Transcript Statisztika05

Statisztika
5.
Dr. Balogh Péter
Gazdaságelemzési és Statisztika Tanszék
DE-AMTC-GVK
Középértékszámítás

A középértékek (átlagok) az elemek értéknagyságának a
centrumát fejezik ki.

A középérték azonos fajta adatok halmazának közös
jellemzője.

Számításának célja: egy statisztikai sokaság valamilyen
mennyiségi ismérv szerinti tömör jellemzése.

A mennyiségi sorok elemzésének egyik eszköze.
 A statisztikai sor általános jellemzésére szolgálnak, a
statisztikai sokaságot egy számmal jellemzik.
2
Középértékek fajtái
 Helyzeti
középértékek
az értékeknek egy bizonyos intervallumban való
elhelyezkedési rendje játszik szerepet az értékében
 Számított
középértékek vagy átlagok
számítással határozzuk meg, értékét minden egyes
átlagolandó érték befolyásolja
3
Kvantilis értékek
rendezett sokaságot k egyenlő
részre osztják.
 A rangsorba
 diszkrét
ismérv esetén, ha sok egyező érték
van, ne használjuk;
 folytonos
ismérv esetén se, ha kevés a
megfigyelés és több egyező érték van.
4
Kvantilisek
5
Helyzeti középértékek
 Egy
sokaság valamilyen mennyiségi ismérv
szerinti tömör jellemzésére használjuk.
 Fajtái

Medián

Módusz
6
Helyzeti középértékek
 Helyzetüknél
 Az
fogva jellemzik a statisztikai sort
észlelési adatokkal nincs matematikai
kapcsolatuk
 A kiugró értékekre
érzéketlenek
7
Medián

A jelenség nagyság szerint rendezett adatsorának
közepén helyezkedik el.

Két egyenlő részre osztva a statisztikai sor adatait, a
medián előtt és után ugyanannyi adat helyezkedik el.
N 1
2
8
Medián
Páratlan tagszámú értéksor esetén: középső elem
Páros tagszámú értéksor esetén: két középső tag
számtani átlaga
Az észlelési adatok bármely tetszőleges számtól
számított abszolút eltérése közül a mediántól
számított eltérések abszolút értéke a legkisebb.
9
Medián gyakorisági sorból
n 1
-  fi
2
i 1
Me  mexo 
*i
f me
me-1


mexo – a mediánt tartalmazó osztály alsó határa
me-1
 f - a gyakoriságok halmozott összege a mediánt
i
i 1
tartalmazó osztályig
 fme

– a mediánt tartalmazó osztály gyakorisága
i – az osztályközök nagysága
10
Példa: 5 éves időszak havi hozamainak értékei
dátum
BUX
(%)
dátum
BUX
(%)
dátum
BUX
(%)
dátum
BUX
(%)
dátum
BUX
(%)
27
dátum
BUX
(%)
2. 1.
-7,5
1. 5.
-19,0
1. 4.
35,3
1. 6.
32,3
1. 7.
-7,2
1. 7.
3,2
3. 1.
-0,2
2. 1.
4,1
2. 1.
7,8
2. 3.
2,4
2. 2.
11,3
2. 1.
-13,6
4. 5.
-11,2
3. 1.
1,6
3. 1.
9,8
3. 3.
-2,9
3. 2.
4,8
3. 1.
-2,4
5. 2.
-2,5
4. 3.
11,7
4. 1.
7,7
4. 1.
10,0
4. 1.
-1,2
4. 1.
9,0
6. 1.
-8,2
5. 2.
5,4
5. 2.
11,1
5. 5.
3,8
5. 4.
-17,5
5. 3.
4,6
7. 1.
4,9
6. 1.
-4,8
6. 3.
12,4
6. 2.
12,9
6. 2.
10,6
6. 1.
4,6
8. 1.
7. 3.
13,0
9. 1.
7. 1.
2,1
8. 1.
-8,5
10. 3.
8. 1.
9. 1.
11. 1.
-5,1
11. 1.
12. 1.
10. 1.
11. 3.
26,9
11. 2.
-6,8
12. 1.
12,5
-13,0
-7,3
2,0
12. 2.
2,9
9. 1.
10. 1.
11. 1.
-36,1
6,3
6,5
-0,9
8. 3.
9. 2.
10. 1.
3,5
-8,2
18,6
-6,1
-4,9
16,0
21,3
1,8
7. 1.
8. 1.
9. 3.
10. 2.
12. 1.
-12,9
5,2
16,9
7. 1.
12,5
12. 1.
20,2
5,5
11
osztályhatárok
fi
f’i
-40.00<=x<-30.00
1
1
-30.01<=x<-20.00
0
1
-20.01<=x<-10.00
6
7
-10.01<=x<0.00
17
24
0.01<=x<10.00
23
47
10.01<=x<20.00
13
60
20.01<=x<30.00
3
63
30.01<=x<40.00
2
65
összesen
65
Me  me xo
n  1 me -1
65  1
-  fi
 24
2
i 1

* i  0,01  2
*10  3,92
12
f me
23
HELYZETI KÖZÉPÉRTÉKEK
Módusz:
Diszkrét értékekkel rendelkező mennyiségek
esetén, a nagyság szerint rendezett statisztikai sor
leggyakoribb értéke.
Osztályközös gyakorisági sorból:
M o  moxo 
fmo
fmo  fmo 1
*i
 fmo 1   fmo  fmo 1 
13
osztályhatárok
fi
f’i
gi [%]
g’i [%]
-40.00<=x<-30.00
1
1
1.54
1.54
-30.01<=x<-20.00
0
1
0.00
1.54
-20.01<=x<-10.00
6
7
9.23
10.77
-10.01<=x<0.00
17
24
26.15
36.92
0.01<=x<10.00
23
47
35.38
72.30
10.01<=x<20.00
13
60
20.00
92.30
20.01<=x<30.00
3
63
4.62
96.92
30.01<=x<40.00
1
12
65
3.08
Moˆ  xi 0  xi1   (0,01  10)  5,05
összesen2
2
65
100.00
100.00
Nyers módusz
14
Kumulált
gyakoriság
fő
Fogmosási gyakoriság
alkalom
létszám
fő
451-470
3
3
471-490
9
12
491-510
11
23
511-530
22
45
531-550
179
224
551-570
159
383
571-590
136
519
591-610
17
536
611-630
1
537
15
n  1 me 1
  fi
2
i 1
Me  m ex 0 
*i
f me
269  3  9  11  22  179 
Me  550 
* 20  556 ,04
159
16
Mo  m ox 0 
( f mo
f mo  f mo 1
*i
 f mo 1 )  ( f mo  f mo 1 )
179 22
Mo  530
* 20  547,7
(179 22)  (179 159)
17
SZÁMÍTOTT KÖZÉPÉRTÉKEK
1. Számtani átlag:
Az észlelési adatok olyan középértéke, melyet az adatok
helyébe behelyettesítve az adatsor összege nem változik.
 Egyszerű számtani átlag: akkor alkalmazzuk, ha az
adatok gyakorisága egy vagy azonos.
n
X 
xi

i 1

n
18
SZÁMÍTOTT KÖZÉPÉRTÉKEK
 Súlyozott számtani átlag: Az átlag értékét a súlyok
aránya befolyásolja.
f1 x1  f2 x2    fn x n
X 
f1  f2    fn
n
X 
fi x i

i 1

n
fi

i 1

19
A számtani átlag sajátosságai
 leggyakoribb,
 érzékeny
 nem
a
a kiugró értékekre,
mindig tipikus érték
sor legkisebb és legnagyobb értéke között
helyezkedik el
 az
átlagtól vett eltérések előjel szerinti összege 0,
 négyzetes
minimum tulajdonság,
20
A számtani átlag sajátosságai

értéke nem változik, ha a súlyokat egyenlő arányban
változtatjuk, de változik, ha az átlagolandó értékek
bármelyikét megváltoztatjuk,

ha az átlagolandó értékekhez egy új állandó számot
hozzáadunk az eredeti értékek átlagából ugyanazon
állandó szám hozzáadása révén kaphatjuk meg az új
átlagot
21