Transcript Differentialligninger før og nu

Differentialligninger før og nu
Eksamensopgaver
1976
• Løs differentialligningen
dy
2xy

dx
1 x2
• Tegn den integralkurve,
der indeholder punktet
A(1,1)
• Tegn den integralkurve,
der indeholder punktet
B(2,0)
2004
• En funktion f er løsning til
differentialligningen
dy 2 y

dx x  2
og grafen for f går
gennem punktet P(-1,4).
• Bestem en ligning for
tangenten til grafen for f i
punktet P.
• Bestem forskrift og
definitionsmængde for f.
Kort historisk gennemgang
1958 (grengymnasiet):
• eksempler på simple differentialligninger
• valgfrit emne
• fortrolige med anvendelser af matematikken inden for
andre fagområder
1971 (den lille gymnasiereform):
• forståelse af og evne til kritisk at analysere den
måde, hvorpå matematikken anvendes inden for
forskellige fagområder
1978:
• lommeregner indføres
Eksamensopgave 1982:
Om en funktion f oplyses, at f er løsning til
differentialligningen
dy y  1

,
dx
y
2
y 1
og at f(0)=2.
Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i
punktet P(0,2).
Bestem en forskrift for f.
Eksamensopgave 1983: (5c)
I en beholder med vand er vanddybden 0,5 m. Der
åbnes for en bundventil for at tømme beholderen.
Vandhøjden y, målt i meter, kan nu beskrives som en
funktion af tiden t, målt i sekunder. Under tømningen
aftager vandhøjden på en sådan måde, at den
hastighed, hvormed vandhøjden ændrer sig, til
ethvert tidspunkt er proportional med kvadratroden af
vandhøjden. Med de valgte enheder er proportionalitetsfaktorens værdi –0,04. Vandhøjden som funktion
af tiden er således fastlagt ved en differentialligning.
Opskriv denne differentialligning, og bestem den tid,
det tager at tømme beholderen.
1984 (standardforsøg i matematik):
• differentiallignerne y’=g(x), y’=ky, y’=y(b-ay),
y’=f(x)g(x) samt y’’=ky
• modelaspektet
- kendskab til opbygningen af matematiske
modeller
- indtryk af matematiske modellers
anvendelsesmuligheder og begrænsninger
1987 (valggymnasiet)
• differentialligninger som matematiske modeller skal
omtales
• hvordan anvendelse af infinitesimale betragtninger
fører til opstilling af differentialligninger
Eksamensopgave 1991:
En plante vokser i en potte. Plantens vægt y (målt i
kg) er en funktion af tiden t (målt i uger). I en model
for plantens vægt går man ud fra, at y opfylder
differentialligningen dy
dt
 0,004y(12,5  y )
Til tiden t = 0 er plantens vægt 1,0 kg.
Bestem en forskrift for y som funktion af t.
Bestem den øvre grænse for plantens vægt.
Hvor mange uger skal planten vokse, for at dens
vægt øges fra 1,0 kg til 90% af den øvre grænse?
2002 (standardforsøg):
• alle hjælpemidler tilladt
• kendskab til opstilling af differentialligninger
• opnå indsigt i, hvorledes en forelagt differentialligning
kan give information om karakteristiske egenskaber
ved en løsning
2005 (studieretningsgymnasiet):
• lineære differentialligninger af 1. orden og logistiske
differentialligninger, kvalitativ analyse af givne
differentialligninger samt opstilling af simple
differentialligninger (kernestof)
• differentialligningsmodeller, herunder både opstilling,
anvendelse og løsning af differentialligninger
(supplerende stof)
• anvende it-værktøjer til løsning af givne matematiske
problemer (faglige mål)
Modeller i Derive
• Forord
• 1. Introduktion til differentialligninger
Hældningsfelt
Eulers metode
Fjerde ordens Runge-Kutta
• 2. Opstilling af modeller
Populationsmodeller
Modeller for blandinger af stoffer
Differentialligningssystemer i Derive
Hvordan opstiller man modeller?
• 3. Analytiske løsninger til differentialligninger af 1. orden
• 4. Projekter.
1. Kemiske reaktioner
2. Matematiske fiskerimodeller
3. Eksplosiv befolkningsvækst
4. Skarvbestanden i Danmark
5. Logistisk model med høst
6. Vækst af mug på brød
7. Mikroorganismers vækst
8. Kolesterolniveauet i mennesker
9. Radioaktivt henfald
• 5. Opgaver