Transcript Funkcijų tyrimas

Funkcijų tyrimas
12 klasėje
Darbo autorius:
Klaipėdos “Vėtrungės” gimnazijos
matematikos vyr. mokytoja Rasa Brazinskaitė
Funkcijų savybių tyrimas:
1) Nustatome funkcijos apibrėžimo sritį.
2) Išsiaiškiname, ar funkcija lyginė, ar nelyginė, ar
ji yra periodinė.
3) Randame taškus, kuriuose funkcijos grafikas
kerta koordinačių ašis ( tokių taškų gali ir
nebūti).
4) Nustatome funkcijos reikšmių didėjimo ir
mažėjimo intervalus, ekstremumus.
5) Tiriame funkcijos elgesį, nepriklausomajam
kintamajam neapibrėžtai didėjant arba mažėjant.
121.a) p( x)  x  x
3
1) D(p) = R;
2) Funkcija yra nelyginė, nes p(-x) = - p(x);
3) Kai x = 0, tai p(0) = 0. Taigi funkcijos
grafikas koordinačių ašis kerta taške O(0;0).
4) Kadangi p'(x) = 3x² + 1,tai funkcijos išvestinės reikšmės yra teigiamos.
Taigi funkcija yra didėjanti ir ekstremumų
neturi.
5) Kai x   , tai p(x)   .
121.b) p( x)  x  2 x
3
1) D(p) = R.
2) p(-x) = -x³  2x = - (x³ - 2x) = - p(x),
funkcija yra nelyginė.
3) Kai x = 0, tai p(0) = 0.
Randame lygties x³ - 2x = 0 sprendinius:
x = 0, x = -√2 ir x = √2.
Taigi funkcijos grafikas koordinačių ašis kerta
taškuose (0;0), (-√2 ;0) ir (√2;0).
4) p'(x) = 3x² - 2;
p'(x) = 0, kai 3x² - 2 = 0, t. y. x = - √2∕3 ir
x = √2∕3 ;
p‘(x) > 0, kai 3x² - 2 > 0  (-; -√2∕3 ) ir
(√2∕3 ; ) yra funkcijos reikšmių didėjimo
intervalai;
p'(x) < 0, kai 3x²-2 < 0  (-√2∕3 ; √2∕3 )
yra funkcijos mažėjimo intervalas.
5) Kai x  , tai p(x) = x(x² - 2) → ;
kai x  -, tai p(x) = x(x² - 2) → -.
121.c) p( x)  x  3x
3
1) D(p) = R.
2) p(-x) = - p(x), funkcija yra nelyginė.
3) Funkcijos grafikas koordinačių ašis kerta
taškuose (0;0), (-√3;0), (√3;0).
4) p'(x) = 3x² - 3; p'(x) = 0, kai x = -1 ir x =
1;
p'(x) > 0, kai x < -1 ir x > 1;
p'(x) < 0, kai - 1 < x < 1.
5) Kai x   , tai p(x) = x(x² - 3) →  ;
kai x  - , tai p(x) = x(x² - 3) → - .
121.d ) p( x)  x  3x
3
2
1) D(p) = R.
2) Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.
3) Funkcijos grafikas koordinačių ašis kerta
taškuose (0;0), (3;0).
4) p'(x) = 3x² - 6x; p'(x) = 0, kai x = 0 ir x =
2;
p'(x) > 0, kai x < 0 ir x > 2;
p'(x) < 0, kai 0 < x < 2.
5) Kai x   , tai p(x) = x²(x - 3) →  ;
kai x  - , tai p(x) = x²(x - 3) → - .
121.e) p( x)  x ( x  4)
2
2
1) D(p) = R.
2) p(-x) = p(x), funkcija yra lyginė.
3) Funkcijos grafikas koordinačių ašis kerta
taškuose (0;0), (-2;0) ir (2;0).
4) p'(x) = 4x³- 8x; p'(x) = 0, kai x = 0, x = √2 ir x = √2;
p'(x) > 0, kai -√2 < x < 0 ir x > √2;
p'(x) < 0, kai x < -√2 ir 0 < x < √2.
5) Kai x    ir x  - , tai p(x) →  .
121. f ) p( x)  x( x 1)
3
1) D(p) = R.
2) Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.
3) Funkcijos grafikas koordinačių ašis kerta
taškuose (0; 0) ir (1; 0).
4) p'(x) = (x -1)³ + 3x(x -1)² = (x - 1)²(4x 1);
p'(x) = 0, kai x =1,
x = ¼;
p'(x) > 0, kai ¼ < x < 1 ir x >1;
p'(x) <0, kai x < ¼.
5) Kai x    ir x  - , tai p(x) →  .
x
122 .a ) f ( x ) 
x 1
1) D(f) = (-∞;1) U (1;+∞).
2) Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.
3) Funkcijos grafikas koordinačių ašis kerta
vieninteliame taške (0;0).
4) Visoje apibrėžimo srityje funkcijos išves-tinės
reikšmės yra neigiamos, t.y. f'(x) < 0.
Funkcija yra mažėjanti ir ekstremumų neturi.
5) Kai x   , tai 1/(x-1) → 0, o f(x) → 1.
Grafikas- hiperbolė y=1/x, pastumta per 1 į
viršų ir per 1 į dešinę.
x 1
122 .b) f ( x ) 
x 1
1) D(f) = (-∞; -1) U (-1; +∞).
2) Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.
3) Funkcijos grafikas koordinačių ašis ker-ta
taškuose (0;-1) ir (1;0).
4) Kadangi f'(x) >0 visoje apibrėžimo srityje,
tai funkcija yra didėjanti ir ekstremumų
neturi.
5) Kai x    arba x  - , tai 2/(x+1)  0, o
f(x) → 1.
1
122 .c ) f ( x ) 
2
x 1
• 1) D(f) = (-∞; -1) U ( -1; 1) U (1; +∞).
• 2) f(-x) = f(x), funkcija yra lyginė.
• 3) Funkcijos grafikas koordinačių ašis kerta taške
•
•
(0; -1).
4) f'(x) = 2x:(x²-1)²; f'(x) = 0, kai x = 0;
f'(x) > 0, kai x < -1 ir -1< x <0; f'(x) < 0, kai
0 < x < 1 ir x >1.
5) Kai x→+∞ ir x→ -∞ , tai f(x) →0; kai x→1 (x
>1), tai f(x) →+∞ ; kaix→1(x <1), tai f(x)→-∞;
kai x→-1(x < -1), tai f(x) →+∞; kaix→-1(x > -1),
tai f(x) → - ∞ .
1
122.d ) f ( x) 
x( x  1)
1) D(f) = (-∞; 0) U ( 0; 1) U (1; +∞).
2) Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.
3) Funkcijos grafikas nekerta koordinačių ašių.
4) f'(x) = 0, kai x = ½;
f'(x) > 0, kai x < 0 ir 0< x < ½;
f'(x) < 0, kai ½ < x < 1 ir x >1.
5) Kai x    ir x  - , tai f(x)  0.
x
122 .e) f ( x )  2
x 1
1) D(f) = R.
2) f(-x) = - f(x),funkcija yra nelyginė.
3) Funkcijos grafikas koordinačių ašis kerta
vieninteliame taške (0;0).
4) f'(x) = 0, kai x = -1 ir x = 1;
f'(x) > 0, kai -1 < x < 1;
f'(x) < 0, kai x < -1 ir x >1.
5) Kai x    ir x  - , tai f(x)  0.
122. f ) f ( x) 
x
3
x 1
2
1) D(f) = (-∞; -1) U ( -1; 1) U (1; +∞).
2) Funkcija yra nelyginė.
3) Funkcijos grafikas koordinačių ašis kerta taške
(0;0).
4) f'(x) = 0, kai x = 0, x= -√3 ir x = √3;
f'(x) > 0, kai x < -√3 ir x > √3;
f'(x) < 0, kai -√3 < x < -1, -1 < x < 0, 0 < x <
1 ir 1 < x < √3.
5) Kai x  , tai f(x)  ; kai x  -, tai f(x) 
-; kai x  1(x >1), tai f(x)  ; kai x 1(x <
1), tai f(x)   .
123.a) g ( x)  4  x
2
1) D(g) = [ -2 ; 2 ].
2) Funkcija yra lyginė.
3) Funkcijos grafikas koordinačių ašis ker-ta
taškuose (0; 2), (-2; 0) ir (2; 0).
4) g‘(x) = 0, kai x = 0 ;
g'(x) > 0, kai -2 < x < 0;
g'(x) < 0, kai 0 < x < 2.
5) Funkcijos grafikas – apskritimo lanko
viršutinė dalis.
123.b) g ( x)  ( x 1) x
1) D(g) = [ 0 ;   ].
2) Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.
3) Funkcijos grafikas koordinačių ašis kerta
taškuose (0; 0), (1; 0).
4) g‘(x) = 0, kai x = ⅓;
g'(x) > 0, kai x > ⅓;
g'(x) < 0, kai 0 < x < ⅓.
5) Kai x → - ∞, tai g(x) → + ∞
123.c) g ( x)  x 1  x
1) D(g) = (-∞; 1].
2) Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.
3) Funkcijos grafikas koordinačių ašis kerta
taškuose (0; 0), (1; 0).
4) g'(x) = 0, kai x = ⅔;
g'(x) > 0, kai x < ⅔;
g'(x) < 0, kai ⅔ < x <1.
5) Kai x → - ∞, tai g(x) → - ∞.
123.d ) g ( x)  x  x  1
2
1) D(x) = (-∞; -1] U [1; +∞).
2) Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.
3) Funkcijos grafikas nekerta koordinačių ašių.
4) g'(x) ≠0, vadinasi funkcija ekstremumų
neturi;
g'(x) > 0, kai x > 1;
g'(x) < 0, kai x < -1
5) Kai x → + ∞, tai g(x) → + ∞; kai x → ∞, tai g(x) → 0.
123.e) g ( x)  x 2  x
2
1) D(x) = [ -√2; √2 ].
2) Funkcija yra nelyginė.
3) Funkcijos grafikas koordinačių ašis kerta taškuose
(0; 0), (-√2; 0), (√2; 0).
4) g'(x) = 0, kai x = - 1 ir x = 1;
g'(x) > 0, kai -1 < x < 1;
g'(x) < 0, kai -√2 < x < - 1 ir 1 < x < √2.
5) Intervalo [ -√2; √2 ] galuose grafiko liestinės
vertikalios, nes g(x) neapibrėžtai auga, kai
x→ √2 arba x→ - √2 .
123. f ) g ( x)  3 x  x
3
1) D(f) = R.
2) Funkcija yra nelyginė.
3) Funkcijos grafikas koordinačių ašis kerta taškuose
(0; 0), (-3√3; 0), (3√3; 0).
4) g'(x) = 0, kai x = - 1 ir x = 1. Taškas x = 0 - taip
pat kritinis( jame išvestinė neapibrėžta). Tačiau
pereidamos šį tašką išvestinės reikšmės ženklo
nekeičia.
g'(x) >0, kai -1<x<1; g'(x) <0, kai x<-1ir x
>1.
5) Kai x → + ∞, tai g(x) → - ∞; kai x → - ∞, tai
g(x) → + ∞.
124.a) f ( x)  x  e
x
1) D(f) = R.
2) Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.
3) Kai x = 0, tai f(0) = 0 + eº = 1. Taigi grafikas kerta Oy ašį taške (0;1). Ox ašies funkcijos grafikas nekerta.
4) f'(x) = 0, kai x = 0;
f'(x) > 0, kai x > 0; f'(x) < 0, kai x < 0.
5) Kai x → + ∞, tai f(x) → + ∞; kai x → - ∞, tai
f(x) → + ∞.
124.b) f ( x)  e  x
x
1) D(f) = R.
2) Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.
3) Kai x = 0, tai f(0) = 0 + eº = 1. Taigi grafikas kerta Oy ašį taške (0; 1). Ox ašies funkcijos grafikas nekerta.
4) f'(x) = 0, kai x = 0;
f'(x) > 0, kai x > 0; f'(x) < 0, kai x < 0.
5) Kai x → + ∞ ir x → - ∞, tai f(x) → + ∞.
124.c) f ( x)  xe
x
1) D(f) = R.
2) Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.
3) Taškas (0; 0) – vienintelis taškas, kuriame
funkcijos grafikas kerta koordinačių ašis.
4) f'(x) = 0, kai x = -1;
f'(x) > 0, kai x > -1; f'(x) < 0, kai x < 1.
5) Kai x → + ∞, tai f(x) → + ∞;
kai x → - ∞, tai f(x) → 0.
x
e
1 2 4.d ) f ( x ) 
x
1)
2)
3)
4)
D(f) = (-∞; 0) U (0; +∞).
Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.
Funkcijos grafikas koordinačių ašių neker-ta.
f'(x) = 0, kai x = 1; f'(x) > 0, kai x > 1;
f'(x) < 0, kai x < 0 ir 0 < x <1.
5) Kai x → + ∞, tai f(x) → + ∞;
kai x → - ∞, tai f(x) → 0.
125.a) g ( x)  ln x  x  1
1) D(g) = ( 0; + ∞).
2) Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.
3) Funkcijos grafikas kerta Ox ašį taške (1;0).
4) g'(x) = 0, kai x = 1; g'(x) > 0, kai 0 < x
<1; g'(x) < 0, kai x > 1( x < 0 netinka, nes
nepriklauso funkcijos apibrėžimo sričiai).
5) Kai x → + ∞, tai g(x) → - ∞; Kai x → 0(x >0),
tai g(x) → - ∞, nes lnx → - ∞.
125.b) g ( x)  x  2 ln x
2
1) D(g) = ( 0; + ∞).
2) Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.
3) Funkcijos grafikas nekerta koordinačių ašių.
4) g'(x) = 0, kai x = -1 ir x = 1.Taškas x = -1
nepriklauso apibrėžimo sričiai, vadinasi
kritinis taškas yra x = 1. g'(x) > 0, kai x > 1;
g'(x) < 0, kai 0 < x <1.
5) Kai x → + ∞, tai g(x) → +∞; Kai x → 0(x >0),
tai g(x) → + ∞, nes ln x → - ∞.
ln x
125 .c ) g ( x ) 
x
1) D(g) = ( 0; + ∞).
2) Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.
3) Kadangi x≠0, tai funkcijos grafikas Oy ašies
nekerta. Ox ašį kerta taške (1; 0).
4) g'(x) = 0, kai x = e;
g'(x) > 0, kai 0 < x < e; g'(x) < 0, kai
x > e.
5) Kai x → + ∞, tai g(x) → 0; kai x → 0 (x > 0), tai
g(x) → - ∞.
ln x
1 2 5.d ) g ( x ) 
x
1) D(g) = ( 0; + ∞).
2) Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.
3) Funkcijos grafikas Oy ašies nekerta, o Ox
ašį kerta taške (1;0).
4) g'(x) = 0, kai x = e²;
g'(x) > 0, kai 0 < x < e²;
g'(x) < 0, kai x > e².
5) Kai x → + ∞, tai g(x) → 0; kai x → 0(x >0), tai
g(x) → - ∞.
x
125 .e) g ( x ) 
ln x
1) D(g) = ( 0; 1 ) U ( 1; + ∞).
2) Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.
3) Funkcijos grafikas nekerta koordinačių ašių.
4) g'(x) = 0, kai x = e; g'(x) > 0, kai x > e;
g'(x) < 0, kai 0 < x <1 ir 1 < x <e.
5) Kai x → + ∞, tai g(x) → + ∞; kai x → 0(x >0),
tai g( x) → 0; kai x →1(x >1), tai g(x) → + ∞;
kai x →1(x <1 ), tai g(x) → - ∞.
x
125 . f ) g ( x )  ln
x 1
1) D(g) = (-∞ ; 0) U ( 1; + ∞)
2) Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.
3) Funkcijos grafikas nekerta koordinačių ašių.
4) g'(x) ≠0, vadinasi funkcija ekstremumų neturi; g'(x) > 0, kai 0 < x <1 , Tačiau šie x nepriklauso D(g) ; g'(x) < 0, kai x < 0 ir x >1.
Taigi funkcija yra mažėjanti.
5) Kai x→+∞ ir x→ -∞, tai g(x) →0; kai x →0(x
<0), tai g(x) → - ∞; kai x →1(x >1), tai g(x) → +
∞.
126.a)h( x)  sin x
2
1) D(h)=R.
2) Funkcija yra lyginė ir periodinė. Jos periodas
.
3) Kai x = 0, tai h(0) = 0. Lygties sin²x = 0
sprendiniai yra x = k, kZ.
4) h'(x) = sin2x; h'(x) = 0, kai x = k/2, kZ;
h'(x) > 0, kai k < x < /2 + k, kZ; h'(x)
< 0, kai /2 + k < x <  + k, kZ.
5) h(0) = 0 - mažiausia funkcijos reikšmė
intervale [0; /2]; h(/2) = 1- didžiausia
funkcijos reikšmė intervale [0; /2].
126.b)h( x)  sin x  sin x
2
1) D(h) = R.
2) Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė. Jos periodas
2. Nagrinėkime funkciją intervale [0; 2].
3) h(0) = 0. h(x) = 0, kai x = n arba x = /2 + 2n,
nZ;
4) h'(x) = cosx - 2sinxcosx; h'(x) = 0, kai x = /2 +
n arba x = (-1)ⁿ/6 + n, nZ.
h'(x) > 0, kai 3/2 + 2n < x < 136 + 2n ir /2
+ +2n < x < 5/6 + 2n, nZ
h'(x) < 0, kai 5/6 + 2n < x < 3/2 + 2n ir /6
+ 2n < x < /2 + 2n, nZ
Tęsinys
5) h(/6) = h(5/6) = 1/4( max),
h(/2) =0 (min), h(3/2) = -2(min).
1
126 .c ) h( x )  cos x  cos 2 x
2
1) D(h) = R.
2) Funkcija lyginė ir jos periodas 2.
3) h(0) = ½, funkcijos grafikas kerta koordinačių ašis taškuose (0; ½) ir (± arccos(1√3)/2 + 2n; 0), nZ.
4) h'(x) = - sinx + sin2x; h'(x) = 0, kai x = n
arba x = ± /3 + 2n, nZ; h'(x) > 0,
kai 2n < x < /3 + 2n ir  + 2n < x <
5/3 + 2n, nZ;
Tęsinys
4) h'(x) < 0, kai -/3 + 2n < x < 2n ir /3
+ n < x <  + n,nZ.
5) h(0) = ½ (min), h() = - 1,5( min),
h(/3) = ¾(max).
1
126 .d ) h( x )  sin x  sin 2 x
2
1) D(h) = R.
2) Funkcija nelyginė ir jos periodas 2.
3) Funkcijos grafikas eina per taškus (0;0) ir
(n ; 0), nZ.
4) h'(x) = cosx + cos2x; h'(x) = 0, kai x =  +
2n ir x = ± /3 + 2n, nZ; h'(x) > 0,
kai - /3 + 2n < x < /3 + 2n, nZ;
h'(x) < 0, kai /3 + 2n < x <  + 2n ir 
+ 2n < x < 5/3 + 2, nZ.
Tęsinys
5) Taškuose x = /3 + 2n funkcija įgyja
maksimumus, lygius 3√3/4; taškuose x =
5/3 + 2n – minimumus, lygius - 3√3/4,
nZ.