Transcript 3.2.Taskiniai parametru iverciai. pasikliautini intervalai

TAŠKINIAI PARAMETRŲ ĮVERČIAI
PASIKLIAUTINIEJI INTERVALAI
Statistikos sąvoka
• Tarkime mus domina tam tikra stebimo
kintamojo charakteristika (nežinomas
parametras).
• Sudarome atsitiktinę imtį (X1,X2, ..., Xn).
• Imties funkciją f(X1,X2, ..., Xn) vadiname
nežinomo parametro taškiniu įverčiu arba
statistika.
• Statistikos yra atsitiktiniai dydžiai.
• Paprasčiausi statistikų pavyzdžiai yra
empirinės charakteristikos – empiriniai
vidurkiai, empirinė dispersija ir pan.
• Nežinomo parametro taškinis įvertis yra
atsitiktinis dydis. Kartojant eksperimentą jis
įgis skirtingas reikšmes.
• Taškinis įvertis skiriasi nuo populiacijos
parametro tam tikra reikšme, kuri vadinama
paklaida.
• Nežinomo parametro taškinis įvertis:
  f ( X 1; X 2 ;...; X n )
Reikalaujama, kad taškinis įvertis
būtų


ˆ    1,   0
1.Suderint as P   


ˆ 
2.Nepaslinktas E 
ˆ  min.
3.Efekt yvus D 
Pavyzdys
• Įsitikinsime, kad paprastosios atsitiktinės imties
atveju empirinis vidurkis visuomet yra
nepaslinktasis vidurkio įvertis.
• Tarkime stebime atsitiktinį dydį X, kurio vidurkis
MX=µ. Tada:
1
E X  E ( X 1  X 2  ...  X n ) 
n
1
1
 EX1  EX 2  ...  EX n   n  
n
n
Normaliojo skirstinio
pasikliautinieji intervalai
• Duota atsitiktinė imtis. Žinome, kad
stebimo atsitiktinio dydžio skirstinys yra
normalusis X~N(µ,σ).
• Rasti nežinomų parametrų µ ir σ
pasikliautinuosius intervalus
1. Vidurkio pasikliautinasis intervalas
a) Randame nežinomo skirstinio vidurkio taškinį
įvertį – empirinį vidurkį. Apskaičiuojame
empirinį standartą.
b) Parenkame pasikliovimo lygmenį 1-α
c) Pasikliautino intervalo sudarymui parenkame
statistiką
X 
T
 n ; T ~ Stn  1
S
• d) Randame Stjudento skirstinio kvantilius
tα/2(n-1) ir t1-α/2(n-1), , tenkinančius lygtį:


X 
P t n  1 
 n  t  n  1  1  
1
S
2
 2

• Tada pasikliautinas intervalas
•
t
X
1

2
n  1 S
t n  1  S
m X 
2
n
n
Matchad funkcija t p ( n )  qt( p, n )
2. Dispersijos pasikliautinas intervalas, kai vidurkis
nežinomas
a) Randame nežinomo skirstinio vidurkio taškinį
įvertį – empirinę dispersiją.
b) Parenkame pasikliovimo lygmenį 1-α
c) Pasikliautino intervalo sudarymui parenkame
statistiką

n  1  S
2



;

~

n

1
2
2

• d) Randame χ2 skirstinio kvantilius χ2 α(n-1) ir
χ2 1-α(n-1), , tenkinančius lygtį:
 2



n

1

S
2
  1


P  n  1 


n

1
1
2





2
• e) tada pasikliautinasis intervalas
n  1S

2
1

2
2
(n  1)
 
2
n  1S
2
  (n  1)
2
2
;
Matchadfunkcija  p2 n   qchisq( p, n )
Normaliojo skirstinio parametrų
pasikliautinieji intervalai
• Vidurkio pasikliautinasis intervalas kai
dispersija žinoma:
X
z p
n
m X 
p  1
z p
n
;

2
Matchadfunkcija z p  qnorm( p,0,1)
Dispersijos pasikliautinasis
intervalas kai vidurkis žinomas
2
2
nS0
nS0
2
  2
;
2
1 p (n )
 p (n)
p

2
n
1
2
S   X i  m
n i 1
2
0
Matchadfunkcija  n   qchisq( p, n )
2
p
Pavyzdys
• Nustatant atstumą tarp dviejų gyvenviečių
atliekami keturi nepriklausomi matavimai.
Gauti tokie rezultatai: 2235; 2244; 2256; 2265.
Matavimo vidutinė paklaida 40m. Su
patikimumu 0,95 nustatykite matuojamo
atstumo pasikliautinąjį intervalą. Laikome, kad
matavimo
rezultatai
pasiskirstę
pagal
normalųjį skirstinį.