Transcript (Leibnico požymis).

Alternuojančios
eilutės
Apibrėžimas
Eilutės, turinčios be galo daug teigiamų ir neigiamų narių vadinamos
kintamo ženklo eilutėmis. Paprasčiausia iš jų yra alternuojančioji eilutė:

 (1) an  a1  a2  a3  a4  ...  (1) an  ..., a n  0.
n 1
n 1
(1)
n 1
Tokios eilutės konvergavimo sąlygas apibūdina teorema.
Teorema (Leibnico požymis). Jeigu (1) alternuojančią eilutę sudarantys
nariai yra tokie, kad
1)
a1  a2  a3   ,
2)
liman  0 ,
n
tai (1) eilutė konverguoja ir jos suma yra teigiama nedidesnė už a1.
P.S. Jei bent viena Leibnico požymio sąlyga netenkinama, laikoma, kad
alternuojanti eilutė diverguoja.
Pavyzdys
Naudodamiesi Leibnico požymiu ištirkite, ar eilutė
konverguoja.
(1) n 1

n 1 2n  1

Sprendimas
Patikrinsime, ar duota eilutė tenkina Leibnico požymio sąlygas:
1
an 
2n  1
1
1
1
1
1
1

a1 
 1 a2 
a3 

2 * 2 1 3
2 *1  1 1
2 *3 1 5
Pastebime, kad a1 a2 a3....., nes kai n didėja, tai trupmenos vardiklis
didėja, o pati trupmena mažėja.
Toliau tikriname sąlygą, ar
lim an  0
n 
Suskaičiuojame šios sekos bendrojo nario ribą, kai n
Duotoji eilutė konverguoja, o jos
suma nedidesnė už 1.
P.S. Alternuojančio eilutės sumos ženklas prilauso nuo pirmo nario: jei
pirmas nays bus neigiamas, tai ir suma bus neigiama.
Absoliutus ir reliatyvus eilučių konvergavimas
Kintamo ženklo eilutė

c
n 1
n
vadinama konverguojančia absoliučiai, jei konverguoja iš jos narių
modulių sudaryta eilutė

c
n 1
n
.
Kai kintamo ženklo eilutė konverguoja, o modulių eilutė diverguoja, tai
sakoma, kad eilutė konverguoja reliatyviai.

Jei eilutė  cn
n 1

konverguoja, tuomet konverguoja ir eilutė
c .
n 1
n
Alternuojančių eilučių konvergavimonustatymo schema
Tikriname Leibnico požymio sąlygas
Jie tenkina Leibnico požymio
sąlygas, tai

Alternuojanti eilutė  a konverguoja.
n 1
n
Toliau tiriame modulių eilutę:

 an
Jei netenkina Leibnico požymio
sąlygos, tai alternuojanti eilutė
diverguoja
n 1
(Taikome pakankamus teigiamų narių
eilučių konvergavimo požymius.)
Jei modulių eilutė konverguoja,
tai alternuojanti eilutė konverguoja
absoliučiai.
Jei modulių eilutė diverguoja,
tai alternuojanti eilutė konverguoja
reliatyviai.
Alternuojančios eilutės suma
Jei alternuojančios eilutės, tenkinančios Leibnico požymio sąlygas,
sumą S keičiame daline suma Sn, tai darome paklaidą, ne didesnę
už pirmojo atmetamojo nario an+1 modulį, t.y.
S  S n  an 1 , n  N
1 Pavyzdys

1
Ištirkime eilutės (1)
konvergavimą.
2
n 3
n 1
1
an  2
Tirkime Leibnico požymio sąlygas:
n 3
1
1
1
a3 
a1 
a2 
12
7
4
n 1
Taigi gauname, kad a1  a2  a3  ...
Kita Leibnico požymio sąlyga taip pat tenkinama: lim
1
 0.
n  n 2  3
Taigi Leibnico požymio sąlygos tenkinamos, tai alternuojanti eilutė konverguoja.

Toliau tiriame modulių eilutę:  1
n 1
n2  3

1
Taikome ribinį palyginimo požymį. Palyginkime eilutę su Dirichlė eilute:  2
n 1 n
Ši eilutė konverguoja, nes laipsnis p=2>1.
Tikriname ribą lim a n  1 (0  1   ).
n
bn
1 

b

 n
.
2
n 

Gauname, kad modulių eilutė konverguoja, tai alternuojanti eilutė konverguoja
absoliučiai.
2 Pavyzdys
3n  1
konvergavimą.
2n
n 1
3n  1
Tirkime Leibnico požymio sąlygas: an 
2n
10
7
a1  2
a3 
a2 
6
4

Ištirkime eilutės (1)
n 1
Taigi gauname, kad a1  a2  a3  ...
3n  1 3
 .
Kita Leibnico požymio sąlyga taip pat tenkinama: lim
n 
2n
2
Taigi Leibnico požymio sąlyga netenkinama, tai alternuojanti eilutė diverguoja.
3 Pavyzdys

n 1
Ištirkime eilutės  (1)
n 1
5
3n
konvergavimą.
Tirkime Leibnico požymio sąlygas:
a( 1) 
l im
5
a( 2) 
3
5
n   3n
5
6
a( 3) 
a( n )  
5
5
3n
Taigi a1 >a2 >a3 >.. .
9
0
Taigi Leibnico požymio sąlygos tenkinamos, tai alternuojanti eilutė konverguoja.
 5
Toliau tiriame modulių eilutę:

n 1
Taikome Koši integralinį požymį:
3n





5
3n
dn  
1
Gauname, kad modulių eilutė diverguoja, tai alternuojanti eilutė konverguoja
reliatyviai.
4 Pavyzdys

1
0,01 tikslumu apskaičiuokime alternuojančios eilutės  (1) n1 3
apytikslę
n 1
n 1
1
sumą
a( n )  
1
3
a
(
n
)

Tirkime Leibnico
n  1 požymio sąlygas:
3
a( 1) 
1
a( 2) 
2
1
l im
3
1
9
n 1
Taigi
a1 >a2 >a13>.. .
a( 3) 
1
2a8
( 1) 
a( 2) 
2
9
1
0
n  n  1
Taigi Leibnico požymio sąlygos tenkinamos, tai alternuojanti eilutė konverguoja.
Todėl duotoji eilutė turi sumą S. Kai pirmasis atmetamas narys an+1 bus
mažesnis už 0,01, tai bus galima apskaičiuoti eilutės sumą norimu tikslumu.
a( 1)
a( 2)
a( 3)
a( 4)
a( 5)
 0 .5
 0 .11 1
 0 .03 6
 0 .01 5
 0 .00 79
S( n )  
n
0 .5  
0 .11 1 
0 .03 6 
0 .01 5 
0 .00 79 
( 1) k1 1 


3
k  1
k 1 

Pastebime, kad penktasis eilutės narys yra
mažesnis už norimą tikslumą, taigi
nuo šio nario visus kitus narius atmetame.
Sumuosime keturis eilutės narius:
S( 4)  0 .41
Taigi eilutės suma S  0,41 (0,01).
Funkcijų eilutės. Laipsninės eilutės.
• Eilutė, kurioje visi dėmenys yra funkcijos vadinama funkcijų (arba funkcine)
eilute

f
n 1
n
( x)  f1 ( x)  f 2 ( x)  ...  f n ( x)  ...
• Funkcijų eilutės konvergavimo sritimi vadinama aibė tų x reikšmių, su kuriomis
eilutė konverguoja.
• Funkcijų eilutė

c
n
n 0
x n  c0  c1 x  c2 x 2  ...,
kur x yra kintamasis, cn – realieji skaičiai, vadinama laipsnine eilute.
• Laipsninėmis eilutėmis vadinsime ir bendro pavidalo eilutes:

 an ( x  x0 ) n  a0  a1 ( x  x0 )  a2 ( x  x0 ) 2  ...
n 0
•Jei laipsninė eilutė konverguoja taške x=x0, tai ji konverguoja absoliučiai
intervale (-| x0 |; | x0 |).
•Jei laipsninė eilutė diverguoja taške x=x1, tai ji diverguoja intervale
. (, | x1 |)  (| x1 |, ).
Laipsninės eilutės konvergavimo intervalo nustatymas
Tarkime norime rasti laipsninės eilutės

 cn x n
n 0
konvergavimo intervalą.
Tuomet remsimės d’Alambero arba Koši radikaliniu požymiu. Taikydami šiuos
požymius, apskaičiuojame ribas
an 1 x n 1
lim
 L( x) arba
n
n 
an x
Reikalausime, kad
lim n an x n  L( x)
n 
L( x)  1
Išsprendę nelygybę gausime laipsninės eilutės konvergavimo intervalą.
Sprendimo metu dar reikės patikrinti ar intervalo galai taip pat priklauso
konvergavimo intervalui.
Laipsninės eilutės konvergavimo intervalo nustatymas
•Pavyzdys. Nustatykime laipsninės eilutės
𝑥 𝑛−1
∞
𝑛=1 (𝑛+1)∙3𝑛 ln(𝑛+1) konvergavimo
intervalą.
•Sprendimas. Taikome Dalambero požymį:
•Reikalaujame, kad būtų tenkinama nelygybė:
•Taigi intervale 𝑥 ∈ (−3, 3) duotoji laipsninė eilutė konverguoja.
•Tikriname intervalo galus: kai 𝑥 = −3 ir 𝑥 = 3.
Kai 𝑥 = −3 turime eilutę:
−1 𝑛+1
∞
𝑛=1 (𝑛+1)∙3𝑛 ln(𝑛+1)
. Ji konverguoja (tyrime taikome Leibnico požymį).
Kai 𝑥 = 3 turime eilutę:
1
∞
𝑛=1 (𝑛+1)∙3𝑛 ln(𝑛+1) . Ji diverguoja (tyrime taikome Dalambero požymį).
Teiloro ir Makloreno eilutės.
• Dėl laipsninių eilučių paprastumo jos naudojamos funkcijoms
išreikšti.
• Teiloro eilutė:

f ( x)  
n 0
f ( n ) (a)
f (a)
( x  a) n  f (a)  f (a)(x  a) 
( x  a) 2  ...
n!
2
• Makloreno eilutė

f ( x)  
n 0
f ( n) (0) n
f (0) 2
x  f (0)  f (0) x 
x  ...
n!
2
• Teiloro eilutė taikoma tada, kai nagrinėjama funkcija nėra apibrėžta
taške x=0 (pvz., f(x)=lnx), arba jos išvestinės neapibrėžtos (pvz.,
f(x)=x0.5).
Kai kurių elementariųjų funkcijų skleidiniai Makloreno eilute
.

n
2
3
x
x
x
e x    1  x    ... ,
2! 3!
n 0 n!
x  (;);
(1) n1 2 n1
x3 x5 x7
sin x  
x
 x     ... , x  (;);
3! 5! 7!
n 1 (2n  1)!

(1) n 2 n
x2 x4 x6
cos x  
x  1     ... ,
2! 4! 6!
n 0 (2n)!

x  (;);
(1) n1 2 n1
x3 x5 x7
arctg x  
x
 x     ... , x  (1;1);
3 5 7
n 1 2n  1

(1) n1 n
x 2 x3
ln(1  x)  
x  x    ... ,
n
2 3
n 1

x  (1;1);