Transcript ทฤษฎีเครื่องจักรไฟฟ้าเหนี่ยวนำหลายเฟส

ทฤษฎีเครือ่ งจักรไฟฟ้าเหนี่ยวนา
ทฤษฎีเครือ่ งจักรไฟฟ้าเหนี่ยวนาหลายเฟส
เครือ่ งจักรเหนี่ยวนาในอ ุดมคติ
เครือ่ งจักรเหนี่ยวนา 3-เฟส ในอ ุดมคติ
แนวแกนของเส้นแรงแม่เหล็กของ Rotor แต่ละเฟสให้ทามุม  2 กับแนวแกนของ Stator
 2 = ความเร็วเชิงมุมของ Rotor
 2   2t
การต่อและลักษณะการไหลของกระแสสาหรับเครือ่ งจักรเหนี่ยวนา 3 เฟส
สาหรับ Slip
s
คงที่
 2  (1  s ) t
 = ความเร็วเชิงมุมทางไฟฟ้าของ Stator
ความสัมพันธ์ระหว่างแรงดันและกระแสในขดลวดทัง้ 6 ก็คือ
Stator :
v a  r1i a  p  a
v b  r1ib  p  b
v c  r1i c  p  c
Rotor :
v A  r2 i A  p  A
v B  r2 i B  p  B
v C  r2 iC  p  C
สมการของเส้นแรงแม่เหล็กที่คล้องระหว่างเฟสก็จะเป็น
Stator :
 a  L aa i a  L ab ( ib  ic )
0
0
 L aA  i A cos  2  i B cos ( 2  120 )  iC cos ( 2  120 ) 
 b  L aa ib  L ab ( i a  ic )
0
0
 L aA  i A cos ( 2  120 )  i B cos  2  iC cos ( 2  120 ) 
 c  L aa ic  L ab ( i a  ib )
0
0
 L aA  i A cos ( 2  120 )  i B cos ( 2  120 )  iC cos  2 
Rotor :
 A  L A A i A  L A B ( i B  iC )
0
0
 L a A  i a co s  2  ib co s ( 2  1 2 0 )  ic co s ( 2  1 2 0 ) 
 B  L A A i B  L A B ( i A  iC )
0
0
 L a A  i a co s ( 2  1 2 0 )  ib co s  2  ic co s ( 2  1 2 0 ) 
 C  L A A iC  L A B ( i A  i B )
0
0
 L a A  i a co s ( 2  1 2 0 )  ib co s ( 2  1 2 0 )  ic co s  2 
ตอนนี้จะพิจารณาว่า
i a  ib  i c  0
i A  i B  iC  0
ฉะนัน้ ในสมการของ Flux linkage ของ Stator และ Rotor ก็จะได้
Stator :
0
0
 a  L11ia  L aA  i A cos  2  i B cos ( 2  120 )  iC cos ( 2  120 ) 
0
0
 b  L11ib  L aA  i A cos ( 2  120 )  i B cos  2  iC cos ( 2  120 ) 
 c  L11ic  L aA  i A cos ( 2  120  )  i B cos ( 2  120  )  iC cos  2 
Rotor :
0
0
 A  L 22 i A  L aA  ia cos  2  ib cos ( 2  120 )  ic cos ( 2  120 ) 
0
0
 B  L 22 i B  L aA  ia cos ( 2  120 )  ib cos  2  ic cos ( 2  120 ) 
0
0
 C  L 22 iC  L aA  ia cos ( 2  120 )  ib cos ( 2  120 )  ic cos  2 
เมื่อให้
L11  L aa  L ab
L 22  L AA  L AB
การเปลี่ยนรูปตัวแปรให้เป็น dq
เมื่อป้อนกระแสเข้าไปให้กบั ขดลวดStator ทัง้ 3-เฟส
ค่า mmf ในแนวแกน d และ q ก็จะเป็น
0
0
F1 d  N a  ia cos  t  ib cos ( t  120 )  ic cos ( t  120 ) 
0
0
F1 q  N a   ia sin  t  ib cos ( t  120 )  ic cos ( t  120 ) 
ตัวแปรของกระแสบน Stator ตัวใหม่ก็จะเป็น
0
0
i1 d  k d  ia cos  t  ib cos ( t  120 )  ic cos (  t  120 ) 
0
0
i1 q  k q   ia sin  t  ib sin ( t  120 )  ic sin ( t  120 ) 
เลือกค่า kd และ kq ให้มีค่า 2/3
Components
ของ mmf ก็จะได้เป็น
F1 d 
Na
kd
i1 d
F1 q 
Na
kq
i1 q
กระแสในแนวแกน d และแกน q ก็คือ
i1 d  2
 i a co s  t  ib co s (  t  1 2 0 0 )  ic co s (  t  1 2 0 0 ) 

3
i1 q  2
  i a sin  t  ib sin (  t  1 2 0 0 )  i c sin (  t  1 2 0 0 ) 

3
เมื่อกลับความสัมพันธ์เพื่อหา ia ib และ ic ก็ขะได้
ia  i1 d cos  t  i1 q sin  t
ib  i1 d cos ( t  120 )  i1 q sin ( t  120 )
0
0
ic  i1 d cos ( t  120 )  i1 q sin ( t  120 )
0
0
การกระทาเหมือนกันนี้สามารถใช้ได้กบั Stator flux linkage และ Stator voltage
เช่นเดียวกับ Synchronous machines
Note :
i a  ib  i c  0
i A  i B  iC  0
เมื่อต้องการเปลี่ยนรูปของค่าใน Rotor ซึ่งเกี่ยวข้องกับการหมุน
ด้วยความเร็วซิงโครนัสในแนวแกน dq
ให้ เป็s นมุมจากแนวแกนของ Rotor เฟส A ถึงแนวแกน d
ถ้า Rotor หมุนไปด้วย Slip s แนวแกน d ก็จะนาหน้าไปเรือ่ ยๆ
เมื่อเทียบกับจุดบน Rotor ด้วยอัตรา
d s
dt
ให้ Subscript
 p s  s
s บนมุม  s เป็นค่า Slip
Component ของ Rotor-mmf
ก็จะเป็น
0
0
F2 d  N A  i A cos  s  i B cos ( s  120 )  iC cos ( s  120 ) 
0
0
F2 q  N A   i A sin  s  i B sin ( s  120 )  iC sin ( s  120 ) 
เมื่อใช้ Factor ทัว่ ๆ ไป 2/3 เหมือนกับใน Stator กระแสใน Rotor ส่วนที่เป็น dq ก็คือ
i2 d  2
 i A cos  s  i B cos ( s  120 0 )  iC cos ( s  120 0 ) 

3
i2 q  2
  i A sin cos  s  i B sin ( s  120 0 )  iC sin ( s  120 0 ) 

3
เมื่อกลับความสัมพันธ์ก็จะได้
i A  i2 d cos  s  i2 q sin  s
i B  i2 d cos ( s  120 )  i2 q sin ( s  120 )
0
0
iC  i2 d cos ( s  120 )  i2 q sin ( s  120 )
0
0
Matrix form ก็จะเป็นเช่นเดียวกับ Synchronous machines คือ
Stator :

cos 
 i1 d 

2
 
i
   sin 
 1q 
3
 i1 o 
 1 2
cos(  120 )
o
 sin(  120 )
cos 
 ia  
  
o
ib  cos(  120 )
  
 ic   cos(  120 o )
o
1
2

i 
 a
 
o
 sin(  120 )  ib
 

 ic 
1

2

cos(  120 )
o
 sin 
 sin(  120 )
o
 sin(  120 )
o
1   i1 d 
 
1 i1 q
 
1   i1 o 
Rotor :

cos  s
 i2 d 
2
 
i
   sin  s
 2q 
3
 i2 o 
 1 2

 iA 

 
o
 sin( s  120 )  i B
 

 iC 
1

2

cos( s  120 )
cos( s  120 )
o
o
 sin( s  120 )
cos  s
iA  
  
o
i B  cos( s  120 )
  
 iC   cos( s  120 o )
o
1
2
 sin  s
 sin( s  120 )
o
 sin( s  120 )
o
1   i2 d 
 
1 i2 q
 
1   i2 o 
ความสัมพันธ์ของเครือ่ งจักรในตัวแปรระบบ dq
มุม  2 อาจจะแทนได้ดว้ ย
2  t  s
Flux linkage ในร ูปของ dq
บน Stator และ Rotor ก็จะเป็ น
Stator :
1 d  L11i1 d  L12 i 2 d
1 q  L11i1 q  L12 i2 q
Rotor :
 2 d  L 22 i2 d  L12 i1 d
 2 q  L 22 i2 q  L12 i1 q
เมื่อ L12  3
2
L aA
แรงดันในเทอมของ dq ในรูปของ Flux linkage ก็จะเป็น
Stator :
v1 d  r1i1 d  p 1 d   1 q
v1 q  r1i1 q  p 1 q   1 d
Rotor :
v 2 d  r2 i 2 d  p  2 d   2 q ( p s )
v 2 q  r2 i 2 q  p  2 q   2 d ( p s )
Slip angular velocity
จะหาได้จาก
p s   s
เป็ น + เมื่อเป็น Motor operation
- เมื่อเป็น Generator operation
บน Stator ปกติค่า Transformer voltage จะน้อยกว่า Speed voltage มากๆ
จนละทิ้งได้
กาลังชัว่ ขณะที่ป้อนให้กบั Stator ทัง้ สามเฟสก็คือ
p1  v a ia  v b ib  v c ic
สามารถเขียนในรูปของ dq ได้เป็น
p1  3 ( v1 d i1 d  v1 q i1 q )
2
เมื่อเขียนในรูปของ Rotor ก็จะได้เป็น
pe  3
   2 q i2 d ( p s )   2 d i2 q ( p s ) 

2
p s เป็ นบวก Rotor ก็จะเคลื่อนที่ถอยหลังเมื่อเทียบกับแนวแกน dq
2
ฉะนัน้ ในเทอมของความเร็วก็คือ  ( p s )
poles
แรงบิด(เป็นบวกสาหรับการทางานเป็นมอเตอร์) ก็คือ
T 
3 P oles
2
2
(  2 q i2 d   2 d i2 q )
แรงบิดของความเฉื่อยที่ตอ้ งการเพื่อไปทาให้เกิดอัตราเร่งของชิ้นส่วนที่จะหมุนก็คือ
d0
T
 J
inertia
dt
d 0
2
 J
dt
2
 0 เป็ นมุมของตาแหน่งของเพลา
 0 เป็ นความเร็วเชิงมุมของเพลา
มุมนัน้ วัดเป็น Mechanical radians
1.การวิเคราะห์ใน Steady state
มอเตอร์ที่ทางานในขณะที่ Slip คงที่ s กับแรงดันสมด ุลที่ป้อนให้กบั Stator
และขดลวด Rotor ถ ูกลัดวงจรเอาไว้ ให้กระแสใน Stator ทัง้ สามเป็น
ia 
2 I 1 cos ( t   )
ib 
2 I 1 cos ( t    120 )
ic 
2 I 1 cos ( t    120 )
0
0
จากการเปลี่ยนรูปเป็นค่าในแนวแกน dq จะได้
i1 d 
2 I 1 cos 
i1 q 
2 I 1 sin 
i1 o  0
ผลในทานองเดียวกันนี้อาจจะเขียนได้สาหรับแรงดันที่ Stator และกระแสใน Rotor
ต้องจาไว้ให้ดีว่าแนวแกน d จะวางอยูใ่ นแนวเดียวกับแนวแกนของเฟส a เมื่อเวลา
t 0
กระแสในแต่ละเฟสบน Stator ก็คือ
i1  ia  i1 d cos  t  i1 q sin  t
หรือ i1  i1 d cos  t  i1 q cos ( t  90 0 )
สมการหลังส ุดสามารถเขียนในรูปแบบของ Phasor ได้เป็น
I 1  I 1 d  jI 1 q
เมื่อ
I1d 
i1 d
I1q 
2
i1 q
2
แรงดันแต่ละเฟสบน Stator และกระแสแต่ละเฟสบน Rotor ก็จะได้เป็ น
V1  V1 d  jV1 q
I 2  I 2 d  jI 2 q
เมื่อ
V1 d 
v1 d
I2d 
i2 d
2
2
V1 q 
I2q 
v1 q
2
i2 q
2
เมื่อแทนค่าสมการของ Flux linkage ลงในสมการของแรงดันและให้
p s  s
ผลก็คือ
Stator :
v1 d  r1i1 d   L11i1 q   L12 i 2 q
v1 q  r1i1 q   L11i1 d   L12 i 2 d
Rotor :
v 2 d  0  r2 i 2 d  s L 22 i 2 q  s  L12 i1 q
v 2 q  0  r2 i 2 q  s  L 22 i 2 d  s  L12 i1 d
รวมสมการของแรงดันบน Stator เข้าด้วยกันก็จะได้
V1 d  jV1 q  r1 ( I 1 d  jI 1 q )  j L11 ( I 1 d  jI 1 q )  j L12 ( I 2 d  jI 2 q )
รวมสมการของแรงดันบน Rotor เข้าด้วยกันก็จะได้
0 
r2
s
( I 2 d  jI 2 q )  j L 22 ( I 2 d  jI 2 q )  j L12 ( I 1 d  jI 1 q )
สองสมการนี้สามารถเขียนใหม่ได้เป็น
V1  r1 I 1  j L11 I 1  j L12 I 2
0
r2
s
I 2  j L 22 I 2  j L12 I 1
หรือ V1  r1 I 1  j ( L11  L12 ) I 1  j L12 ( I 1  I 2 )
0 
r2
s
I 2  j ( L 22  L12 ) I 2  j L12 ( I 1  I 2 )
และท้ายส ุด
V1  r1 I 1  jx1 I 1  jx ( I 1  I 2 )
0
r2
s
I 2  jx 2 I 2  jx ( I 1  I 2 )
ในสองสมการส ุดท้าย
x1   ( L11  L12 )  Stator leakage reactance
x 2   ( L 22  L12 )  R otor leakage reactan ce
x   L12  M agnetizing reactance
ค่าทัง้ หมดที่เทียบเป็ นค่าทางด้าน Stator วงจรก็จะเป็นดังรปู
จากสมการ
v 2 d  r2 i 2 d  p  2 d   2 q ( p s )
v 2 q  r2 i 2 q  p  2 q   2 d ( p s )
p s   s
เมื่อแรงดัน และTransformer voltage เป็นศูนย์ จะได้
2d  
2q 
r2 i 2 q
s
r2 i 2 d
s
แทนค่าสองสมการหลังส ุดนี้ลงในสมการของแรงบิด
T 
3 P oles
2
2
(  2 q i2 d   2 d i2 q )
จะได้
T 
3 poles 1
2
T  3
2
poles 1
2
Note :

I2d 

i2 d
2
(i
I
2
2
i )
2
2d
2
2q
r2
s
r2
s
I2q 
i2 q
2
แรงบิดสาหรับเครือ่ งจักรที่มีเฟสของ Stator q1 phase ก็จะเป็ น
T  q1
1
s
I
2
2
r2
s
Note :
s  
2
poles

4 f
poles
Mechanical radian
Steady state characteristic
การวิเคราะห์จากวงจรเปรียบเทียบ
กาลังงานกลนัน้ มีค่าเท่ากับแรงบิดคูณกับความเร็วเชิงมุม
ฉะนัน้ กาลังงานกลภายในที่ถ ูกแปลงโดยมอเตอร์ก็คือ
P  (1  s ) s T  q I r
2
1 2 2
1 s
s
ความสูญเสียในตัวนาบน Rotor
R otor copper loss  q1 I 2 r2
2
กาลังงานที่สง่ ผ่านข้ามช่องอากาศจาก Stator ไปยัง Rotor
Pq 1  q I
2
1 2
r2
s
วงจรเปรียบเทียบจะนิยมเขียนให้เป็นดังรปู
การใช้ Thevenin’s Theorem กับวงจรเปรียบเทียบ
Thevenin’s theorem
จากวงจรเปรียบเทียบ
เมื่อทาให้ง่ายลงโดยใช้ Thevenin’s theorem จะได้
V1a เป็นแรงดันที่เกิดขึ้นระหว่างขัว
้ a และ b เมื่อปลดวงจรของ Rotor
V1 a  V1  I 0 ( r1  jx1 )  V1
jx
r1  jx11
เมื่อ I0 เป็ น Exciting current ขณะไม่มีโหลดและ
x11  x1  x
อิมพีแดนซ์ระหว่างขัว้ a และ b เมื่อลัดวงจรแหล่งจ่ายแรงดันก็คือ
R1  jX 1  r1  jx1 เมื่อขนานกับ jx
ออกนัน่ คือ
Torque-Slip Characteristic
จาก Thevenin equivalent circuit จะเห็นว่าสมการของแรงบิดเป็น
T 
1
2
q1V1 a ( r2 / s )
 s ( R1  r2 / s )  ( X 1  x 2 )
Slip-torque curve
2
2
ก็จะเป็นดังรปู
s  0 เครือ่ งจักรทางานเป็นมอเตอร์
s  0 เครือ่ งจักรทางานเป็นเครือ่ งกาเนิด
แรงบิดภายในสูงส ุด หรือ Breakdown torque
r2

s m ax T
Tmax
เกิดขึ้นที่ Slip มีค่า smaxT
R1  ( X 1  x 2 )
2
2
Slip smaxT ขณะที่แรงบิ ดสูงส ุดก็คือ
r2
s m ax T 
R1  ( X 1  x 2 )
2
2
แรงบิดสูงส ุดก็คือ
Tm ax 
1
s R 
1
2
0.5 q1V1 a
R  ( X 1  x2 )
2
1
2
Curve
แสดงแรงบิด กาลังงาน และกระแส
Slip-torque curve
สาหรับมอเตอร์เหนี่ยวนาเมื่อความต้านทาน
ในวงจร Rotor เปลี่ยนแปลง
Electrical Transient
ในเครือ่ งจักรไฟฟ้าเหนี่ยวนา
กระแสเริม่ แรกสาหรับการเกิดการลัดวงจรสามเฟส
เพื่อหาค่าเริม่ ต้นของกระแส จะละทิ้งความต้านทานของ Stator
Transformer voltage บน Stator และ Speed voltage บน Rotor จะได้
Stator :
v1 d     1 q
v1 q    1 d
Rotor :
v 2 d  r2 i2 d  p  2 d  0
v 2 q  r2 i 2 q  p  2 q  0
Note :  2 q ( p s ) และ  2 d ( p s )  0
จาก Flux linkage บน Rotor
 2 d  L 22 i2 d  L12 i1 d
 2 q  L 22 i2 q  L12 i1 q
จะได้
i2 d 
 2 d  L12 i1 d
L 22
และเมื่อแทนค่าจะได้
1 d
2

L12
  L11 
L 22

1 d  L i1 d 
2
เมื่อ L   L11 
L12
L 22
L12
L 22

L12
2d
 i1 d 
L 22

2d
ในทานองเดียวกัน
1 q  L i1 q 
L12
L 22
2q
กระแสเริม่ ต้นเมื่อเกิดลัดวงจรจะเป็น
i1 d  
i1 q  
 L12
/ L 22   2 d 0
L
 L12
/ L 22   2 q 0
L
กระแส rms ของ Stator ก็จะได้
2q 0 
L12   2 d 0
I1   
 j



x
L 22  2
2 
1
เมื่อ x    L   T ransient reactance
ค่า rms ของ I 1 ซึ่งมีค่า
I1 
1
x
L12

1
L 22
2 d 0  2 q 0
2
2
2
การลดลงของกระแสลัดวงจร
i1 d  
เมื่อ i2 d 
ให้
L 22
r2
L12
L11
i2 d
L  L 22 di2 d
L11 r2
 0
dt
 T0 เป็น Transient time constant ของวงจร Rotor
ค่า Time constant ของ Stator ก็จะกลายเป็น
T   T0
L
L11
 T0
x
x11
 Stator transient tim e constant
ลักษณะกระแสลัดวงจรในฟังก์ชนั ของเวลาซึ่งจะลดลงดังในรปู
วงจรเปรียบเทียบขณะ Transient
ค่ากระแส rms เริม่ ต้นของ
การลัดวงจรก็จะกลายเป็น
I1 
E 1
x
ขนาด rms ของกระแสลัดวงจรที่เวลา t ใดๆ หลังจากลัดวงจรแล้วก็จะเป็น
I 1 
E 1
x
e
 t /T 
Induction Machine Dynamics
เมื่อมอเตอร์เหนี่ยวนามี Speed-torque curve ในขณะป้อนแรงดันตามพิกดั ดังในรูป
เส้น Curve ของแรงบิดต้องการเพื่อที่จะรักษาการหมุนของโหลดไว้ดงั ในรูป
ความเฉื่อยของโหลดและ Rotor คือ J
จะแสดงให้เห็นว่าเส้น Curve ของความเร็วในฟังก์ชนั ของเวลานัน้ จะสามารถหาได้
ที่ความเร็วใดๆ ของมอเตอร์  0 Mechanical radian ต่อวินาที
ความแตกต่างของแรงบิด  T ที่มอเตอร์ผลิตขึ้นมากับที่โหลดต้องการ
J
d0
 T
dt
เวลาที่ตอ้ งการเพื่อให้มอเตอร์หมุน  0 ก็คือ
0
t J

0
ในการ Integrate สามารถหาได้โดยวิธีเขียนกราฟ
โดยการพล็อต 1 /  T ในฟังก์ชนั ของ  0
และหาพื้นที่ระหว่างเส้น Curve และแกนของ o
ไปจนกระทัง่ ค่าที่เกี่ยวข้องถึง Upper limit
ของการ Integrate ดังแสดงในรูป
1
T
d0
Speed-time curve
ของมอเตอร์เหนี่ยวนาขณะเริม่ หมุน
1.การควบค ุมมอเตอร์ 2-เฟส
ไดอะแกรมของการควบค ุมมอเตอร์ 2-เฟส
Speed-torque curve
ของมอเตอร์ควบค ุม 2-เฟส
ระบบ Self-synchronous
ค ุณลักษณะของ Torque-angle ของระบบขณะความเร็วเป็นศูนย์
Maximum torque ของระบบ
Single-phase Instrument Types
Synchro Control Transformers
แบบฝึ กหัด 6.1, 6.4, 6.7, 6.8, 6.9, 6.16