Transcript 9. ปัญหาการรอคอย

่
บทที 10 ปั ญหาการ
รอคอย
ภาคการศึกษา 1/2552
อ.นัทธปราชญ ์ นันทิวฒ
ั น์กล
ุ
ประเด็นบทที่ 10
- ลักษณะของปั ญหาการรอคอย
 - รูปแบบของปั ญหา
 - การแก ้ปั ญหาการรอคอย

ปั ญหาแถวคอย(Queuing Theory)
A.K. Erlang(1910) วิศวกรชาวเดนมาร์กเป็ นผู ้คิด
ทฤษฎีนี้ จากปั ญหาการสนับสนุนปั จจัยการผลิตใน
ิ ค ้าของโรงงานอุตสาหกรรม
การผลิตสน
 เกิดขึน
้ เนือ
่ งจาก ความต ้องการรับบริการไม่เท่ากับ
การให ้บริการ หรืออุปสงค์ในบริการมีมากกว่า
อุปทานของบริการ
ั ท์ทค
 ศพ
ี่ วรทราบ

 ลูกค ้า(Customer)
หรือ ผู ้รับบริการ(Arrival)
 หน่วยบริการ(Service Unit)
 ระบบคิว(Queuing System)
ลักษณะของปั ญหาการรอคอย

แยกได ้เป็ น 2
ด ้าน
 ด ้านผู ้ประกอบการ
ิ ค ้าและ
ผู ้ประกอบการต ้องการควบคุมต ้นทุนการให ้บริการสน
บริการตา่ ทีส
่ ด
ุ
ิ ค ้า
 ผู ้ประกอบการมีข ้อจากัดด ้านทรัพยากรในการให ้บริการสน
และบริการอาทิ จานวนแรงงานไม่เพียงพอ โต๊ะและเก ้าอีไ้ ม่
เพียงพอ
ิ ค ้าและบริการเกิดได ้ทัง้ ตลอดชว่ ง
 ข ้อจากัดในการให ้บริการสน
ระยะเวลาของการให ้บริการและ/หรือ บางชว่ งเวลาการ
ให ้บริการ

 ด ้านผู ้บริโภค

ิ ค ้าและบริการทีก
ี
การให ้บริการสน
่ อ
่ ให ้เกิดต ้นทุนค่าเสย
รูปแบบของระบบ
่ งทางเดียว-ขัน
ระบบแถวคอยแบบชอ
้ ตอนเดียว
(Single-channel-single-phase system) อาทิ
็ ยอดสมุดบัญชเี งิน
ระบบร ้านอาหารฟาสต์ฟด
ู ตู ้เชค
ฝาก
่ งทางเดียว-หลายขัน
 ระบบแถวคอยแบบชอ
้ ตอน
(Single-channel-multiple-phase system) อาทิ
ี ร์ในห ้างสรรพสน
ิ ค ้าทีม
่ งทางเดียว ตู ้
แคชเชย
่ ช
ี อ
ATM
่ งทาง-ขัน
 ระบบแถวคอยแบบหลายชอ
้ ตอนเดียว
(multiple-channel-single-phase system) อาทิ
่ งจ่ายเงินใน
จุดจ่ายยาในโรงพยาบาล ชอ

ระบบการให ้บริการ
ลูกค ้าทีม
่ าก่อนจะได ้รับบริการก่อน(first come first
serve: FCFS)
 ลูกค ้าทีม
่ าทีหลังจะได ้รับบริการก่อน (last come
first serve: LCFS)
 ลูกค ้าทีม
่ ค
ี วามจาเป็ นมากกว่าจะได ้รับบริการก่อน

ลักษณะของการเข ้ารับบริการของ
ลูกค ้า
เข ้ารับบริการในอัตราคงทีท
่ ก
ุ ชว่ งเวลา
 เข ้ารับบริการในอัตราไม่คงที่ หรือไม่แน่นอน
หรือไม่สมา่ เสมอ
แยกออกได ้เป็ น 2 รูปแบบ

 ไม่สามารถทราบความถีไ
่ ด ้แน่นอน
คือ ชว่ งทีห
่ นาแน่นหรือมี
ความถีก
่ ารเข ้ารับบริการมาก กับชว่ งทีห
่ นาแน่นน ้อย
หรือความถีก
่ ารเข ้ารับบริการน ้อย
 ทราบได ้ความถีไ
่ ด ้แน่นอน
แบบทีส
่ องนี้ การเข ้ารับบริการจะเรียนกว่าการ
่
เข ้ารับบริการแบบสุม
กรณีมก
ี ารแจกแจงแบบ Poison
Distribution
e  t (t ) n
P( x) 
n!
x  1,2,3...n
่ กค้าจะเข้าร ับบริกา
P(x)=ความน่ าจะเป็ นทีลู
X=จานวนลู กค้าต่อหน่ วยเวลา(คนต่อหน่ วย
้ั
t=จานวนเวลาให้บริการต่อครง(หน่
วยเวลา
=อ ัตราการเข้ามาร ับบริการ(คนต่อหน่ วยเ
e=2.7183
กรณีมก
ี ารแจกแจงแบบปกติ
P( x) 
t
n!
x  1,2,3...n
่ กค้าจะเข้าร ับบริกา
P(x)=ความน่ าจะเป็ นทีลู
X=จานวนลู กค้าต่อหน่ วยเวลา(คนต่อหน่ วย
้ั
t=จานวนเวลาให้บริการต่อครง(หน่
วยเวลา
=อ ัตราการเข้ามาร ับบริการ(คนต่อหน่ วยเ
ลักษณะของผู ้ให ้บริการ


ให ้บริการในอัตราคงทีท
่ ก
ุ ชว่ งเวลา
ให ้บริการในอัตราไม่คงที่ หรือไม่แน่นอน หรือไม่
สมา่ เสมอ
ึ่ จะทราบได ้ความถีไ่ ด ้แน่นอน
 ซง
คือ ชว่ งทีห
่ นาแน่นหรือมี
ความถีก
่ ารเข ้ารับบริการมาก กับชว่ งทีห
่ นาแน่นน ้อยหรือ
ความถีก
่ ารเข ้ารับบริการน ้อย
่
เวลาให
P(T)=ความน่ าจะเป็ นทีจะใช้
 เวลาการให ้บริการหาได ้จาก
P(T )  e
 ut
้ั
t=เวลาให้บริการต่อครง(หน่
วยเวลา
u=อ ัตราการให้บริการ(คนต่อหน่ วยเ
e=2.7183
ิ ใจ M/M/1
แบบจาลองการตัดสน

ลักษณะทีส
่ าคัญ
 ประชากรของระบบมีจานวนไม่จากัด
่
 อัตราการมารับบริการเป็ นแบบสุม
มีการแจกแจง
์ อง
แบบปั วสช
่ มีการแจกแจงแบบเอกซ ์
 เวลาการให ้บริการเป็ นแบบสุม
ี ล
โพแนนเชย
 มีระเบียบการให ้บริการแบบมากก่อนได ้รับบริการก่อน
 ไม่มจ
ี ากัดความยาวของแถวคอย
 มีหน่วยบริการเพียงหน่วยเดียวและเป็ นการบริการ
ขัน
้ ตอนเดียว
ั ลักษณ์ทใี่ ชในตั
้ วแบบแถวคอย
สญ
=
อัตราการเข ้ารับบริการ(คนต่อหน่วยเวลา)
=
อัตราการให ้บริการ (คนต่อหน่วยเวลา)
=
ความน่าจะเป็ นทีร่ ะบบจะทางาน
1 = เวลาโดยเฉลีย
้
่ ทีใ่ ชในการบริ
การลูกค ้า 1 คน
u
P0= ความน่าจะเป็ นทีร่ ะบบจะว่าง
L= จานวนลูกค ้าโดยเฉลีย
่ ทีอ
่ ยูใ่ นระบบ
Lq= จานวนลูกค ้าโดยเฉลีย
่ ทีอ
่ ยูใ่ นระบบแถวคอย
ี ไปในการรับบริการในระบบ
W= เวลาโดยเฉลีย
่ ทีล
่ ก
ู ค ้าแต่ละคนเสย
ี ไปในการรับบริการในระบบใน
Wq=เวลาโดยเฉลีย
่ ทีล
่ ก
ู ค ้าแต่ละคนเสย
การรออยูใ่ นแถวคอย
Pn= ความน่าจะเป็ นทีม
่ ล
ี ก
ู ค ้า n คนในระบบ
L

p


 

Lq 
 (   )
2
1
w
 

wq 
 (   )

P0  1 


Pn  P0  

n
่
ตัวอย่างเชน

ร ้านถ่ายเอกสารแห่งหนึง่ มีเครือ
่ งถ่ายเอกสาร 1
เครือ
่ ง ให ้บริการลูกค ้าตามลาดับก่อนหลัง ลูกค ้า
ทีเ่ ข ้ามารับบริการถ่ายเอกสารจะเข ้ารับบริการโดย
่ ได ้เท่ากับ 2 คนต่อนาที ซงึ่ เป็ นการแจกแจง
สุม
์ อง ทัง้ พนักงานประจาเครือ
แบบ ปั วสช
่ งถ่าย
เอกสารสามารถให ้บริการได ้เฉลีย
่ 4 คนต่อนาที
=
2
คนต่
อ
จงวิเคราะห์ระบบแถวคอยในการให ้บริการของร ้าน
ถ่ายเอกสารนี้ นาที
= 4 คนต่อ
นาที
2
คน
L
1
42
2
2
4
Lq 
  0.50
4 ( 4  2) 8
1
1
w
  0.50
42 2
2
2
wq 
  0.25
4( 4  2) 8
คน
นาที
นาที
2
p   0.50
4
2 2
P0  1    0.50
4 4
2
2
2
Pn  0.50  
 0.125
 4  16
n  2
ระบบแถวคอยของร ้านถ่ายเอกสารร ้านนีเ้ ฉลีย
่ แล ้วจะ
มีลก
ู ค ้า 1 คนอยูใ่ นระบบแถวคอย โดยที่ 0.50 คน
จะรอรับบริการอยูใ่ นแถวคอย ในขณะที่ 0.50 คน
กาลังรับบริการอยู่ ลูกค ้าแต่ละคนทีม
่ ารับบริการ
้
ถ่ายเอกสารโดยเฉลีย
่ จะใชเวลาคนละ
30 วินาที
้
และใชเวลารออยู
ใ่ นแถวคอยโดยเฉลีย
่ คนละ 15
วินาที ความน่าจะเป็ นทีเ่ ครือ
่ งถ่ายเอกสารจะ
ทางานและความน่าจะเป็ นทีเ่ ครือ
่ งถ่ายเอกสารจะ
ว่างเท่ากับร ้อยละ 50
ิ ใจ M/M/s
แบบจาลองการตัดสน

ลักษณะทีส
่ าคัญ
 ประชากรของระบบมีจานวนไม่จากัด
่
 อัตราการมารับบริการเป็ นแบบสุม
มีการแจกแจง
์ อง
แบบปั วสช
่ มีการแจกแจงแบบเอกซ ์
 เวลาการให ้บริการเป็ นแบบสุม
ี ล
โพแนนเชย
 มีระเบียบการให ้บริการแบบมากก่อนได ้รับบริการก่อน
 ไม่มจ
ี ากัดความยาวของแถวคอย
 มีหน่วยบริการมากกว่า 1 หน่ายบริการและเป็ นการ
บริการขัน
้ ตอนเดียว
ั ลักษณ์ทใี่ ชในตั
้ วแบบแถวคอย
สญ
=
=
=
อัตราการเข ้ารับบริการ(คนต่อหน่วยเวลา)
อัตราการให ้บริการ (คนต่อหน่วยเวลา)
ความน่าจะเป็ นทีร่ ะบบจะทางาน
้
่ ทีใ่ ชในการบริ
การลูกค ้า 1 คน
1 = เวลาโดยเฉลีย
u
P0= ความน่าจะเป็ นทีร่ ะบบจะว่าง
L= จานวนลูกค ้าโดยเฉลีย
่ ทีอ
่ ยูใ่ นระบบ
Lq= จานวนลูกค ้าโดยเฉลีย
่ ทีอ
่ ยูใ่ นระบบแถวคอย
ี ไปในการรับบริการในระบบ
W= เวลาโดยเฉลีย
่ ทีล
่ ก
ู ค ้าแต่ละคนเสย
ี ไปในการรับบริการในระบบใน
Wq=เวลาโดยเฉลีย
่ ทีล
่ ก
ู ค ้าแต่ละคนเสย
การรออยูใ่ นแถวคอย
Pn= ความน่าจะเป็ นทีม
่ ล
ี ก
ู ค ้า n คนในระบบ
S = จานวนหน่วยบริการ

L  Lq 

 
2!=2 3!=6 4!=24 5!=120 6!=720

p
s
s
 
u

Lq  P0
2
s!(1  p )
L
w  wq 

wq 
Lq

P0 
1
  
   
 u    u  * su
 n!
s!
su  
n
s
n

 


Pn  P0
s! s n  s

 


Pn  P0
n!
if
ns
if
ns
n
ตัวอย่าง

ธนาคารแห่งหนึง่ มีพนักงานรับจ่ายเงิน 5 คน
์ อง
ลูกค ้าเข ้ามารับบริการมีการแจกแจงแบบปั วสซ
ในอัตราเฉลีย
่ 24 คนต่อชม. ถ ้าพนักงานแต่ละคน
ให ้บริการลูกค ้าได ้ในอัตราเฉลีย
่ 6 คนต่อชม. โดยมี
์ อง ในปั จจุบันธนาคาร
การแจกแจงแบบปั วสซ
จัดระบบแถวคอยดังภาพ ให ้วิเคราะห์ระบบบริการ
ช่องบริการก
1 งานรั
ช่องบริ
2 ช่น
องบริการ 3 ช่องบริการ 4 ช่องบริการ 5
ของพนั
บกจ่ารายเงิ
คน 1
คน 2
อ ัตราการมาร ับบริการ  = 24
อ ัตราการให้บริการ
 = 6
จานวนหน่ วยให้บริการ s = 5
24

 0.80
5*6
P0 
1
0
1
2
3
4
5
 24   24   24   24   24   24 
           
 6    6    6    6    6    6  * 30
0!
1!
2!
3!
4!
5!
30  24
5
 24 
  (0.8)
6
Lq  0.013  
 2.218
2
5!(1  0.8)
 0.013
24
L  2.218 
 6.218
6
2.218
Wq 
 0.0924  5.50 Mini
24
1
W  0.0924   0.2591  15.5 Mini
6
จากผลการคานวณ แสดงว่าการให้บริการของพนัก
้
่
ธนาคารแห่งนี จะมี
ลูกค้าอยู ่ในระบบโดยเฉลียประมา
้ ้ จะมีลูกค้า 2 คนรออยู ่ในแถวคอย ลู กค้าแต่ละ
ทังนี
้ นค้า 15.50 นาท
พนักงานร ับจ่ายเงินจะใช้เวลาทังสิ
่
แถวคอยเฉลียคนละ
5.50 นาที
ิ ใจในปั ญหาแถวคอย
การตัดสน
ค่าใชจ่้ ายในการให ้บริการ(Cs) หมายถึง ค่าใชจ่้ าย
ทีเ่ กิดขึน
้ จากการจัดให ้มีหน่วยบริการ 1 หน่วยอาทิ
เงินเดือน ค่าไฟฟ้ า
้ ายในการรอคอย(Cw) หมายถึง ค่าใชจ่้ าย
 ค่าใชจ่
ทีเ่ กิดขึน
้ จากการทีห
่ น่วยบริการไม่สามารถ
ี เวลา
ให ้บริการลูกค ้าได ้ทันที ทาให ้ลูกค ้าต ้องเสย
ี เวลาทีเ่ กิดขึน
รอ รวมถึงค่าเสย
้ กับผู ้รับบริการ อาทิ
ี ไปจากการได ้รับบริการ
ผลประโยชน์ทส
ี่ ญ
ู เสย
ล่าชา้
min TC  s.Cs  L.Cw
้ ายทัง้ หมดในการบริการ(TC) หมายถึง
 ค่าใชจ่
