Transcript Document 7504578

Chapter 10
Vectors and Motion In Space
170 121 Engineering Mathematics II
16 พฤศจิกายน 2547
Content
เนื้อหาในบทนี้
Cartesian Coordinate, vector และ operations ในสามมิติ, เส้นตรงและระนาบในสามมิติ,
พื้นผิวสามมิติ, vector-valued functions และ curve สามมิติ, ความยาวของ curve และ
unit vector ที่สัมผัสกับ curve
คาว่า Space (แปลตรงตัวว่า อวกาศ) ในทางคณิ ตศาสตร์ ไม่ได้หมายถึงที่ๆ ไม่มี
อากาศ แต่หมายถึง ที่ที่บรรจุระบบของเราเอาไว้ เช่นตัวเราเองก็อยูใ่ น Three
Dimensional Space คือเราอยูใ่ นระบบสามมิติที่มีท้ งั ความกว้าง ความยาวและความสู ง
(ความจริ ง Space ที่เราอยูม่ ีมากกว่าสามมิติ เช่นทฤษฎีสัมพัทธภาพได้นบั เอาเวลา
เป็ นอีกมิติหนึ่ง และอาจจะมีมิติมากกว่านี้ที่เหนือการรับรู ้ของเราแต่เนื้อหาของเราใน
วิชานี้ใช้แค่ Space สามมิติกเ็ พียงพอ)
2
Cartesian Coordinate
การบอกตาแหน่งใน 3 มิติ เรานิยมใช้ Cartesian Coordinate ซึ่ งประกอบ
ด้วยเลข 3 ตัว (x,y,z) ซึ่ งแทนระยะทางตามแนวแกน X, Y และ Z ตามลาดับ
วัดเทียบกับจุด Origin (0,0,0)
แกน X แกน Y และแกน Z จัดเรี ยงตามระบบมือขวา (Right Hand System)
ดังรู ป กล่าวคือ ถ้านิ้วมือขวาทั้ง 4 กวาดจากแกน X ไปยังแกน Y แล้ว นิ้วหัวแม่มือจะชี้
ไปทางแกน Z
Z
Z
P(x,y,z)
z
(0,0,0)
X
C
Y
x
y
X
Y
3
Cartesian Coordinate
Cartesian Coordinate มีชื่อเรี ยกอีกชื่อว่า Rectangular Coordinate
เนื่องจากว่า แกน X, Y, Z ตั้งฉากกันดังนั้นจุด (x,y,z) ก็คือจุดยอดของกล่อง
สี่ เหลี่ยม (Rectangular box) จุดที่อยูต่ รงข้ามกับจุด (0,0,0)
Z
P(x,y,z)
(0,0,0)
Y
X
4
Octants
เมื่อเราใช้แกน XYZ เป็ นแกนอ้างอิง (Reference frame) เราสามารถแบ่ง
Space โดยใช้ระนาบ x=0, ระนาบ y=0 และระนาบ z=0 ออกเป็ น 8 ส่ วนเท่าๆกัน
เรี ยกว่า Octant ส่ วนที่ x เป็ น +, y เป็ น +, z เป็ น + เรี ยกว่า First Octant
ระนาบ y=0
(เรี ยกว่า XZ plane)
Z
ระนาบ x=0
(เรี ยกว่า YZ plane)
Y
X
ระนาบ z=0
(เรี ยกว่า XY plane)
5
Cylinder
ใน 3 มิติเราสามารถสร้างพื้นผิวของทรงกระบอก
ที่มีแกน Z เป็ นแกนกลางได้จากสมการ
x y R
2
2
2
โดย R คือรัศมีของทรงกระบอก
(ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus)
สมการนี้ออกมาเป็ นพื้นผิวทรง
กระบอกได้เพราะว่า ค่า z ไม่ได้
ถูกระบุไว้ในสมการ แปลว่า z
จะเป็ นอะไรก็ได้ ดังนั้นที่ความสู ง
z = ค่าคงที่ใดๆ เราก็จะได้
วงกลม 1 เสมอ เมื่อนาวงกลมที่
ทุกๆค่า z มาต่อกันก็จะได้ผิว
6
ทรงกระบอกออกมา
Component Form of a Vector in Space
เราสามารถอธิบาย vector ใน Space 3 มิติได้หลายรู ปแบบ เช่น
แบบ Component Form
V  v1 , v2 , v3
v1, v2, v3 คือส่ วนประกอบของ V
ในแนวแกน X,Y, Z ตามลาดับ
Z
V
X
v2
v3
Y
v1
7
Standard Unit Vectors For 3D Space
เราสามารถอธิบาย vector โดยใช้ standard unit vector ดังนี้
V  v1 i  v2 j  v3 k
โดย i j k คือ standard
Unit vectors ตามแนวแกน X, Y,
Z ตามลาดับ ดังรู ป
Z
V
k
j
Y
i
X
8
Position Vector
เมื่อเราใช้ vector ในการบอกตาแหน่ง เราเรี ยก vector นี้วา่ Position vector
เช่น
r  x, y, z
เป็ น Position vector ของจุด P(x,y,z)
(ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus)
9
Directed Line Segment
PP
1 2  ( x2  x1 )i  ( y2  y1 ) j  ( z2  z1 )k
10
(ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus)
Magnitude of Vectors
ขนาดของ vector สามารถคานวณได้จากสู ตร
V  v12  v22  v32
11
(ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus)
Unit Vector
ใช้ในการบอกทิศทางของ vector โดยขนาดของ unit vector จะเป็ น 1 เสมอ
V
V

v1 i  v2 j  v3 k
v12  v22  v32
เราสามารถเขียน vector V ในรู ปของ “ขนาดและทิศทาง” ได้ดงั นี้
V
VV 
V

ขนาดของ V




ทิศทางของ V
12
Dot Product
นิยาม
U V  u1v1  u2v2  u3v3
 U V cos 
เป็ น operation ระหว่าง vector กับ vector ที่ได้ผลเป็ น Scalar
สามารถใช้หามุมระหว่าง vector สองตัวได้
  cos
1
U V
U V
ถ้า U ตั้งฉากกับ V จะได้
U V  0
13
Properties of Dot Product
1.
U V  V U
2.
cU V  V  cU  c V U
3.
U  V  W  U V  U W


4.
U U  U
5.
U 0  0


2
14
Vector Projection
Projection of U onto V หมายถึงส่ วนประกอบของ U
ในทิศทางเดียวกับ V

V
Proj V U   U 

V

Proj V U
 V  U V


 V  V V


V

15
(ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus)
Vector Project
เราสามารถแบ่ง U ออกเป็ น 2 ส่ วนประกอบ

U  Proj V U  U  Proj V U
ส่ วนประกอบของ U
ที่ขนานกับ V

ส่ วนประกอบของ U
ที่ต้ งั ฉากกับ V
16
(ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus)
Cross Product
นิยาม


U  V  U V sin  n
เป็ น Operation ระหว่าง U กับ V ที่ให้ผลเป็ น
vector อีกตัวที่ต้ งั ฉากกับทั้ง U และ V
(นับตามตามกฎมือขวา)
17
(ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus)
Cross Product
ขนาดของ U  V  U V sin เท่ากับพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน
(Parallelogram) ที่มีดา้ นประกอบเป็ น U และ V
18
(ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus)
Properties of Cross Product
1.
U V  V U
19
(ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus)
Properties of Cross Product


2.
rU  sV   rs  U V
3.
U  V  W  U V  U W
4.
V  W  U  V U  W U
5.
U  0  0 U  0


20
Cross Products of Standard Unit Vectors
i j  k
jk  i
i
k i  j
บวก
j
k  j  i
ik   j
j
i
k
i i  0
-
j  i  k
k
i
ลบ
-
k
j
j j  0
-
k k  0
21
Determinant Formula for Cross Product
i
j
k
U  V  u1 u2
v1 v2
u3
v3
i
j
 u1 u2
v1 v2
u2v1 k u3v2 i u1v3 j
k i j
u3 u1 u 2
v3 v1 v2
u2v3 i u3v1 j u1v2 k
  u2v3  u3v2  i   u3v1  u1v3  j   u1v2  u2v1  k
22
Application of Cross Product: Torque
Torque ในทางกลศาสตร์ หมายถึงแรงกระทาที่ทาให้เกิดการหมุน คานวณได้จาก
Torque  r  F
23
(ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus)
Box Product (Triple Scalar Product)
นิยาม Box product ระหว่าง U V W
(เรี ยงตามลาดับ) คานวณจาก


 U V W  U V W cos
มีค่าเท่ากับปริ มาตรของ parallelpiped ดังรู ป
24
(ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus)
Formula for Box Product
Box product สามารถคานวณได้โดยใช้สูตร Determinant ดังนี้
u1
U V  W  v
1
w1
u2
u3
v2
w2
v3
w3
คุณสมบัติของ Box product
    
U V  W  U  V W 

1. U V W  V W U  W U V
2.
25
Lines in Space
เราสามารถสร้างเส้นตรงได้ ก็ต่อเมื่อเรารู ้จุด P0 ที่เส้นตรงลากผ่าน และทิศทาง v
ของเส้นตรง
(ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus)
เมื่อเรารู ้วา่ เส้นตรงผ่านจุด P0 และ P เราจะได้วา่ vector P0 P ขนานกับ v
กล่าวคือ
P0 P  t v
t เป็ นค่า scalar ค่าหนึ่ง
26
Equations for a Line in Space
จาก P0 P  t v และ P0 P  ( x  x0 )i  ( y  y0 ) j  ( z  z0 )k
เราได้

( x  x0 )i  ( y  y0 ) j  ( z  z0 )k  t v1 i  v2 j  v3 k

เขียนให้อยู่ Parametric Equations for a Line เราได้
x  x0  v1t
y  y0  v2t
z  z0  v3t
เราสามารถคานวณหาจุดใดๆบนเส้นตรงนี้ได้ตามสมการข้างบนนี้
ถ้าเขียนในรู ป vector equation เราจะได้
โดย r  x, y, z
r  r0  vt
r0  x0 , y0 , z0
Position
vector
27
Example: Lines in Space
จงเขียนสมการเส้นตรงที่ผา่ นจุด (-2,0,4) และ (0,4,2)
วิธีทา 1. คานวณทิศทาง
v  P0 P1
 (0  (2))i  (4  0) j  (2  4)k
 2i  4 j  2k
2. เขียนสมการ
0
x  2  2t
y  4t
z  4  2t
28
(ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus)
Distance Between a Point and a Line
ระยะทางจากจุด S ถึงเส้นตรง L คานวณได้จาก
 PS sin   PS 
V
V
L
29
Planes in Space
เราจะสร้างระนาบได้กต็ ่อเมื่อเราทราบตาแหน่งของจุด P0 ที่อยูบ่ นระนาบและ
Vector n ที่ต้ งั ฉากกับระนาบ (Normal vector)
(ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus)
เนื่องจาก n ตั้งฉากกับระนาบ ดังนั้น Dot product ระหว่าง vector ใดๆใน
30
ระนาบกับ n จะเป็ น 0 เสมอ
Equations for a Plane in Space
ให้ P0(x0,y0,z0) และ P(x,y,z)
เป็ นจุดใดๆบนระนาบ M เราจะได้
P0 P  ( x  x0 )i  ( y  y0 ) j  ( z  z0 )k
เป็ น vector บนระนาบ M ดังนั้นเราจะได้สมการของระนาบเป็ น
n  P0 P  0
เมื่อ n  Ai  B j  Ck
เป็ น normal vector ของระนาบ M
31
Equations for a Plane in Space
จากสมการระนาบ
n  P0 P  0
เราสามารถเขียนเป็ น
 Ai  B j  Ck    ( x  x )i  ( y  y ) j  ( z  z )k   0
0
0
0
จะได้
A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0
หรื อ
โดย
Ax  By  Cz  D
D  Ax0  By0  Cz0
32
Example: a Plane in Space
จงสร้างสมการของระนาบที่ผา่ นจุด A(0,0,1), B(2,0,0) และ C(0,3,0)
วิธีทา
1. สร้าง vector 2 ตัวที่อยูบ่ นระนาบนี้
AB 
AC 
2. คานวณ normal vector ของระนาบ
n  AB  AC 
3. จัดรู ป
n  P0 P  0
=
33
Example: a Plane in Space
ระนาบที่ผา่ นจุด A(0,0,1), B(2,0,0) และ C(0,3,0)
34
(ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus)
Lines of Intersection Between Planes
เราสามารถคานวณหาทิศทาง v ของเส้นตรงที่เกิดจากการตัดกันของระนาบได้จาก
v  n1  n2
35
(ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus)
Example: a Line of Intersection Between Planes
จงคานวณหาเส้นตรงที่เกิดจากการตัดกันระหว่างสองระนาบ
2x  y  2z  5
3x  6 y  2 z  15
1. คานวณทิศทางของเส้นตรง
v  n1  n2 
2. คานวณหาจุดที่เส้นตรงผ่าน
3. สร้างสมการเส้นตรง
36
Distance Between a point and a Plane
ระยะทางจากจุด S ถึงระนาบ M
คานวณได้จาก
 PS cos   PS 
n
n

M
37
(ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus)
Example: Distance Between a point and a Plane
PS 
n
PS 
n
n

38
Cylinders
ตามปกติเมื่อพูดถึง Cylinder เรามักจะนึกถึง ท่อทรงกระบอกกลมๆ แต่ในที่น้ ี
Cylinder ไม่ได้จากัดอยูท่ ี่ทรงกระบอกกลมๆอย่างเดียว แต่ Cylinder หมายถึง
พื้นผิวที่ประกอบขึ้นมาจากเส้นตรงที่ขนานกับเส้นตรงเส้นหนึ่ งที่กาหนดให้
ตัวอย่าง
สมการ y  x 2 ใน space
3 มิติคือรู ปนี้
เส้นตรง x0 i  x j  zk ขนานกับ
แกน z เสมอ ไม่วา่ x0 เป็ นค่าอะไร
2
0
39
(ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus)
Example: Cylinder
x 2  4 z 2  4 คือพื้นผิวในรู ป
40
(ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus)
Cylinders
จากตัวอย่างจะเห็นว่า
- ถ้าสมการของ Cylinder อยูใ่ นรู ป f(x,y) = c เราจะได้ Cylinder ที่ประกอบ
ด้วยเส้นตรงที่ขนานกับแกน Z
- ถ้าสมการของ Cylinder อยูใ่ นรู ป f(x,z) = c เราจะได้ Cylinder ที่ประกอบ
ด้วยเส้นตรงที่ขนานกับแกน Y
สรุ ปได้ ว่า
สมการของ 2 ตัวแปรในระบบ Cartesian coordinate 3 มิติ
คือสมการของ Cylinder ทีข่ นานกับแกนของตัวแปรทีเ่ หลือ
อย่างไรก็ตาม Cylinder ไม่จาเป็ นที่จะต้องขนานกับแกนใดแกนหนึ่ งเสมอไป
Cylinder อาจจะวางเฉี ยงๆก็ได้
41
Example: Cylinder
พื้นผิวของ Cylinder
y2  z2  1
(ขนานกับแกน X)
42
(ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus)
Quadric Surfaces
Quadric Surface เป็ น graph ใน Space ของสมการดีกรี 2 ของตัวแปร
x,y, และz โดยมีรูปแบบทัว่ ไปดังนี้
Ax 2  By 2  Cz 2  Dxy  Eyz  Fxz  Gx  Hy  Jz  K  0
(1)
โดย A, B, C, D, E, F, G, H, J และ K คือค่าคงที่
สาหรับใน 2 มิติเราคงจะคุน้ เคยกับ Ellipses, Parabolas และ Hyperbolas
เช่นเดียวกัน ใน Space 3 มิติเรามี Quadric Surfaces ที่สาคัญคือ
Ellipsoids, Paraboloids, Elliptic Cones และ Hyperboloids
สาหรับทรงกลม (Sphere) นับเป็ น Ellipsoid แบบหนึ่ง
43
Analysis of Quadric Surface
เวลาที่เราต้องการวิเคราะห์ถึงรู ปร่ างของ Quadric surface ว่าเป็ นอย่างไร เรามักจะ
นิยมสังเกตที่ Graph ที่เกิดจากการตัดกันของ Quadric surface กับระนาบ XY,
ระนาบ YZ และระนาบ XZ (ระนาบเหล่านี้เรี ยกว่า Coordinate planes)
เมื่อต้องการดู Graph ที่เกิดจากการตัดกันของ Surface กับระนาบ YZ เราสามารถ
ทาได้โดยการตั้งค่าให้ x ในสมการของ Quadric surface เป็ น 0
เมื่อต้องการดู Graph ที่เกิดจากการตัดกันของ Surface กับระนาบ XY เราสามารถ
ทาได้โดยการตั้งค่าให้ z ในสมการของ Quadric surface เป็ น 0
เมื่อต้องการดู Graph ที่เกิดจากการตัดกันของ Surface กับระนาบ XZ เราสามารถ
ทาได้โดยการตั้งค่าให้ y ในสมการของ Quadric surface เป็ น 0
Graph ที่เกิดจาการตัดกันของระนาบกับ Quadric Surface จะเป็ น Curve
ในเรื่ องภาคตัดกรวย
44
Ellipsoid
สมการทัว่ ไปของ Ellipsoid ที่มีจุดศูนย์กลางที่ (0,0,0) คือ
x2 y 2 z 2
 2  2 1
2
a
b
c
(2)
c
Ellipsoid ที่มีจุดศูนย์กลางที่ (0,0,0) จะมี
จุดตัดแกน X ที่ (a,0,0) และ (-a,0,0)
a
b
มีจุดตัดแกน Yที่ (0,b,0) และ (0,-b,0)
มีจุดตัดแกน Z ที่ (0,0,c) และ (0,0,-c)
-c
(ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus)
45
Cross Sections of an Ellipsoid
เมื่อ set ให้ z = z0 เราได้
x 2 y 2 z02
 2  2 1
2
a
b
c
เมื่อ set ให้ z = 0 เราได้วงรี
เมื่อ set ให้ x = 0 เราได้วงรี
46
(ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus)
Cross Sections of an Ellipsoid
จะเห็นว่า Cross sections ของ Ellipsoid กับ Coordinate planes
จะเป็ นสมการของวงรี (Ellipse) เสมอ
สาหรับ Cross section ของ Ellipsoid กับระนาบ z = z0 เราจะได้
x 2 y 2 z02
 2  2 1
2
a
b
c
จัดรู ปใหม่เป็ น
x2
y2
 2
1
2
2
2
a (1  ( z0 / c) ) b (1  ( z0 / c) )
ซึ่ งยังคงเป็ นสมการของวงรี
ถ้าค่า a,b,c ของสมการ Ellipsoid คู่ใดคู่หนึ่งเท่ากันเราเรี ยกว่า Ellipsoid
of Revolution และถ้าค่า a,b,c เท่ากันทั้งหมดเราจะได้ทรงกลม (Sphere)
47
Elliptic Paraboloid
สมการทัว่ ไปของ Elliptic Paraboloid ที่สมมาตรกับแกน X และ Y คือ
2
2
x
y
z
 2 
2
a b
c
(3)
สมการนี้ผา่ นจุด Origin (0,0,0)
ซึ่ งเป็ นจุด Vertex ของ Graph
และมีแกน z เป็ นแกนของ Paraboloid
(0,0,0)
รู ปทรงของจานรับส่ งสัญญาณดาวเทียม
โดยทัว่ ไปที่ใช้ในการสื่ อสารเป็ นทรงของ
Elliptic Paraboloid ที่มีค่า a = b
48
(ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus)
Cross Sections of Paraboloid
เมื่อ set ให้ y = 0 เราได้
เมื่อ set ให้ z = c เราได้วงรี
เมื่อ set ให้ x = 0 เราได้
49
(ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus)
Cross Sections of Paraboloid
- Cross section ที่เกิดจากระนาบ z = z0, z0 > 0 ตัด Paraboloid
ในสมการที่ 3 จะเป็ นรู ป Ellipse เสมอ
- ระนาบแนวดิ่งที่บรรจุแกน z เอาไว้ เมื่อตัดกับ Paraboloid ในสมการที่ 3
จะได้ Parabola เสมอ
50
Cone
สมการทัว่ ไปของ Elliptic Paraboloid ที่มีแกน z เป็ นแกนของกรวย คือ
x2 y 2 z 2
 2  2
2
a
b
c
(4)
สมการนี้ผา่ นจุด Origin (0,0,0)
และสมมาตรกับแกน X และ Y
ถ้าค่า a และ b เท่ากัน เราจะได้กรวย
ที่เรี ยกว่า Circular cone
51
(ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus)
Cross Sections of a Cone
เมื่อ set ให้ z = c เราได้วงรี
1
เมื่อ set ให้ x = 0
เราจะได้เส้นตรง 2 เส้น
c
z y
b
เมื่อ set ให้ z = 0
เราจะได้จุดตัดแกน z
ซึ่ งเท่ากับจุด Origin
(0,0,0)
เมื่อ set ให้ y = 0
เราจะได้เส้นตรง 2 เส้น
c
z x
a
52
(ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus)
Cross Sections of a Cone
สาหรับสมการของกรวย เมื่อ set ให้ z = z0 โดย z0 ไม่เท่ากับ 0, เราได้วงรี
2
2

c x
y 
 2  1
2  2
z0  a
b 
2
เมื่อ set ให้ x = x0 โดย x0 ไม่เท่ากับ 0 เราได้
เมื่อ set ให้ y = y0 โดย y0 ไม่เท่ากับ 0 เราได้
53
Cross Sections of a Cone
- Cross section ที่เกิดจากระนาบ z = z0, z0 ไม่เท่ากับ 0, ตัดกรวยในสมการ
ที่ 4 จะเป็ นรู ป Ellipse เสมอ
- ระนาบแนวดิ่งที่บรรจุแกน z เอาไว้ เมื่อตัดกับกรวยในสมการที่ 4 จะได้เส้นตรง
2 เส้นที่ตดั กันที่จุด (0,0,0) เสมอ
54
Hyperboloid
Hyperboloid มี 2 ชนิด
Hyperboloid of One Sheet
Hyperboloid of Two Sheets
55
(ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus)
Hyperboloid of One Sheet
สมการทัว่ ไปของ Hyperboloid of One Sheet ที่มีแกนเป็ นแกน Z คือ
2
2
2
x
y
z
 2  2 1
2
a
b
c
(5)
สมการนี้ได้พ้นื ผิวเป็ นแผ่นเดียว ที่สมมาตรกับ
Coordinate planes ทั้งสาม
ถ้า a = b เราเรี ยก Hyperboloid นี้วา่
Surface of Revolution
56
(ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus)
Cross Sections of Hyperboloid of One Sheet
เมื่อ y = 0 เราได้
เมื่อ z = c เราได้
เมื่อ z = 0 เราได้
เมื่อ x = 0 เราได้
57
(ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus)
Cross Sections of Hyperboloid of One Sheet
- Cross section ที่เกิดจากระนาบ z = z0 ตัด Hyperboloid ในสมการ
ที่ 5 จะเป็ นรู ป Ellipse เสมอ ถ้า a = b เราจะได้รอยตัดเป็ นรู ปวงกลม
- ระนาบแนวดิ่งที่บรรจุแกน z เอาไว้ เมื่อตัดกับ Hyperboloid ในสมการที่ 5
จะได้ Hyperbola เสมอ
58
Hyperboloid of Two Sheets
สมการทัว่ ไปของ Hyperboloid of Two Sheets ที่มีแกนเป็ นแกน Z คือ
2
2
2
z
x
y
 2  2 1
2
c a b
(0,0,c)
(0,0,-c)
(6)
สมการนี้ได้พ้นื ผิวเป็ น 2 แผ่นแยกกัน
ซึ่ งจะสมมาตรกับ coordinate planes ทั้งสาม
แต่จะไม่ตดั กับระนาบ XY
จุด (0,0,c) และ (0,0,-c) เป็ นจุด Vertices
ของ Graph
59
(ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus)
Cross Sections of Hyperboloid of Two Sheets
เมื่อ y = 0 เราได้
เมื่อ x = 0 เราได้
60
(ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus)
Cross Sections of Hyperboloid of Two Sheets
- Cross section ที่เกิดจากระนาบ z = z0, |z0| > c, ตัด Hyperboloid
ในสมการที่ 6 จะเป็ นรู ป Ellipse เสมอ ถ้า a = b เราจะได้รอยตัดเป็ นรู ปวงกลม
- ระนาบแนวดิ่งที่บรรจุแกน z เอาไว้ เมื่อตัดกับ Hyperboloid ในสมการที่ 6
จะได้ Hyperbola เสมอ
61
Hyperboloids
Both hyperboloids are asymptotic to cone
จากสมการที่ 5 และ 6 ถ้าเราเปลี่ยน
เลข 1 ทางขวาของสมการให้เป็ น 0
เราจะได้สมการของกรวย
x2 y 2 z 2
 2  2
2
a
b
c
หมายความว่า Hyperboloid
สามารถบรรจุ (ถูกล้อม) ไว้ในกรวยได้
(ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus)
62
Hyperbolic Paraboloid: a Saddle
พื้นผิวทรงอานม้า (Saddle) หรื อ Hyperbolic Paraboloid มีสมการดังนี้
2
2
y
x
z
 2 
2
b a
c
โดย c > 0
(7)
Saddle นี้สมมาตรกับ
ระนาบ x=0 (ระนาบ YZ)
และระนาบ y = 0 (ระนาบ XZ)
63
(ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus)
Cross Sections of a Saddle
เมื่อ x = 0 เราได้
เมื่อ z = c เราได้
เมื่อ z = -c เราได้
(เมื่อ y = 0)
64
(ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus)
Cross Sections of a Saddle
- Cross section ที่เกิดจากระนาบ z = 0 ตัดกับ Saddle ในสมการที่ 7
จะเป็ นเส้นตรง 2 เส้นที่ตดั กันที่จุด (0,0,0)
- Cross section ที่เกิดจากระนาบ z = z0, z0 ไม่เท่ากับ 0, ตัดกับ Saddle
ในสมการที่ 7 จะเป็ นรู ป Hyperbola
- ระนาบตั้งฉากกับแกน X เมื่อตัดกับ Saddle ในสมการที่ 7 จะได้ Parabola
ที่หงายขึ้น
- ระนาบตั้งฉากกับแกน Y เมื่อตัดกับ Saddle ในสมการที่ 7 จะได้ Parabola
ที่ควา่ ลง
65
Saddle Point
เมื่อเราให้ x = 0 เราจะได้ Parabola หงายที่มีจุดต่าสุ ด (minimum) ที่ (0,0,0)
รวมแล้วเรี ยกว่าจุด
Minimax หรื อ
Saddle Point
(ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus)
เมื่อเราให้ x = 0 เราจะได้ Parabola ควา่ ที่มีจุดสู งสุ ด (Maximum) ที่ (0,0,0)
66
Vector-Valued Functions in 3-D: Space Curve
Space curve ในที่น้ ีหมายถึง curve ใน 3 มิติซ่ ึ งประกอบด้วย 3 components
จุด P(x,y,z) บน curveอยูใ่ นรู ป
x  f (t )
y  g (t )
z  h(t )
t I
I = time interval
เราสามารถจินตนาการ
Space curve ได้
กับทางเดินของอนุภาค
ที่ล่องลอยในอวกาศ
(ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus)
Space curve เขียนในรู ป Position vector ได้เป็ น
r (t )  f (t )i  g (t ) j  h(t )k
67
Examples: Space Curves
Function r (t ) เรี ยกว่า vector-valued function หรื อ vector function
68
(ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus)
Example: Helix
Helix คือ space curve ที่มีลกั ษณะเป็ นเหมือนขดสปริ ง สาหรับ Helix ในรู ป
อธิบายได้ดว้ ยสมการ
r (t )  cos(t )i  sin(t ) j  tk
เมื่อพิจารณาเฉพาะค่า x และ y เราจะได้
x  cos(t )
y  sin(t )
ถ้าใน 2 มิติแล้ว (x,y) นี้จะเป็ นจุดบนวงกลม
x2  y 2  1
เนื่องจากตาแหน่ง x และ y เคลื่อนที่เป็ นวงกลม
ขณะที่ค่าความสู ง z ของจุดบน Helix แปรผัน
ตรงกับ t ทาให้เกิดทางเดินแบบขดสปริ งขึ้น
จากรู ปจะพบว่า Helix รู ปนี้อยูบ่ น Cylinder
(ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus)
x2  y 2  1
69
Examples: Helix
อัตราการเปลี่ยนค่า z เป็ นตัวกาหนดความเร็ วในการเคลื่อนที่ในแกน z ซึ่ ง
ส่ งผลต่อจานวนขดของ Helix ต่อระยะทางดังแสดงในรู ป
70
(ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus)
Examples: Helix
MATLAB Code
t = 0:0.1:30;
กาหนดค่าเริ่ มต้นให้ t=0 และให้ t เพิ่มค่าทีละ 0.1
จนถึง ค่าสุ ดท้าย t = 30
x = cos(t);
y=sin(t);
คานวณค่า
x,y,z
z = t;
30
25
20
15
10
5
plot3(x,y,z)
0
1
0.5
1
0.5
0
แสดงผล
0
-0.5
-0.5
-1
-1
71
Limit
นิยามของ Limit สาหรับ vector functions

 
 

lim r(t )  lim f (t ) i  lim g (t ) j  lim h(t ) k
t t0
t t0
t t0
t t0
(คือทา limit แต่ละ component ของ r (t )นัน่ เอง)
Continuity
A vector function r (t )จะต่อเนื่อง (continuous) ที่จุด t = t0
ก็ต่อเมื่อ
lim r (t )  r (t0 )
t  t0
r (tจะเป็
) น continuous function ก็ต่อเมื่อ r (ต่tอ)เนื่องที่ทุกๆจุด
ใน Domain ของ r (t )
72
Example: Limit and Continuity
r (t )  cos(t )i  sin(t ) j  tk
lim r (t ) 
t  / 4
r (t ) ต่อเนื่องหรื อไม่
73
Derivative at a Point
นิยาม
dr
r (t  t )  r (t )
r(t ) 
 lim
dt t 0
t
df
dg
dh
 i
j k
dt
dt
dt
(ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus)
A vector function r (t )  f (t )i  g (t ) j  h(t )k is
differentiable at t = t0 if f, g and h are differentiable at t0.
r (t ) is differentiable if it is differentiable at every
74
point of its domain.
Tangent Line
เส้นตรงที่สัมผัสกับ r (t ) ที่จุด P0(x0,y0,z0) คือเส้นตรงที่ผา่ นจุด P0 และมีทิศทาง
ขนานกับ r (t )
0
Tangent Line
Z
r  (t 0 )
P0
Y
0
X
75
Smooth Curve
 (t )
r
Curve traced by r (t ) is smooth if
is continuous

and r (t )  0
Piecewise Smooth
Curve ที่ประกอบด้วย smooth curve หลายๆ curve มาต่อกัน
เราเรี ยกว่า Piecewise smooth curve
76
Velocity, Speed, Acceleration, Direction of Motion
นิยาม ถ้าให้ r (t ) เป็ นตาแหน่งของอนุภาคเคลื่อนที่ไปบน smooth curve
1. ความเร็ ว (Velocity)
d r (t )
v (t ) 
dt
v (t ) จะสัมผัสกับ curve
2. อัตราเร็ ว (Speed) หมายถึงขนาดของความเร็ ว v (t )
3. ความเร่ ง (Acceleration)
d v(t ) d 2 r(t )
a(t ) 

dt
dt 2
4. ทิศทางการเคลื่อนที่ (Direction of Motion) คือ
v (t )
v (t )
77
Example: A Hang Glider
เครื่ องร่ อนเครื่ องหนึ่งเคลื่อนที่เป็ นรู ปก้นหอยตามสมการนี้
r (t )  3cos(t )i  3sin(t ) j  t 2 k
จงคานวณหา Velocity, Speed, Acceleration และจงคานวณหาเวลาที่
Velocity กับ Acceleration ตั้งฉากกัน
78
Differentiation Rules for Vector Functions
ให้ U และ V เป็ น Differentiable vector functions ของตัวแปร t
C เป็ นค่าคงที่แบบ vector, c เป็ นค่าคงที่แบบ scalar, และ
f เป็ น differentiable scalar function
d
1. Constant Function Rule:
C 0
dt
2. Scalar Multiple Rules:
d
cU (t )  cU  (t )
dt
d
f (t )U (t )  f (t )U (t )  f (t )U  (t )
dt
3. Sum and Difference Rules:


d
U (t )  V (t )  U  (t )  V  (t )
dt
79
Differentiation Rules for Vector Functions
4. Dot Product Rule
d
U (t ) V (t )  U  (t ) V (t )  U (t ) V  (t )
dt
5. Cross Product Rule
d
U (t )V (t )  U  (t )V (t )  U (t )V  (t )
dt
6. Chain Rule
d
U ( f (t ))  U  ( f (t )) f (t )
dt
80
Proof of the Cross Product Rule
d
U (t  h)  V (t  h)  U (t )  V (t )
U (t )V (t )  lim
h 0
dt
h
U (t  h)  V (t  h)  U (t )  V (t  h)  U (t )  V (t  h)  U (t )  V (t )
 lim
h 0
h
 U (t  h)  U (t )
V (t  h)  V (t ) 
 lim 
 V (t  h)  U (t ) 

h 0
h
h




U (t  h)  U (t )
V (t  h)  V (t )
 lim
 lim V (t  h)  lim U (t )  lim
h 0
h 0
h 0
h 0
h
h
81
Proof of the Chain Rule
ให้ U ( s )  a ( s )i  b( s ) j  c( s )k ,
s  f (t )
d
da db
dc
U (s) 
i
j k
dt
dt
dt
dt
da ds db ds
dc ds

i
j
k
ds dt
ds dt
ds dt
dc  ds
 da db
 i
j k
ds
ds  dt
 ds

 U ( f (t )) f (t )
82
Derivative of Triple Scalar Product
Show that if U (t ), V (t ), W (t ) are differentiable vector
functions of t, then


d
dU
dV
dW
U V  W 
V  W  U 
W  U V 
dt
dt
dt
dt
83
Vector Functions of Constant Length
ตัวอย่างโจทย์กรณี พิเศษ เมื่ออนุภาคเคลื่อนที่บนผิวทรงกลมที่มีศูนย์กลางที่จุด Origin
Position vector r (t ) ของอนุภาคจะมีความยาวเท่ากันหมด ไม่วา่ อนุภาคจะอยูท่ ี่ใด
บนผิวทรงกลม เราเรี ยกว่า Vector function of Constant length
d r (t )
จากคุณสมบัติที่วา่ v(t ) 
สัมผัส
dt
กับ Curve เสมอ และ Curve นี้อยูบ่ น
d r (t )
ผิวทรงกลม ทาให้เราได้วา่
dt
ตั้งฉากกับ r (t ) เสมอดังรู ป
หรื อ
d r (t )
 r (t )  0
dt
84
(ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus)
Property of Vector Functions of Constant Length
จากคุณสมบัติ r (t )  r (t )  c
Take derivative ทั้งสองข้าง
d
r (t )  r (t )  0
dt


r (t )  r (t )  r (t )  r (t )  0



2r (t )  r (t )  0
จะได้วา่
d r (t )
 r (t )  0
dt
85
Integral of Vector Function
A differentiable vector function R (t ) is an antiderivative
of a vector function r (t ) on an interval I if d R(t )  r (t )
dt
at each point of I.
Indefinite Integral
 r(t )dt R(t )  C
C คือค่าคงที่แบบ vector
ตัวอย่าง
  cos(t )i  j  2tk  dt  cos(t )dti   dt j   2tdtk
  sin(t )  C1  i  (t  C2 ) j  (t 2  C3 )k
 sin(t )i  t j  t 2 k  C
86
Definite Integral
If the component of r (t )  f (t )i  g (t ) j  h(t )k
are
Integrable over [a,b], then the definite integral of r (t )
From a to b is
b
 b
 b

a r(t )dt   a f (t )dt  i   a g (t )dt  j   a h(t )dt  k
b
Example




0
0
0
0
  cos(t )i  j  2tk  dt   cos(t )dti   dt j   2tdtk


 sin(t ) 0  t 0  t
2 
0
 [0  0]i  [  0] j  [ 2  0]k
  j  2 k
87
Example: the Flight of a Glider
An acceleration of a glider is a (t )  3cos(t )i  3sin(t ) j  2k
At time t = 0, the glider is at (3,0,0) with velocity v (0)  3 j
Find the equation of the glider position
จาก a(t )  dv(t ) ได้ v(t )   a(t )dt  C1
dt
 3sin(t )i  3cos(t ) j  2tk  C1
คานวณหา C1 โดยการแทนค่า v(0)  3 j
v(0)  3sin(0)i  3cos(0) j  2(0)k  C1  3 j
จาก
d r (t )
v(t ) 
dt
ได้
ดังนั้นได้ C1  0
r (t )   v(t )dt  C2
 3cos(t )i  3sin(t ) j  t 2 k  C2
คานวณหา C2 โดยการแทนค่า r (0)  3i
r (0)  3cos(0)i  3sin(0) j  (0)2 k  C1  3i
ดังนั้นได้ C2  0 88
Example: Motion along a Cycloid
Curve r (t )  (t  sin(t ))i  (1  cos(t )) j is called a cycloid.
Find the maximum and
Minimum of v and a
1
0.5
0
-0.5
-1
2
1.5
15
1
10
0.5
5
0
0
89
Arc Length Along a Curve
ความยาวของ smooth curve r (t )  f (t )i  g (t ) j  h(t )k , a  t  b
คานวณได้จาก
b
L
a
2
2
2
 df   dg   dh 
        dt
 dt   dt   dt 
or
b
L   v(t ) dt
a
90
Example: Distance Traveled by a Glider
ตาแหน่งของเครื่ องร่ อนเครื่ องหนึ่ งอธิ บายได้จาก
r (t )  cos(t )i  sin(t ) j  tk
จงคานวณหาระยะทางที่เครื่ องร่ อนเดินทางจากเวลา
t = 0 ถึง t = 2
d
v  r (t ) 
dt
2
L
 v(t ) dt
0
2


)2  (
(
) 2  ( ) 2 dt
0
2


0
(ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus)
dt 
91
Arc Length As a Function of Time
เราสามารถคานวณ Arc length ที่เป็ น function of t ได้จาก
t
s(t )  
 x( )    y( )    z( )  d
2
2
2
t0
โดยมี P(t0 ) เป็ น Base point
ในกรณี น้ ีเราจะได้ s(t) เป็ นฟังก์ชนั ของเวลาที่บอกว่าระยะทางจากจุด P(t0 )
ถึงตาแหน่งที่เวลา t เป็ นเท่าไร
ตัวอย่าง r (t )  cos(t )i  sin(t ) j  tk เมื่อให้ t0  0
t
s (t )   v( ) d 
0
92
Arc Length Parameterization
t
จากฟังก์ชนั s(t )   v( ) d ที่แสดงถึงความสัมพันธ์ระหว่างเวลาและ
ความยาวของ curve
t0
ถ้าเราสามารถหา inverse function ของ s(t) ได้
กล่าวคือ t  t ( s )
เราจะสามารถเขียน r (t ) ให้อยูใ่ นรู ป r (t ( s ))ได้
ซึ่ งจะได้ตาแหน่ง r ในรู ปของฟังก์ชนั ของระยะทาง s จากจุดเริ่ มต้น P(t0 )
เราเรี ยกการเขียน r ในรู ปฟังก์ชนั ของ s ว่า
Arc length parameterization
93
Arc Length Parameterization
โดยทัว่ ไปเรามักจะอธิ บายตาแหน่งของวัตถุในรู ปของฟั งก์ชนั ของเวลา
เช่น มีรถยนต์คนั หนึ่งแล่นออกจากจังหวัดขอนแก่นไปทางทิศตะวันออกเฉี ยงเหนือด้วย
ความเร็ ว 90 km/hr. อยากทราบว่าอีกหนึ่ งชัว่ โมงต่อมารถยนต์คนั นี้อยูท่ ี่ใด
ซึ่ งคาตอบก็ไม่อยาก เพราะเอาเวลาคูณความเร็ วเข้าไปก็จะได้ตาแหน่ง
แต่ถา้ ถามว่า รถยนต์คนั นี้อยูท่ ี่ตาแหน่งใดเมื่อรถยนต์แล่นไปได้ระยะทาง 30 km
จากจังหวัดขอนแก่น คาตอบนี้เราจะต้องทราบว่า ตาแหน่งของรถ สามารถคานวณ
จากระยะทางได้อย่างไรเสี ยก่อน ซึ่ งวิธีการนี้เราต้องใช้ Arc length
parameterization
94
Length is independent of Parameterization
ในการทา Arc length parameterization นั้น function r (t ( s ))
ที่ได้จะไม่ข้ ึนกับ parameter ไม่วา่ เราจะใช้ parameter ที่แตกต่างกัน
1. r (t )  cos(t )i  sin(t ) j  tk
ได้ r (t ( s )) 
2. r (t )  cos(t / 2)i  sin(t / 2) j  (t / 2)k
ได้ r (t ( s )) 
หมายเหตุ ตาแหน่งของอนุภาคในข้อ 1 และข้อ 2 อยูบ่ นทางเดินเดียวกันแต่อนุภาคในข้อ
95
หนึ่งมีอตั ราเร็ วเป็ นสองเท่าของอนุภาคในข้อ 2
Speed on a Smooth Curve
Speed หรื ออัตราเร็ วคานวณได้จาก v ซึ่ งจากนิยาม อัตราเร็ วหมายถึงอัตราการ
เปลี่ยนแปลงระยะทาง s เทียบกับเวลา t
เราจะได้
ds
v
dt
Unit Tangent Vector
ทิศทางการเคลื่อนที่คานวณได้จาก T 
d r (t )
เนื่องจาก v(t ) 
dt
ดังนั้น
และ
v
v
(ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus)
dt
ds 1
 1/ 
ds
dt v
d r d r dt
1 v

v  T
ds dt ds
v v
96
Unit Tangent Vector
นิยาม
d r d r / dt v
T


ds dt / ds v
Example r (t )  3cos(t )i  3sin(t ) j  t 2 k
v
T
v
v

97
Curvature
Curvature เป็ นสิ่ งที่บอกว่า curve มีการหมุนหรื อการตีโค้งอย่างไร
โดยเราสามารถดูได้จากอัตราการเปลี่ยนทิศทางของ curve เป็ นหลัก
นิยาม
If T is the unit tangent vector of a smooth curve,
the curvature function of a smooth curve is
dT

ds
เราสามารถคานวณจาก
dT
dT dt
1
dT



ds
dt ds ds / dt dt
1 dT

v dt
98
Example: Curvature of a Circle
วงกลมรัศมี a สามารถเขียนเป็ น r (t )  a cos(t )i  a sin(t ) j
d r (t )
v(t ) 

dt
v(t )  (
T
v
v
)2  (
)2 

dT

dt
dT

dt
1 dT


v dt
99
Principal Unit Normal
dT
โดยปกติ T จะตั้งฉากกับ
ds
dT
ทิศทางของ
คานวณได้จาก
ds
นิยาม At any point where   0 the principal unit normal
vector for a curve in the plane is
1 dT
N
 ds
เราสามารถคานวณได้จาก
N
dT / dt
dT / dt
100
(ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus)
Example: Principal Unit Normal
r (t )  cos(2t )i  sin(2t ) j
d r (t )
v(t ) 

dt
v(t )  (
T
v
v
)2  (

dT

dt
dT

dt
N
)2 
dT / dt
dT / dt

101
Circle of Curvature
Definition: The circle of curvature or osculating circle at a point P
on a plane curve where   0 is the circle in the plane of the curve that
1. is tangent to the curve at P
2. has the same curvature the curve has at P
3. lies toward the concave or inner side of the curve
Radius of Curvature

1

Center of Curvature = center of the circle
102
(ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus)
Example: Find Osculating Circle of a Parabola at t = 0
r (t )  ti  t j
2
v(t )  (
T
v
v
d r (t )
v(t ) 

dt
)2  (
)2 

dT

dt
1
dT
 (0) 
(0) 
v(0) dt
103
(ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus)
Tangential and Normal Components of Acceleration
จาก
d r d r ds
ds
v

T
dt ds dt
dt
ดังนั้น
d v d  ds  d 2 s
ds dT
a
 T   2 T 
dt dt  dt  dt
dt dt
d 2s
ds  dT ds 
 2T 

dt
dt  ds dt 
d 2s
ds 
ds 
 2 T   N 
dt
dt 
dt 
2
d 2s
 ds 
 2 T    N
dt
 dt 
104
(ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus)