Transcript Document
МОУ СОШ №5 – «Школа здоровья и развития»
Решение заданий части С
ЕГЭ
по математике 2012 года
Автор: учитель математики Е.Ю. Семёнова
С1. Решите уравнение cos x sin x 2 sin 2x
Решение. ОДЗ: sin 2x 0.
cos x sin x 2 sin 2x
2
cos x sin x
2 sin 2x
2
cos x sin x 2 2sin2 2x
cos 2 x 2sin x cos x sin 2 x 2sin 2 2x
1 sin 2x 2sin 2 2x 0
2sin 2x sin 2x 1 0
2
sin 2x 1,
sin 2x 1 ;
2
C учетом ОДЗ:
sin 2x 1
π
2x 2πn , n Z
2
π
x πn , n Z
4
С2. В правильной треугольной пирамиде SABC известны
ребра: АВ = 24√3, SC = 25. Найдите угол, образованный
плоскостью основания и прямой, проходящей через
середины ребер АS и BC.
Решение.
S
Прямая AN является проекцией
прямой AS на плоскость основания.
Поэтому проекция точки М – точка
Н лежит на отрезке AN. Значит угол
M
25
MNH – искомый.
МН – средняя линия SAO,
AB 24√3
тогда NH = АО = R =
=
= 24.
С
А
√3
√3
H
O
2 – AO2 = ½√252 – 242
MH
=
½SO
=
½√SA
N
24√3
MH = 3,5; из п/у АМН:
В
Ответ: arctg 7/48.
tg MNH = MH : NH = 3,5 : 24 = 7/48.
MNH = arctg 7/48.
С3. Решите неравенство
Решение. ОДЗ:
x 2 8x 9 0,
x 13
0;
x 9
3log11 x 8х 9 4 log11
log11
2
3log11 x 8х 9 4 log11
2
х 13
11 х 9 11
х 9
х 9
x 8х 9 log11
4
3
х 1
3
3
х 9 х 1 х 9
log11
4
3
х 1
log11х 9 log1111
4
х 94 114
х 9 11
4
х 9
x ; 9 1; .
20 х 2
3
2
х 13
2
х
1 2
х
-20
C учетом ОДЗ:
-20
-9
x 20; 9; 1; 2
С4. Дан ромб ABCD с диагоналями АC = 24 и BD = 10. Проведена
окружность радиуса 5/√2 с центром в точке пересечения
диагоналей ромба. Прямая, проходящая через вершину В, касается
этой окружности и пересекает прямую CD в точке М. Найдите СМ.
Решение. 1 случай
А
13
В
α
5
O
β
D
Пусть точка М лежит между C и D,
Р – точка касания прямой ВМ с данной
окружностью
О – центр ромба ABCD, по т. Пифагора
CD = √OD2 + OC2 = √122 + 52 = 13.
Обозначим ОВМ = α, BDC = β.
Из п/у ОРВ и COD
OP 5 2
2
sin α
, α 45
OB
10
2
Р
M
С
OD
5
12
cos β
, sin β
.
CD 13
13
С4. Дан ромб ABCD с диагоналями АC = 24 и BD = 10. Проведена
окружность радиуса 5/√2 с центром в точке пересечения
диагоналей ромба. Прямая, проходящая через вершину В, касается
этой окружности и пересекает прямую CD в точке М. Найдите СМ.
Применяя т. синусов для ВМD получим,
что
DM
BD
, поэтому
sin MBD sin BMD
А
13
MD
В
α
5
O
β
Р
M
С
D
BD sin MBD
10 sin 45
sin BMD
sin180 45 β
5 2
5 2
sin45 β sin 45cos β cos 45 sin β
5 2
130
2 5
2 12 17
2 13 2 13
130 91
CM CD MD 13
.
17
17
С4. Дан ромб ABCD с диагоналями АC = 24 и BD = 10. Проведена
окружность радиуса 5/√2 с центром в точке пересечения
диагоналей ромба. Прямая, проходящая через вершину В, касается
этой окружности и пересекает прямую CD в точке М. Найдите СМ.
2 случай
Пусть теперь точка М лежит на продолжении стороны CD
за точку D. Тогда по т. о внешнем угле треугольника
BMD BDС MBD α.
5 2
5 2
5 2
MD
sin β 45 sin β cos 45 sin 45cos β 12 2
2 5
13 2
2 13
А
В
130
Р
7
α
5
130 221
13
CM CD MD 13
.
7
7
O
Ответ:
β
С
D
M
221 91
;
.
7 17
С5. Найдите все значения параметра а, при каждом из
которых система уравнений 4 у 3 12 3 х ,
2
y a 2 32у 3 х 2 .
имеет ровно 4 решения.
Решение. Преобразуем данную систему:
3 х 4 у 3 12,
3 х 4 у 3 12,
2
2
2
2
2
2
y
6
у
9
х
a
;
y
3
х
a
.
Пусть t = y – 3, тогда система примет вид:
3 х 4 t 12,
2
t х 2 a 2 .
1
2
Заметим, что количество решений полученной системы
совпадает с количеством решений исходной системы.
Построим графики уравнений (1) и (2) в системе координат Oxt.
С5.
t
График первого уравнения – ромб,
диагонали которого, равные 8 и 6,
лежат на осях Ох и Оt, а графиком
3
второго уравнения является
окружность с центром в начале
координат и радиусом r = a.
Графики уравнений системы имеют -4
ровно четыре общих точки, и,
следовательно, система имеет ровно
-3
4 решения, тогда и только тогда,
когда окружность либо вписана в ромб,
либо ее радиус удовлетворяет условию
3 < r < 4.
В первом случае радиус окружности является высотой
прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4, откуда
34
r a
2,4;
5
х
4
a 2,4.
В втором случае получаем 3 <a < 4, откуда −4 < a < −3; 3 < a < 4.
Ответ: а = 2,4; −4 < a < −3; 3 < a < 4.
С6.
Среди обыкновенных дробей с положительными
знаменателями, расположенных между числами 96/35 и
97/36, найдите такую, знаменатель которой минимален.
Решение. Так как
96
26
97
25
2
и
2
, то достаточно
35
35
36
36
найти правильную дробь с наименьшим знаменателем,
лежащую между числами
25
26
0,69 ... и
0,74 ..., а
36
35
затем прибавить к ней число 2. Среди дробей со
знаменателями 2, 3, 4, 5 и 6 нужных дробей нет, так как
1
2
2
3
3
0,69 ..., 0,69 ..., 0,69 ..., 0,75 0,74 ..., 0,69 ...,
2
3
4
4
5
4
4
5
0,75 , 0,69 ..., 0,75 .
5
6
6
Для знаменателя 7 получаем:
Ответ:
5
25 5 26
0,71 ..., т.е.
.
7
36 7 35
19
.
7