Transcript Tikimyb_3

TIKIMYBIŲ TEORIJA 3
VIENMAČIAI ATSITIKTINIAI
DYDŽIAI
Atsitiktiniu dydžiu vadinamas dydis, kuris bandymo
metu gali gauti tik vieną iš anksto nežinomą skaitinę
reikšmę iš galimų reikšmių aibės.
Pvz.:
1) Kavinėje apsilankiusių klientų skaičius per valandą.
2) Matuojamų detalių matmenys.
Atsitiktinis dydis žymimas graikiškomis raidėmis, o jo
įgyjamos reikšmės mažosiomis lotyniškomis raidėmis:
A
 - ksi,
 - eta,
 - dzeta,...
x, y , z ,...
A Tikimybinėje erdvėje (,F,P) atsitiktinis dydis tai
elementarių įvykių funkcija ξ=ξ(ω) .(ω- elementarus įvykis)
Atsitiktinis dydis vadinamas diskrečiuoju, jei visos jo
galimos reikšmės yra baigtinė arba skaiti aibė.
A
Nagrinėkime diskretų atsitiktinį dydį ξ, kuris įgyja
reikšmes x1,x2,...,xn . Atlikus bandymą atsitiktinis dydis gali
įgyti tik vieną reikšmę, vadinasi įvykiai ξ=x1, ξ=x2,..., ξ=xn
sudaro pilnąją įvykių grupę, t.y. jei pažymėsime
P  x1   p1 , P  x2   p2 ,...,P  xn   pn
Tada
n
p
i 1
i
1
A Atsitiktinio dydžio pasiskirstymu vadinama bet kokia
priklausomybė, kuri nurodo ryšį tarp atsitiktinio dydžio
reikšmių ir jų tikimybių.
Jis gali būti nusakomas lentele, grafiku arba analizine
išraiška:
1) Lentelė- pasiskirstymo lentelė (skirstinys)
xi
pi
x1
p1
x2
p2
...
...
xn
pn
2) Grafiku, pvz. pasiskirstymo daugiakampiu:
pi
p2
p1
x1
x2
xn
xi
A Atsitiktinio dydžio ξ pasiskirstymo
funkcija vadinama
funkcija, kuri yra apibrėžta visom realiom x reikšmėms ir
lygi tikimybei, kad ξ įgis reikšmes mažesnes už x, t.y.
F ( x)  P(  x)
SAVYBĖS:
1. 0  F ( x)  1 ;
2. P(a    b)  F (b)  F (a) ;
3. x1  x2  F ( x1 )  F ( x2 ) ;
4. lim F ( x)  0 ;
x 
5. lim F ( x)  1 .
x 
Pavyzdys:
Šaulio pataikymo tikimybė 0,3. Pataikęs šaulys gauna (+5)
taškus, o nepataikęs (-2). Parašykite diskretaus ats.d. ξ“gautų taškų skaičius” pasiskirstymo dėsnį ir
pasiskirstymo funkciją atlikus 4 šūvius.
Sprendimas:
Pažymėkime pataikymo tikimybe p=0,3, o nepataikymo
q=1-0,3=0,7. Turime Bernulio eksperimentą, vadinasi:
p0  P4 (0)  C 0.3 0.7  0.24
0
4
0
4
(Nė karto nepataikė)
Analogiškai apskaičiuojamos ir kitos tikimybės ir surašomos į lentelę:
ξ
-8
pi
0,24 0,41 0,26
-1
6
13
20
0,08 0,01
1
ξ
-8
pi
0,24 0,41 0,26
0,08 0,01
0

0.24

 0.65
F ( x)  
 0.91
0.99


1
, kai x  8
-1
6
13
20
1
, kai  8  x  1
, kai  1  x  6
, kai 6  x  13
, kai 13  x  20
, kai x  20
Skaitinės charakteristikos:
1) Vidurkis
M   xi pi
i
SAVYBĖS:
1) MC  C , C  const;
2) M (C )  CM ;
3) M (   )  M  M ;
4) Jei ats.d. ir  yra nepriklausomi M ( )  MM.
2) Dispersija D  M (  M ) 2 
 x  M 
2
i
i
D   - standartinis nuokrypis
pi
Savybės:
1) D  0;
2) DC  0;
3) D(C )  C 2 D ;
4) D  M 2  ( M ) 2 ;
5) Jei ats.d. ir  yra nepriklausomi  D(   )  D  D .
3) Moda- ats.d. reikšmė, kuri dažniausiai pasikartoja, t.y
p(M0)=pmax
ξ- unimodalusis ats.d. jei moda viena ir daugiamodalusis
jei modų daugiau nei dvi.
4) Mediana- ats.d. vidurinė reikšmė, t.y.
1
P(  Me )  P(  Me ) ir F(Me) 
2
A Atsitiktinį dydį ξ vadinamas
tolydžiuoju, jei jo
pasiskirstymo funkcija F(x) yra tolydi ir diferencijuojama,
be to P(ξ=xi)=0.
Tolydaus atsitiktinio dydžio ξ tankiu (tankio funkcija)
vadinama jo pasiskirstymo funkcijos išvestinė, t.y.
A
p( x)  F ( x)
SAVYBĖS:
1) p( x)  0;
x
2) F(x) 
 p(x)dx;
-
b
3) P(a    b)   p( x)dx;
a

4)
 p( x)dx  1.

Skaitinės charakteristikos:

1) Vidurkis
M   xp( x)dx

2) Dispersija
D  M (  M ) 
2
3) Moda
4) Mediana

 x  M 
2

p( x)dx
Pavyzdys: Duota pasiskirstymo funkcija
0 , x 1

 2
F ( x)  ax  b , 1  x  3

1 ,x3

Raskite: a, b, P(ξ>2).
Sprendimas:
2ax , 1  x  3
p ( x)  
 0 , kitur

 p( x)dx  1

1
3


1
3
 0dx   2axdx  0dx  1
2 3
x
2a
2
1
1
8a  1
1
a
8
Kadangi F(x) tolydi, tai kai x=3 turi F(3)=1
1 2
(3 )  b  1
8
1
b
8
0 , x 1

1 2 1
F ( x)   x  , 1  x  3
8
8
1 ,x3

P(  2)  1  P(  2)  1  P  2  P(  2) 
1 5
1
 1  F (2)  1    4   
8 8
8
DISKRETIEJI SKIRSTINIAI
Binominis skirstinys
• Sakome, kad atsitiktinis dydis X yra pasiskirstęs pagal
binominį dėsnį su parametrais n ir 0<p<1, jei jis įgyja
reikšmes 0, 1, 2, ..., n su tikimybe
PX  k 
k k nk
 Cn p q ,
q  1 p
• Pavyzdžiui, jei gamybos procesas stabilus, tai gaminių su
defektais skaičius gali būti laikomas binominiu atsitiktiniu
dydžiu.
Binominis skirstinys
• Panaudojus reklamą, prekių pardavimas padidėja arba
nepadidėja.
• Išdygusių sėklų skaičius iš n pasėtų.
• Teigiamų rezultatų, gautų gydant 25 ligonius, skaičius.
Binominis skirstinys
• Vidurkis
MX 
n
 kPX  k 
k 0
• Dispersija
n
k k nk
kC
 n p q  np
k 0
DX  npq
• Binominio atsitiktinio dydžio X labiausiai tikėtina reikšmė k0
randama iš nelygybių
n  1 p  1  k0  n  1 p
Puasono skirstinys
• Jei atsitiktinis dydis gali įgyti reikšmes k  0,1, 2, ir tų
reikšmių tikimybės yra
P X  k  

k
k!
e  , 0  k  
sakoma, kad skirstinys yra Puasono. Žymima taip:
X ~ P 
Puasono skirstinys
• Puasono atsitiktinio dydžio vidurkis ir dispersija
atitinkamai yra lygios
MX  , DX  
Puasono skirstinys
• Ekonomikoje Puasono skirstinys naudojamas retiems įvykiams
aprašyti:
– banke yra daug sąskaitų, o stebimą valandą ateina tik maža
dalis visų klientų, todėl klientų skaičių galima aprašyti
Puasono skirstiniu;
– požeminio elektros kabelio gedimų skaičius vieno kilometro
intervale, taip pat aprašomas Puasono skirstiniu;
– brokuotų tam tikros produkcijos gaminių skaičiaus
skirstinys taip pat Puasono;
Puasono skirstinys (pavyzdys)
• Vidutiniškai pirmadieniais į darbą neateina 3 darbuotojai. Kokia
tikimybė, kad šį pirmadienį į darbą neateis ne mažiau kaip 2
darbuotojai?
• Taikysime Puasono skirstinį, kai MX  3 ,t.y.   3
k
3 3
P X  k  
e ,
k!
Px  2  1  Px  0  Px  1  1  e3  3e3  0,8
Geometrinis skirstinys
• Tegu vieną kartą daromo bandymo sėkmės tikimybė 0  p  1.
Nepriklausomus bandymus kartojame tol, kol sulaukiame
pirmos sėkmės. Atsitiktinis dydis X yra bandymų skaičius iki
pirmos sėkmės. Sakysime, kad X turi geometrinį skirstinį.
P X  k   1  p
k 1
p, k  1,2,
Geometrinis skirstinys
•
Vidurkis ir dispersija
1
1 p
MX  , DX  2
p
p
Geometrinis skirstinys (pavyzdys)
•
Naftos kompanijos atstovai žino, kad tiriamajame rajone 80%
gręžinių naftos neturi. Kokia tikimybė rasti naftos gręžiant
penktą kartą? Kiek vidutiniškai gręžimų reiks išgręžti, kol bus
rasta nafta?
• Tegu X – padarytų gręžinių skaičius iki naftos radimo.
Atsitiktinis dydis X turi geometrinį skirstinį su parametru p  0,2
Todėl ieškomoji tikimybė
PX  5  0,2  0,84  0,08192
o vidurkis
MX 
1
5
0,2
TOLYDIEJI SKIRSTINIAI
Normalusis (Gauso) skirstinys
•
Atsitiktinis dydis X pasiskirstęs pagal normalųjį skirstinį su
parametrais m ir σ, jei jo tankio funkcija
1
px  
e
 2

x  m 2

2 2
x R
o pasiskirstymo funkcija
1
F x  
 2
x
e


x  m 2

2 2
dx
Normalusis (Gauso) skirstinys


• Normalusis skirstinys žymimas N m,2
• Kai m  0,   1 normalusis skirstinys
vadinamas standartiniu normaliuoju skirstiniu.
px  
1
2
x2

e 2
F x  
1
2
x
x 
e 2

2  
dt
Normalusis (Gauso) skirstinys
•
Normalusis dėsnis nusako skirstinį tokio atsitiktinio
dydžio, kuris gaunamas sumuojant didelį skaičių kitų
nepriklausomų atsitiktinių dydžių, tarp kurių nėra
dominuojančių.
• Normalusis skirstinys gerai aprašo žmonių ūgį, svorį,
vidutinę oro temperatūrą, vidutinį pelną, intelekto
koeficientą.
Normalusis (Gauso) skirstinys
•
Normaliojo atsitiktinio dydžio vidurkį ir dispersiją
skaičiuojame pagal formules
MX 



DX 

x

x  m 2

1
 2
 x  m 

2
2 2
e
1
 2
dx  m

x  m 2

e
2 2
dx   2
Normalusis (Gauso) skirstinys
•
Normaliojo skirstinio tankio funkcijos grafiko padėtis
plokštumoje priklauso nuo vidurkio dydžio, o forma nuo
dispersijos
Normalusis (Gauso) skirstinys
•
Apskaičiuosime tikimybę, kad atsitiktinis dydis X  a, b:
bm
a m
P ( a  x  b)   
  

  
  
• Skaičiavimuose kartais naudojama Laplaso funkcija
( x) 
1
2
x
e
0
t2
2
(  x )   ( x )
1
( x )  ( x ) 
2
dt
Normalusis (Gauso) skirstinys. Trijų σ taisyklė
•
Tikimybė, kad normaliai pasiskirstęs atsitiktinis dydis nukryps
nuo vidurkio ne daugiau kaip σ lygi 0,68
• Tikimybė, kad normaliai pasiskirstęs atsitiktinis dydis nukryps
nuo vidurkio ne daugiau kaip 2 σ lygi 0,95
• Tikimybė, kad normaliai pasiskirstęs atsitiktinis dydis nukryps
nuo vidurkio ne daugiau kaip 3 σ lygi 0,997
0.68, kai t  1

P  X  m  t   0.95, kai t  2
0.997, kai t  3

Eksponentinis skirstinys
•
Sakome, kad atsitiktinis dydis pasiskirstęs pagal eksponentinį
dėsnį, jei :
x  0,
 0,
p  x     x
e , x  0.
F x  
x
 e

 x
x
dx   e
 x
d  x   e
0
x  0,
 0,
F x   
 x
1

e
, x  0.

 x
x
0
 1 e
 x
Eksponentinis skirstinys
•
Eksponentinis pasiskirstymas plačiai taikomas patikimumo
teorijoje, masinio aptarnavimo teorijoje.
Eksponentinis skirstinys (pavyzdys)
•
Gatvių apšvietimo lempų tarnavimo laiko vidurkis lygus 500
dienų, o standartinis nuokrypis 50 dienų. Kam lygu tikimybė,
kad lempa švies:
a) nuo 400 iki 600 dienų;
 600 500
 400 500
P400  X  600  F 
  F
  F 2  F  2 
50 
50



 2 F 2  1  2  0,977 1  0,954
b) trumpiau negu 400 dienų;
 400 500  0  500
P X  400  P0  X  400  F 
  F

 50   50 
 F  2  F  10  1  F 2  1  F 10  F 10  F 2  1  0,977  0,023.
Tolygusis skirstinys
•
Atsitiktinio dydžio X skirstinys vadinamas tolygiuoju
intervale a, b , jei
 1

, a xb
px    b  a

x  a, b.
 0,
x  a,
 0,
x  a
F x   
, a  x  b,
b  a
x  b.
 1,
χ2 (chi kvadratu) skirstinys
•
χ2 (chi kvadratu) skirstinį su n laisvės laipsnių turi atsitiktinis
dydis
2
2
2
2
 n  X1  X 2    X n
• čia X 1 , X 2 ,  , X n yra nepriklausomi, standartinį normalųjį
skirstinį turintys atsitiktiniai dydžiai
X i ~ N 0;1
χ2 (chi kvadratu) skirstinys
•
Nors χ2 skirstinio tankio funkcija gana sudėtinga, tačiau jo
parametrai nusakomi paprastomis formulėmis:
M  n, D  2n
2
2
χ2 (chi kvadratu) skirstinys
p(t)
P  1 
12;n
x
2

• Kvantilis 1- ;n parenkamas taip, kad neužbrūkšniuotos
dalies plotas būtų lygus 1   .
• χ2 skirstinio reikšmės priklausomai nuo  ir laisvės
laipsnių skaičiaus n pateikiamos lentelėje
χ2 (chi kvadratu) skirstinys (pavyzdys)
• Chi kvadrato skirstinio laisvės laipsnių skaičius lygus 20, o


P c1  220  c2  1    0,95
Kaip rasti tokius dydžius c1 ir c2, kai
• Kadangi

 
P 220  c1  P 220  c2


 
 

P220  c1  P220  c2  1    1

2
2
P 20  c1   P 20  c2    0,025
2
P 220  c1  P c1  220  c2  P 220  c2  1
χ2 (chi kvadratu) skirstinys (pavyzdys)
 Taigi c1 yra

2
lygmens kvantilis
c1  02,025;20  9,59

2
P  20

P 220


2
 c2  1  P  20



 c2 
2

 c2  1   1  0,025  0,975
2
c2  02,975;20  34,2.
Stjudento skirstinys
•
Tarkime, kad nepriklausomi atsitikt. dydžiai X ir
X i i  1,2, , n yra standartiniai normalieji dydžiai:
X ~ N 0;1,
X i ~ N 0;1
• Atsitiktinio dydžio t skirstinys vadinamas Stjudento skirstiniu
su n laisvės laipsniu.
t
X
n
2
X
 i
i 1
n
Stjudento skirstinys
•
Stjudento skirstinio reikšmių lentelė sudaryta priklausomai
nuo tikimybės α ir laisvės laipsnių skaičiaus n.
• Joje pateiktos kvantilių t  reikšmės.
1 ; n
2
t
f(t)
2
;n
P  1 
t 
2
;n
t

1 ;n
2
x
t 
1 ; n
2
Stjudento skirstinys
•
Atsitiktinis dydis X turi Stjudento skirstinį su 12 laisvės
laipsnių. Lygmenį p  0,975 atitinka kvantilis
t0,975;12  2,18
• Kitaip sakant
Pt  2,18  0,975
Fišerio skirstinys
• Fišerio skirstinį su m ir n laisvės laipsnių turi atsitiktinis dydis
Fm; n 
Y
X

2
1
 Y22    Ym2
2
1
 X 22    X n

m 
2
2
Xm
m
X n2
n
n
čia Y1, Y2 , , Ym , X1, X 2 ,, X n yra nepriklausomi, standartinį
normalųjį skirstinį turintys atsitiktiniai dydžiai Yj , X i ~ N 0;1.
Fišerio skirstinio 1-α lygmens kvantilius galima rasti lentelėje.
AČIŪ UŽ DĖMESĮ