Transcript Document

МОУ СОШ №5 – «Школа здоровья и развития»
Решение заданий части С
ЕГЭ
по математике 2012 года
Автор: учитель математики Е.Ю. Семёнова
С1. Решите уравнение cos x  sin x  2 sin 2x
Решение. ОДЗ: sin 2x  0.
cos x  sin x  2 sin 2x
2
cos x  sin x 

2 sin 2x

2
cos x  sin x 2  2sin2 2x
cos 2 x  2sin x cos x  sin 2 x  2sin 2 2x
1  sin 2x  2sin 2 2x  0
2sin 2x  sin 2x  1  0
2
sin 2x  1,

sin 2x   1 ;

2
C учетом ОДЗ:
sin 2x  1
π
2x   2πn , n  Z
2
π
x   πn , n  Z
4
С2. В правильной треугольной пирамиде SABC известны
ребра: АВ = 24√3, SC = 25. Найдите угол, образованный
плоскостью основания и прямой, проходящей через
середины ребер АS и BC.
Решение.
S
Прямая AN является проекцией
прямой AS на плоскость основания.
Поэтому проекция точки М – точка
Н лежит на отрезке AN. Значит угол
M
25
MNH – искомый.
МН – средняя линия  SAO,
AB 24√3
тогда NH = АО = R =
=
= 24.
С
А
√3
√3
H
O
2 – AO2 = ½√252 – 242
MH
=
½SO
=
½√SA
N
24√3
MH = 3,5; из п/у  АМН:
В
Ответ: arctg 7/48.
tg MNH = MH : NH = 3,5 : 24 = 7/48.
 MNH = arctg 7/48.

С3. Решите неравенство
Решение. ОДЗ:

x 2  8x  9  0,

 x  13
 0;

 x 9

3log11 x  8х  9  4  log11
log11
2

3log11 x  8х  9  4  log11
2
х  13
 11  х  9  11
х 9
х 9
x  8х  9  log11
4
3
х  1


3
3

х  9 х  1 х  9
log11
4
3
х  1
log11х  9  log1111
4
х  94  114
х  9  11
4
х 9
 x   ;  9  1;   .
 20  х  2
3
2
х  13
2
х
1 2
х
-20
C учетом ОДЗ:
-20
-9
x   20;  9; 1; 2
С4. Дан ромб ABCD с диагоналями АC = 24 и BD = 10. Проведена
окружность радиуса 5/√2 с центром в точке пересечения
диагоналей ромба. Прямая, проходящая через вершину В, касается
этой окружности и пересекает прямую CD в точке М. Найдите СМ.
Решение. 1 случай
А
13
В
α
5
O
β
D
Пусть точка М лежит между C и D,
Р – точка касания прямой ВМ с данной
окружностью
О – центр ромба ABCD, по т. Пифагора
CD = √OD2 + OC2 = √122 + 52 = 13.
Обозначим ОВМ = α, BDC = β.
Из п/у ОРВ и COD
OP 5 2
2
sin α 


, α  45
OB
10
2
Р
M
С
OD
5
12
cos β 

, sin β 
.
CD 13
13
С4. Дан ромб ABCD с диагоналями АC = 24 и BD = 10. Проведена
окружность радиуса 5/√2 с центром в точке пересечения
диагоналей ромба. Прямая, проходящая через вершину В, касается
этой окружности и пересекает прямую CD в точке М. Найдите СМ.
Применяя т. синусов для ВМD получим,
что
DM
BD

, поэтому
sin MBD sin BMD
А
13
MD 
В
α
5
O
β
Р
M
С
D
BD sin MBD
10 sin 45


sin BMD
sin180  45  β 
5 2
5 2



sin45  β  sin 45cos β  cos 45 sin β
5 2
130


2 5
2 12 17



2 13 2 13
130 91
 CM  CD  MD  13 

.
17
17
С4. Дан ромб ABCD с диагоналями АC = 24 и BD = 10. Проведена
окружность радиуса 5/√2 с центром в точке пересечения
диагоналей ромба. Прямая, проходящая через вершину В, касается
этой окружности и пересекает прямую CD в точке М. Найдите СМ.
2 случай
Пусть теперь точка М лежит на продолжении стороны CD
за точку D. Тогда по т. о внешнем угле треугольника
BMD  BDС  MBD    α.
5 2
5 2
5 2
MD 



sin β  45 sin β cos 45  sin 45cos β 12 2
2 5



13 2
2 13
А
В
130


Р
7
α
5
130 221
13
CM  CD  MD  13 

.
7
7
O
Ответ:
β
С
D
M
221 91
;
.
7 17
С5. Найдите все значения параметра а, при каждом из
которых система уравнений 4 у  3  12  3 х ,

 2
y  a 2  32у  3  х 2 .
имеет ровно 4 решения.
Решение. Преобразуем данную систему:


3 х  4 у  3  12,
3 х  4 у  3  12,

 2
2
2
2
2
2


y

6
у

9

х

a
;


y

3

х

a
.


Пусть t = y – 3, тогда система примет вид:
3 х  4 t  12,
 2
t  х 2  a 2 .
1
2
Заметим, что количество решений полученной системы
совпадает с количеством решений исходной системы.
Построим графики уравнений (1) и (2) в системе координат Oxt.
С5.
t
График первого уравнения – ромб,
диагонали которого, равные 8 и 6,
лежат на осях Ох и Оt, а графиком
3
второго уравнения является
окружность с центром в начале
координат и радиусом r = a.
Графики уравнений системы имеют -4
ровно четыре общих точки, и,
следовательно, система имеет ровно
-3
4 решения, тогда и только тогда,
когда окружность либо вписана в ромб,
либо ее радиус удовлетворяет условию
3 < r < 4.
В первом случае радиус окружности является высотой
прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4, откуда
34
r a 
 2,4;
5
х
4
a  2,4.
В втором случае получаем 3 <a < 4, откуда −4 < a < −3; 3 < a < 4.
Ответ: а =  2,4; −4 < a < −3; 3 < a < 4.
С6.
Среди обыкновенных дробей с положительными
знаменателями, расположенных между числами 96/35 и
97/36, найдите такую, знаменатель которой минимален.
Решение. Так как
96
26
97
25
2
и
2
, то достаточно
35
35
36
36
найти правильную дробь с наименьшим знаменателем,
лежащую между числами
25
26
 0,69 ... и
 0,74 ..., а
36
35
затем прибавить к ней число 2. Среди дробей со
знаменателями 2, 3, 4, 5 и 6 нужных дробей нет, так как
1
2
2
3
3
 0,69 ...,  0,69 ...,  0,69 ...,  0,75  0,74 ...,  0,69 ...,
2
3
4
4
5
4
4
5
 0,75 ,  0,69 ...,  0,75 .
5
6
6
Для знаменателя 7 получаем:
Ответ:
5
25 5 26
 0,71 ..., т.е.
 
.
7
36 7 35
19
.
7