Transcript Logaritminė funkcija

1
Logaritmas

Skaičiaus a logaritmu pagrindu b
vadiname skaičių c, kuriuo pakėlę b,
gauname a.
log b a  с, kai b  a
c

Reiškinys logba laikomas turinčiu prasmę,
kai a>0, b>0, b  1 .
2
Dešimtainis logaritmas

Kai logaritmo pagrindas b=10, tai
logaritmą vadiname dešimtainiu.
Dešimtainį logaritmą rašome
trumpiau:
log 10 100  lg 100
3
Natūrinis logaritmas

Kai logaritmo pagrindas e( 2,71...)
tai logaritmas vadinamas natūriniu
ir žymimas lne.
4
Pagrindinė logaritminė tapatybė

Su visomis a>0, b>0, b  1
reikšmėmis teisinga tokia lygybė:
b

logb a
a
Ši lygybė vadinama pagrindine
logaritmine tapatybe.
5
Logaritmų savybės


Logaritminiams reiškiniams, kurių
b>0, c>0,a>0, a  1 , būdingi šie
tapatieji pertvarkiai:
1.
log a 1  0
log 5 1  0

2.
log a a  1
log 2 2  1
6
Sandaugos ir dalmens logaritmas
3. log a b  log a c  log a (bc)
log 16 2  log 16 8  log 16 (2  8)  log 16 16  1
4.
b
log a b  log a c  log a
c
10
log 5 10  log 5 2  log 5  log 5 5  1
2
7
Laipsnio logaritmo savybės


5.
6.
log a b k  k log a b
1
2
log 2
1
1
2  log 2 2  log 2 2 
2
2
log a k
1
b  log a b
k
log 8 2  log 23

1
1
2  log 2 2 
3
3
7. log b k  log b
a
a
k
3
log 8 27  log 23 33  log 2 3  log 2 3
3
8
Pagrindo keitimo formulė
8.Su bet kuriais skaičiais a>0, b>0, a  1
b  1 ir x>0 teisinga lygybė:
log b x
log a x 
log b a
lg 10
log 6 10 
lg 6
9
9.
log a b  log b a  1
log 2 6  log 6 2  1
10.
a
logb x
36
x
log6 2
logb a
2
log6 36
2
log6 6 2
2 4
2
10
Apskaičiuokite:
1. log 11 11  log
log1 9
2.3

3
12
144 

3. log 2 12  log 2 3  3

log3 8 lg 5
11
Sprendimai:
1. log 11 11  log
144

12
1
2
 log 11 11  log
12 
2
1
12 2
1
1
  4  3
2
2
12
log 1 9
 3
2.3
3
 3
log3 9 1

log
3 1
 9
1
Arba
log1 9
9
3
3
9
 log3 3
log
3 1
9
3
1
9

1

9

1

9
13

3. log 2 12  log 2 3  3
12


  log 2
 8
3


 2  8
lg 5
lg 5
 10

log3 8 lg 5

 log 2 4  8
lg 5
lg 5

5
14
Logaritminė funkcija





Funkcija, apibrėžta teigiamųjų skaičių
aibėje lygybe y  log a x kai a>0, a  1,
vadinama logaritmine funkcija su
pagrindu a.
Logaritminė funkcija yra funkcijos y=ax
atvirkštinė.
Logaritminė funkcija apibrėžta teigiamųjų
skaičių aibėje.
Jos reikšmių aibė - visų realiųjų skaičių
aibė.
Kai a>1, funkcija didėja, kai 0<a<1 –
mažėja.
15
Grafikai
16
17
Logaritminės lygtys



Lygtys, kuriose nežinomasis yra logaritmo
pagrindo arba logaritmo reiškinyje,
vadinamos logaritminėmis lygtimis.
Išsprendus logaritminę lygtį reikia
patikrinti, ar gautos nežinomojo reikšmės
tikrai yra lygties sprendiniai.
Galima prieš sprendžiant nustatyti
logaritminės lygties apibrėžimo sritį ir
gavus nežinomojo reikšmes iš karto
atmesti tas, kurios į šią sritį neįeina.
18
Lygtys, sprendžiamos taikant logaritmo
apibrėžimą:
log 4 ( x 2  20)  2
x 2  20  4 2
x 2  36
x1  6
x 2  6
Patikrinimas :
kai x1  6, tai log 4 (6 2  20)  log 4 16  log 4 4 2  2
kai x 2  6, tai log 4 ( 6  20)  log 4 16  log 4 4 2  2 .
2
Ats. :  6; 6.
19
Logaritminių lygčių sprendimas,
remiantis logaritmo savybėmis
1
lg( x  6)  lg 2  lg 3  lg( x  10)
2

Apibrėžimo sritis:  x  6  0
x  6

 x  10

 x  10  0
 x  10
lg
x6
 lg( 3 x  10 )
2
x6
 3 x  10
2
x1  12, x 2  18
Ats. : 12, 18.
20
Išspręskite lygtį:
log 2 ( x  4)  log 2 ( x  6)  log 2 x
21
Sprendimas:
log 2 ( x  4)  log 2 ( x  6)  log 2 x
log 2  x  4 x  6  log 2 x
x  4x  6  x
x 2  10 x  24  x
x 2  11x  24  0
x1  3; x 2  8.
Patikrinimas :
kai x1  3, tai log 2 (3  4)  0,
kai x 2  8, tai
log 2 (8  4)  log 2 (8  6)  log 2 4  log 2 2  2  1  3
log 2 8  3
Ats. : 8.
22
Išspręskite lygtį:
x

 1
logx x 1
2
23
Sprendimas:

Apibrėžta, kai
x

logx x 2 1
 1
x  0

 x 1
x  1
x 2  1  0

x2 1  1
x2  2
x1 
2
x 2   2 netinka
Ats. :
2
24
Lygtys, sprendžiamos įvedant pagalbinį
kintamąjį:
log x  3 log 5 x  2  0
2
5
Apibrėžimo sritis: x>0
2
y
 3y  2  0
log 5 x  y
Keitinys
y1  1
y2  2
log 5 x  1
x1  5
log 5 x  2
x 2  25
Ats. : 5;25
25
Išspręskite lygtį:

lg2x3-10lgx+1=0
26
Sprendimas
lg2x3-10lgx+1=0
9lg2x-10lgx+1 =0
Apibrėžimo sritis: x>0
Keitinys: lgx =a
9a2-10a+1 =0
27
a1
a2
1

9
1
1
lg x 
9
x  9 10
lg x  1
x  10
Ats. :
9
10 ;10
28
Lygtys, sprendžiamos suvienodinant
pagrindus
log 3 x  log 9 x  log 27 x 
11
,
12
Apibrėžimo sritis, x>0
1
1
11
log 3 x  log 3 x  log 3 x 
2
3
12
11
11
log 3 x 
6
12
1
log 3 x 
2
x3
x
1
2
3
Ats. : 3
29
Logaritminės nelygybės
Sprendžiant logaritminę nelygybę log a f ( x)  b
galima vadovautis tokiu algoritmu:
1. Suteikiame jai pavidalą f(x)>ab
2. Randame nelygybės apibrėžimo sritį:f(x)>0
3. Palyginame logaritmo pagrindą su 1:
• jei a>1, tai sprendžiame nelygybę f(x)>ab;
• jei 0<a<1, tai sprendžiame nelygybę f(x)<ab.
4. Atsižvelgiame į nelygybės apibrėžimo sritį ir
rašome atsakymą.
30
Pavyzdys:
log 1 ( x 2  5 x  6)  1
2
1
log 1 ( x  5 x  6)  log 1  
2
2
2 
1
2
log 1 ( x 2  5 x  6)  log 1 2
2
2
1
Kadangi log aritmo pagrindas
1
2
tai nelygybė ekvivalenti nelygybių sistemai :
31
 x 2  5 x  6  2
 2
 x  5 x  6  0
 x 2  5 x  4  0
 2
 x  5 x  6  0
 x  1;4
 x  1;2  3;4

 x   ;2  3;  
Ats. : x  1;2  3;4
32
Išspręskite nelygybę:

lg(x2-6)-1<0
33
Sprendimas:
lg( x 2  6)  1
lg( x 2  6)  lg 10
kadangi log aritmo
pagrindas
10  1, tai
 x 2  6  10
 2
 x  6  0
 x 2  16  0
 2
 x  6  0
 x  (4;4)
 x   4  6; 

 x  (; 6 )  ( 6 ; )

 
6 ;4

Ats. : x  (4; 6 )  ( 6 ;4).
34
Nelygybių sprendimas, logaritmuojant
2 3
x
log 2 2 x  log 2 3
x log 2 2  log 2 3
x  log 2 3
Ats. : x  log 2 3
35
Išspręskite nelygybę:
1
 
2
x
3
36
Sprendimas
1
 
2
x
3
1
 1 , tai nelygybės
Kadangi logaritmo pagrindas
ženklą keičiame priešingu 2
1
log 1  
2
2
x log 1
2
x
 log 1 3
2
1
 log 1 3
2
2
x  log 1 3
2
Ats. : x  log 1 3
2
37
Logaritminė nelygybė su kintamuoju
pagrindu:
log u(x) f ( x)  log u ( x ) g ( x)
pakeičiama sistemų visuma:
0  u ( x)  1

 f ( x)  g ( x)
 f ( x)  0

u ( x)  1

 f ( x)  g ( x)
 g ( x)  0

38
Pavyzdys:
log x 3 ( x  1)  2
log x 3 ( x  1)  log x 3 ( x  3) 2
0  x  3  1

2
x

1

(
x

3
)

3  x  4
3 x4

2  x  5
Ats.:3<x<4,x>5.
x  3  1

2
x

1

(
x

3
)

x  4

( x  2)( x  5)  0
x  4
 x5

 x  2, x  5
39
Išspręskite nelygybę:
log x 4  log x 2
40
Sprendimas:
log x 4  log x 2
kadangi 4  2,
tai log aritmo pagrindas 0  x  1.
Ats. : 0  x  1.
41
Reikalavimai brandos egzaminams

Mokyklinis egzaminas





Suprasti kas yra
skaičiaus logaritmas
Mokėti pavaizduoti

paprasčiausių
logaritminių funkcijų
grafikus
Naudojantis
skaičiuokliu
apskaičiuoti skaičiaus
dešimtainio logaritmo
reikšmes
Valstybinis egzaminas
Taikyti logaritminių funkcijų
savybes uždavinių
sprendimui argumentuoti
Apskaičiuoti logaritminių
funkcijų reikšmes
42
Lygtys ir nelygybės

Spręsti
paprasčiausias
logaritmines lygtis


Sudaryti ir spręsti nesudėtingas logaritmines lygtis bei
dviejų lygčių su dviem kintamaisiais sistemas, kurių
viena lygtis yra logaritminė
Sudaryti ir spręsti nesudėtingas logaritmines nelygybes bei paprastas jų sistemas ( su vienu kintamuoju).
43