Transcript Funkcijų grafikų braižymas be tyrimo ir grafinis lygčių sprendimas

Funkcijų grafikų braižymas be
tyrimo ir grafinis lygčių
sprendimas
Funkcijų grafikų panaudojimas
•
•
•
•
•
Eksperimento duomenų vaizdavimas
Matavimai ir prognozė
Optimizavimas
Grafinis lygčių ir jų sistemų sprendimas
...
Eksperimento duomenų vaizdavimas
Eksperimento duomenų vaizdavimas
Papildomų taškų atsiradimas:
Matavimai ir prognozė
Optimizavimas
2 x  3 y  5

 x  4y  2
1

 y  3 (5  2 x)

1
 y  ( x  2)
4

Grafinis lygčių
sistemų sprendimas
2 x  3 y  5

 x  4y  2
1

 y  3 (5  2 x)

1
 y  ( x  2)
4

2 x  3 y  5

 x  4y  2
1

 y  3 (5  2 x)

1
 y  ( x  2)
4

2 x  3 y  5

 x  4y  2
1

 y  3 (5  2 x)

1
 y  ( x  2)
4

26
x
 2.3636364
11
1
y   0.0909091
11
Lygties sprendimas
x  cos(x)  0
x  cos(x)
 y  x,

 y  cos(x)
Lygties sprendimas
x  cos(x)  0
x  cos(x)
 y  x,

 y  cos(x)
Lygties sprendimas
x  cos(x)  0
x  cos(x)
 y  x,

 y  cos(x)
Lygties sprendimas
x  cos(x)  0
x  cos(x)
 y  x,

 y  cos(x)
x=0,7390851332
Kaip nubraižyti funkcijos grafiką?
• Rasti funkcijos reikšmes, imant
pakankamai daug taškų ir juos sujungti
• Atlikti funkcijos tyrimą
• Pasinaudoti informacija apie žinomas
funkcijas, atlikti elementarias
transformacijas
Taškų sujungimas – tolydi funkcija
Taškų sujungimas – trūki funkcija
Kai taškų imame nedaug, funkcijos grafiką galime nubraižyti neteisingai
Funkcijos tyrimas
•
•
•
•
Apibrėžimo ir reikšmių sritys;
Lyginė ar nelyginė;
Periodiškumas;
Susikirtimo su ašimis taškai. Ženklo keitimo
intervalai;
• Ekstremumai. Didėjimo ir mažėjimo intervalai;
• Perlinkio taškai. Įgaubtumo ir išgaubtumo
intervalai;
• Asimptotės
Funkcijos grafiko braižymas be
tyrimo
•
Pasinaudojame elementarių funkcijų
grafikais
•
Atliekame elementarias transformacijas
Kai kurių funkcijų grafikai - 1
1
x
Kai kurių funkcijų grafikai - 2
Kai kurių funkcijų grafikai - 3
Transformacijos ir veiksmai
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
f(x+a);
f(x)+a;
k*f(x);
f(k*x);
f(x)+g(x);
f(x)*g(x);
1/f(x);
f(g(x)).
Funkcijos f(x+a) grafikas
Funkcijos f(x+a) grafiką paslenkame per a vienetų
• Į dešinę, kai a<0
• Į kairę, kai a>0
>
Funkcijos f(x)+a grafikas
Funkcijos f(x)+a grafiką paslenkame per a vienetų
• Į viršų, kai a>0
• Į apačią, kai a<0
>
Pavyzdys:
f ( x)  x  3x  6
2
Išskiriame pilnąjį kvadratą
f ( x)  x 2  3x  6 
3
9 9
 2
  x  2 x     6 
2
4 4

2
3

 15
x  
2
4

Grafikas pasislinks per 3/2 į
dešinę ir per 15/4 į viršų
Pavyzdys:
f ( x)  x  3x  6
2
Išskiriame pilnąjį kvadratą
f ( x)  x 2  3x  6 
3
9 9
 2
  x  2 x     6 
2
4 4

2
3

 15
x  
2
4

Grafikas pasislinks per 3/2 į
dešinę ir per 15/4 į viršų
Funkcijos k*f(x) grafikas
Funkcijos k*f(x) grafikas Oy ašies
kryptimi
• Išsitempia k kartų,
kai k>1
• Susispaudžia 1/k kartų, kai 0<k<1
Jei k <0, funkcijos
grafikas dar ir
simetriškai atsispindi
ašies Ox atžvilgiu
>
Funkcijos f(k*x) grafikas
Funkcijos f(k*x) grafikas Ox ašies kryptimi
•
•
Išsitempia 1/k kartų,
kai 0<k<1
Susispaudžia k kartų, kai k>1
1
y
2
( Ax)  1
Funkcijos f(k*x) grafikas
Kas atsitinka, kai k=-1?
Funkcijos f(k*x) grafikas, kai k=-1
Pavyzdys:
1
f ( x) 
( x  2)(x  3)
Pavyzdys:
1
f ( x) 
( x  2)(x  3)
Modifikuojame funkciją:
vietoje x įstatome -0,5x ir
gautą rezultatą
padauginsime iš -3
3

(0.5 x  2)(0.5 x  3)
12

( x  4)(x  6)
f ( x)  
Pavyzdys:
1
f ( x) 
( x  2)(x  3)
1) f(0,5x) – grafikas išsitemps 2 kartus Ox kryptimi
Modifikuojame funkciją:
vietoje x įstatome -0,5x ir
gautą rezultatą
padauginsime iš -3
3

(0.5 x  2)(0.5 x  3)
12

( x  4)(x  6)
f ( x)  
Pavyzdys:
1
f ( x) 
( x  2)(x  3)
1) f(0,5x) – grafikas išsitemps 2 kartus Ox kryptimi
2) f(-0,5x) – grafikas simetriškai atsispindi Oy atžvilgiu
Modifikuojame funkciją:
vietoje x įstatome -0,5x ir
gautą rezultatą
padauginsime iš -3
3

(0.5 x  2)(0.5 x  3)
12

( x  4)(x  6)
f ( x)  
Pavyzdys:
1
f ( x) 
( x  2)(x  3)
1) f(0,5x) – grafikas išsitemps 2 kartus Ox kryptimi
2) f(-0,5x) – grafikas simetriškai atsispindi Oy atžvilgiu
3) 3*f(-0,5x) – grafikas triskart išsitemps Oy kryptimi
Modifikuojame funkciją:
vietoje x įstatome -0,5x ir
gautą rezultatą
padauginsime iš -3
3

(0.5 x  2)(0.5 x  3)
12

( x  4)(x  6)
f ( x)  
Pavyzdys:
1
f ( x) 
( x  2)(x  3)
Modifikuojame funkciją:
vietoje x įstatome -0,5x ir
gautą rezultatą
padauginsime iš -3
1) f(0,5x) – grafikas išsitemps 2 kartus Ox kryptimi
3

2) f(-0,5x) – grafikas simetriškai atsispindi Oy atžvilgiu
(0.5 x  2)(0.5 x  3)
3) 3*f(-0,5x) – grafikas triskart išsitemps Oy kryptimi
12

( x  4)(x  6)
4) -3*f(-0,5x) – grafikas simetriškai atsispindi Ox atžvilgiu
f ( x)  
Pavyzdys:
1
f ( x) 
( x  2)(x  3)
Modifikuojame funkciją:
vietoje x įstatome -0,5x ir
gautą rezultatą
padauginsime iš -3
1) f(0,5x) – grafikas išsitemps 2 kartus Ox kryptimi
3

2) f(-0,5x) – grafikas simetriškai atsispindi Oy atžvilgiu
(0.5 x  2)(0.5 x  3)
3) 3*f(-0,5x) – grafikas triskart išsitemps Oy kryptimi
12

( x  4)(x  6)
4) -3*f(-0,5x) – grafikas simetriškai atsispindi Ox atžvilgiu
f ( x)  
Funkcijų sudėtis
Braižysime funkcijos
1
f ( x)  x 
grafiką
x
1
x
Funkcijų sudėtis -1 būdas
1)
2)
Braižome abu grafikus kartu
Atliekame sudėtį
Funkcijų sudėtis -1 būdas
Funkcijų sudėtis -2 būdas
f ( x)  sin(x)  cos(x)
1. Braižome abu grafikus
Funkcijų sudėtis -2 būdas
f ( x)  sin(x)  cos(x)
2. Braižome vidurinę liniją
Funkcijų sudėtis -2 būdas
f ( x)  sin(x)  cos(x)
3. Atliekame transformaciją 2*f(x)
Funkcijų sudėtis – 3 būdas
Braižysime funkcijos
1
f ( x)  x 
grafiką
x
1
x
Funkcijų sudėtis – 3 būdas
Braižysime funkcijos
1
f ( x)  x 
grafiką
x
Šios funkcijos grafikas
1
f
(
x
)

gaunamas iš funkcijos
x
grafiko, pereinant nuo
stačiakampės koordinačių
sistemos prie
nestačiakampės. Kampas
tarp ašių bus ne pi/2, o pi/4 –
toks kampas yra tarp tiesės
y=x ir ašies Oy
Funkcijų sudėtis – 3 būdas
Braižysime funkcijos
1
f ( x)  x 
grafiką
x
Šios funkcijos grafikas
gaunamas iš funkcijos f ( x)  1
x
grafiko, pereinant nuo
stačiakampės koordinačių
sistemos prie
nestačiakampės. Kampas
tarp ašių bus ne pi/2, o pi/4 –
toks kampas yra tarp tiesės
y=x ir ašies Oy
Funkcijų sudėtis
y  3 sin(x)  x
2
Funkcijų sudėtis
y  cos(0.5x)  x  2
Tolimesni tyrimai
a) f(x)*g(x);
b) 1/f(x);
c) f(g(x)).
Tolimesni tyrimai
a) f(x)*g(x);
b) 1/f(x);
c) f(g(x)).
Turite idėjų?
[email protected]
[email protected]