savybėmis.
17
Skaitmeninis telekom. signalų apdorojimas | Adaptyvieji filtrai
(Ž.Nakutis)
Europos socialinis fondas
Blokinis LMS algoritmas
Atraminis signalas
x ( n)
Įėjimo
signalas
18
Buferizavimas į
L ilgio bloką
Blokinis RIR
filtras
Bloko nuoseklus
išvedimas
Adaptavimo
algoritmas
Buferizavimas į
L ilgio bloką
Skaitmeninis telekom. signalų apdorojimas | Adaptyvieji filtrai
(Ž.Nakutis)
y ( n)
d ( n)
e( n )
Paklaida
LS algoritmas
Europos socialinis fondas
Koeficientų pataisos vektorius g(n) priklauso tik nuo įėjimo signalo imčių.
Atraminis signalas įtakoja tik pataisos vektoriaus ženklą netiesiogiai per
nuokrypį e(n).
Daugiausiai skaičiavimo resursams imlus yra pataisos vektoriaus radimas iš
tiesinių lygčių sistemos Rˆ (n)g(n)  x(n)


Įėjimo signalas
Atraminis signalas d(n)
x(n)
Filtravimas
y (n)  cT (n  1)x(n)
+
y(n)
-
c( n )
c(n)  c(n  1)  g(n)e(n)
Koeficientų modifikavimas
e(n)
Nuokrypis
g ( n)
ˆ ( n )g ( n)  x( n)
R
Pataisos vektoriaus skaičiavimas
Adaptyvusis algoritmas
19
Skaitmeninis telekom. signalų apdorojimas | Adaptyvieji filtrai
(Ž.Nakutis)
Rekursyvieji adaptyvieji algoritmai:
RLS algoritmas
Europos socialinis fondas
Yra įrodoma, kad n-uoju diskrečiuoju laiko momentu galima atnaujinti
atvirkštinę koreliacinę matricą iš apskaičiuotosios (n-1)-uoju
diskrečiuoju laiko momentu (rekursyviai).
Koeficientų adaptavimo lygtys yra:
c( n )  c( n  1)  g( n )e( n )
g( n ) 
g (n)
 (n)
 (n)  1  gT (n)x(n)
g(n)   1P(n  1)x(n)
P(n)   1P(n  1)  g(n)gT (n)
20
Skaitmeninis telekom. signalų apdorojimas | Adaptyvieji filtrai
(Ž.Nakutis)
Europos socialinis fondas
RLS algoritmo ypatybės

Atlieka vieną koeficientų modifikavimo operaciją,
priėmus naują įėjimo imtį,

Kiekvienos iteracijos metu skaičiuoja atvirkštinę įėjimo
signalo matricą. Ji skaičiuojama rekursyviai, t.y.
atnaujinama,

Rekursyviai skaičiuojamas pataisos vektorius, naudojamas
filtro koeficientų atnaujinimui.
21
Skaitmeninis telekom. signalų apdorojimas | Adaptyvieji filtrai
(Ž.Nakutis)
AF taikymai:
nežinomos sistemos identitfikavimui
Europos socialinis fondas
AF jungiamas lygiagrečiai nežinomai sistemai jos identifikavimui
Adaptyvusis
filtras
Paklaida
Įėjimas
22
Nežinoma
sistema
Filtro išėjimas
+
Sistemos išėjimas
Skaitmeninis telekom. signalų apdorojimas | Adaptyvieji filtrai
(Ž.Nakutis)
Europos socialinis fondas
Baltas
triukšmas
Ryšio kanalas
Aido slopintuvo struktūrinė schema
T=t0
J1
a(n)
Telefono A
mikrofonas
x(n)
J2
T=t0
Adaptyvusis
filtras
Pseudo y(n)
aidas e(n)
+
Aido sklidimo kelias
(nežinoma sistema)
J3
Aidas
d(n)
T=t0
+
+
Telefono ausinė su aido
slopinimu
23
Skaitmeninis telekom. signalų apdorojimas | Adaptyvieji filtrai
(Ž.Nakutis)
b(n)
Telefono B
mikrofonas
AF taikymai:
inversinės sistemos identifikavimui
Europos socialinis fondas
AF jungiamas nuosekliai nežinomai sistemai jos inversinės
sistemos identifikavimui
Įėjimas
Nežinoma
sistema
Adaptyvusis
filtras
Paklaida
Vėlinimas
24
Sistemos išėjimas
+
Atraminis signalas
Skaitmeninis telekom. signalų apdorojimas | Adaptyvieji filtrai
(Ž.Nakutis)
Europos socialinis fondas
AF taikymai: signalo prognozavimui
Signalo prognozavimas adaptyviuoju filtru
Įėjimas
x(n)
Vėlinimas
Įėjimas
x(n-n0)
Adaptyvusis
filtras
-
Prognozavimo paklaida
Atraminis signalas
25
Skaitmeninis telekom. signalų apdorojimas | Adaptyvieji filtrai
(Ž.Nakutis)
+
Europos socialinis fondas
AF taikymai: trukdžių slopinimui
Adaptyviojo filtro naudojimas trukdžių slopinimui
Atraminiai
signalai
Sistemos
išėjimas
x1(n)
...
xM(n)
Adaptyvusis
filtras
-
Paklaida
Pirminis šaltinis
26
+
Skaitmeninis telekom. signalų apdorojimas | Adaptyvieji filtrai
(Ž.Nakutis)
Europos socialinis fondas
Papildoma literatūra
1.
Haykin, S., Adaptive Filter Theory, Third Ed., Upper Saddle
River, N.J., Prentice-Hall, 1996.
2.
Haykin, S., Communication systems, 4th Ed., John & Wiley Sons,
2001, 838p.
3.
Manolakis, D. Statistical and Adaptive Signal Processing: Spectral
Estimation, Signal Modeling, Adaptive Filtering and Array
Processing, Artech House, 806 p. 2005.
27
Skaitmeninis telekom. signalų apdorojimas | Adaptyvieji filtrai
(Ž.Nakutis)