Transcript หน่วยที่ 9 - stouonline

หน่วยที่ 9
การประยุกต์ของอนุพนั ธ์ยอ่ ย
1
9.1.1 เกรเดียนต์ของฟั งก์ชนั
บทนิยาม 9.1.2
เกรเดียนต์ (gradient) ของฟั งก์ชนั
f ( x, y, z ) ที่จุด ( x, y, z ) คือ
f(x,y,z)=



f f
f
j
i
+
+
=
,
,
k
x y z
f f f
x y z
2
ตัวอย่าง 9.1.1
กาหนดให้ f ( x, y)  5 y  x y
จงหา f ( x, y ) และ f (1, 2)
วิธีทา
f
f
f ( x, y )  i 
j
x
y


3 2
3 2
 5 y  x y  i  5 y  x y  j
x
y
3
2
3
 3 x y i   5  2 x y  j
2
2
3
ดังนั้น
f (1, 2)  31 4 i  5  4 j
 12i  9 j
4
เส้นระดับและเกรเดียนต์
(Level Curves and Gradients)
เส้นระดับหรือเส้นโค้งระดับของฟั งก์ชนั f ( x, y)
คือ ภาพฉาย (projection)
ของรอยตัดของพื้นผิว z  f ( x, y)
กับระนาบ z  c บนระนาบ xy
เส้นระดับที่ผ่านจุด P( x0 , y0 ) มีสมการเป็ น
f ( x, y)  c โดยที่ c  f ( x0 , y0 )
5
6
f ( x0 , y0 ) เป็ นเวกเตอร์ที่ตง้ั ฉากกับเส้นโค้ง
f ( x, y)  c ที่จุด ( x0 , y0 )
7
f ( x0 , y0 ) เป็ นเวกเตอร์ที่ตง้ั ฉากกับเส้นโค้ง
f ( x, y)  c ที่จุด ( x0 , y0 )
8
ตัวอย่าง 9.1.4
2
2
จงหาเส้นระดับของ f ( x, y)  y  x
ที่ผ่านจุด (2,3) และวาดกราฟของเกรเดียนต์ที่จุด
(2,3)
วิธีทา
เส้นระดับ f ( x, y)  c ผ่านจุด (2,3)
นั ่นคือ c  f (2,3)  9  4  5
ดังนั้นเส้นระดับของ f ( x, y) ที่ผ่านจุด (2,3)
9
คือ y 2  x2  5
f f
f ( x, y ) 
,
x y
เนื่องจาก
f
 2
2
  y  x   2 x
x x
f
 2
2
  y  x   2y
และ
y y
10
ดังนั้น f ( x, y)  2 x,2 y
f (2,3)  2(2),2(3)  4,6
11
พื้นผิวระดับและเกรเดียนต์
(Level Surfaces and Gradients)
ให้ f ( x, y, z)  c เป็ นพื้นผิวระดับของฟั งก์ชนั
f ( x, y, z) ที่ผ่านจุด P( x0 , y0 , z0 )
f ( x0 , y0 , z0 ) เป็ นเวกเตอร์ที่ตง้ั ฉากกับพื้นผิว
f ( x, y, z )  c ที่จุด ( x0 , y0 , z0 )
12
ข้อสังเกต
เกรเดียนต์ของฟั งก์ชนั สองตัวแปรหรือสามตัวแปร
เป็ นเวกเตอร์ที่ส่วนประกอบของเวกเตอร์ เป็ น
อนุพนั ธ์ยอ่ ยของฟั งก์ชนั
1. กรณีฟังก์ชนั สองตัวแปร
f ( x, y ) เป็ นเวกเตอร์ที่ตง้ั ฉากกับเส้นโค้ง
f ( x, y )  c
กรณีฟังก์ชนั สามตัวแปร
f ( x, y, z ) เป็ นเวกเตอร์ที่ตง้ั ฉากกับพื้นผิว
f ( x, y , z )  c
13
2. เวกเตอร์เกรเดียนต์ (ในปริภูมิ 2 มิติ หรือ 3 มิต)ิ
มีส่วนประกอบเป็ นอนุพนั ธ์ของ ฟั งก์ชนั ที่เทียบ
กับตัวแปรอิสระ อาจกล่าวได้ว่า เกรเดียนต์
df
ของฟั งก์ชนั ตัวแปรเดียว f ( x ) คือ
dx
14
15
ตัวอย่าง 9.1.5 จงหาพื้นผิวระดับของฟั งก์ชนั
2
2
2
f ( x, y, z)  x  y  z
ที่ผ่านจุด (1,1,1) และหา f ที่จุดนี้
วิธีทา
เนื่องจาก f ( x, y, z)  x2  y 2  z 2  c
ที่จุด
(1,1,1) , f (1,1,1)  1  1  1  c
c3
ดังนั้นพื้นผิวระดับของ f ( x, y, z) คือ
2
2
2
x  y z 3
16
เพราะว่า f ( x, y, z )  f x , f y , f z
ดังนั้น f (1,1,1)  2, 2, 2
 2 x, 2 y , 2 z
17
เส้นสัมผัสเส้นโค้ง
ให้ f ( x, y )  c เป็ นเส้นโค้งบนระนาบ xy
ที่ผ่านจุด P( x0 , y0 )
เราต้องการหาเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด P นี้
เวกเตอร์ f ( x0 , y0 ) ตัง้ ฉากกับ เส้นโค้งที่จุด P
นั ่นคือ f ( x0 , y0 ) ตัง้ ฉากกับเส้นสัมผัสเส้นโค้ง
ที่จุด P นั ่นเอง
18
สมการของเส้นสัมผัสที่จุด P คือ
f x ( x0 , y0 )  x  x0   f y ( x0 , y0 )  y  y0   0
y
vv = f (x
0
,y 0 )
f (x ,y) = c
P (x 0 ,y 0 )
x
19
ตัวอย่าง 9.1.6
2
x
2
จงหาสมการของเส้นสัมผัสวงรี
y 2
4
ณ จุด (2,1)
x2
2
วิธีทา เพราะว่า f ( x, y )   y
4
2
 x
x
2 
ดังนั้น f x    y  
x  4
 2
และ
  x2
2 
fy    y   2y
x  4

20
นั ่นคือ f x (2,1)  1 f y (,2,1)  2
แทนในสูตร เส้นสัมผัสวงรี ณ จุด (2,1)
คือ
 1 x  2  2  y  1  0
x  2 y  4
21
ระนาบสัมผัสพื้นผิว
บทนิยาม 9.1.3 ระนาบสัมผัส (Tangent Plane)
ให้ P( x0 , y0 , z0 ) เป็ นจุดบนพื้นผิว
v
f ( x, y, z )  c ซึ่ง f ( P)  0
ระนาบสัมผัส ที่จุดคือ P ระนาบที่ผ่านจุด P
และตัง้ ฉากกับ f ( P)
22
สมการของระนาบสัมผัสที่จุด P คือ
หรือ
f x (P)  x  x0   f y (P)  y  y0   f z (P)  z  z0   0
f x (x0 , y0 , z0 )  x  x0   f y (x0 , y0 , z0 )  y  y0   f z (x0 , y0 , z0 )  z  z0   0
23
24
ตัวอย่าง 9.1.7
จงหาสมการของระนาบสัมผัสพื้นผิวพาราโบลอยด์
2
2
z  x  y ที่จุด (1,1, 2)
2
2
วิธีทา พื้นผิวมีสมการ z  x  y
2
2
หรือ x  y  z  0
ให้ f ( x, y, z)  x  y  z
2
2
 2
2
fx   x  y  z   2x
x
25
 2
2
fy   x  y  z  2y ,
y
 2
2
f z   x  y  z   1
z
ที่จุด P(1,1, 2)
f x (1,1, 2)  2(1)  2
f z (1,1, 2)  1
f y (1,1, 2)  2(1)  2
สมการของระนาบสัมผัสที่จุด P(1,1, 2) คือ
2  x  1  2  y  1  1 z  2  0
26
27
9.2 ผลต่างเชิงอนุพนั ธ์และการประมาณ
9.2.1 ผลต่างเชิงอนุพนั ธ์ และการประมาณค่า
ฟั งก์ชนั
สาหรับฟั งก์ชนั สองตัวแปร z  f ( x, y)
จากจุด ( x, y )ไปยังจุด ( x  x, y  y)
ผลต่างของค่าฟั งก์ชนั คือ
z  f ( x  x, y  y)  f ( x, y)
28
บทนิยาม 9.2.1 กาหนดให้ z  f ( x, y)
เป็ นฟั งก์ชนั ที่หาอนุพนั ธ์ได้ผลต่าง
เชิงอนุพนั ธ์รวม หรือ ผลต่างเชิงอนุ พนั ธ์
ของ f คือ
dz  df ( x, y)  f x ( x, y)dx  f y ( x, y)dy
29
ตัวอย่าง 9.2.1
กาหนดให้ z  f ( x, y)  2x3  xy  y3
ก. จงหา dz
ข. จงหาค่า z และ dz เมื่อจุด ( x, y )
เปลี่ยนจากจุด (2,1)ไปยังจุด (2.03,0.98)
30
วิธีทา
ก.
f
f
dz 
dx  dy
x
y


3
3
3
3
  2 x  xy  y  dx   2 x  xy  y  dy
x
y
  6 x 2  y  dx   x  3 y 2  dy
31
ข. จากจุด ( x0 , y0 )  (2,1) ไปยังจุด
(2.03, 0.98) จะได้ว่า dx  0.3 และ
dy  0.02
จากสูตร
z  f ( x0  x, y0  y)  f ( x0 , y0 )
และ
f ( x, y)  2 x  xy  y
3
3
32
ดังนั้น
z  f (2.03,0.98)  f (2,1)
3
3

 2  2.03   2.03 0.98   0.98  2  2   2 1  1 


 0.779062
3
3
จาก ก. dz   6 x  y  dx   x  3 y  dy
ที่จุด (2,1) แทน x  2 , y  1 dx  0.03
2
2
dy  0.02
จะได้ว่า dz  25 0.03   1 0.02  0.77
33
ฟั งก์ชนั สามตัวแปร
สาหรับฟั งก์ชนั สามตัวแปร หรือมากกว่า การนิยาม
ผลต่างเชิงอนุพนั ธ์คล้ายกัน
w  f ( x, y , z )
ผลต่าง w  f ( x  x, y  y, z  z)  f ( x, y, z)
ผลต่างเชิงอนุพนั ธ์ของนิยาม wดังนี้
f
f
f
dw  df  dx  dy  dz
x
y
z
34
ให้
dx  x , dy  y , dz  z
และใช้ dw เป็ นค่าประมาณของ  w
w  dw
35
ตัวอย่าง 9.2.6
กล่องรูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก วัดความกว้าง
ความยาวและความสูงได้เป็ น 75 ซม.
60 ซม. และ 40 ซม. ตามลาดับ ในการวัด
แต่ละครั้งผิดพลาดไม่เกิน 0.2 ซม.
จงพิจารณาว่าปริมาตรกล่องที่คานวณได้จะมี
ความคลาดเคลื่อนมากสุดเท่าใด โดยประมาณ
36
วิธีทา
ให้กล่องมีความกว้าง ความยาวและความสูงเป็ น
x , y และ z ตามลาดับ
ปริมาตร V  xyz
V
V
V
dV 
dx 
dy 
dz
x
y
z
dV  yz dx  xz dy  xy dz (1)
37
38
เนื่องจาก dx  0.2 , dy  0.2 และ dz  0.2
เราจะแทนค่าความคลาดเคลื่อนมากสุดเลยก็ได้
นั ่นคือแทน dx  0.2 , dy  0.2 และ dz  0.2
ดังนั้นเมื่อ x  75 , y  60 และ z  40
จาก (1) จะได้
dV  (60)(40)(0.2)  (75)(40)(0.2)  (75)(60)(0.2)  1980
V  dV  1980 ซม.
3
39
9.3 ค่าสูงสุดและค่าต ่าสุดของฟั งก์ชนั
9.3.1 ค่าสูงสุดและค่าต ่าสุดของฟั งก์ชนั
การพิจารณาค่าสูงสุดและค่าต ่าสุดของฟั งก์ชนั
ทาให้ทราบถึงลักษณะเฉพาะของฟั งก์ชนั ซึ่ง
ในบางกรณีเราจาเป็ นต้องรูเ้ พื่อนาไปประกอบ
ในการดาเนินงาน หรือ การตัดสินใจ
40
เราเรียกค่าสูงสุดหรือค่าต ่าสุด ว่า
ค่าสุดขีด (extreme value)
ค่าสุดขีดที่จะพิจารณามี 2 แบบ คือ
ค่าสุดขีดสัมบูรณ์ (absolute extrema)
ค่าสุดขีดสัมพัทธ์ (relative extrema)
หมายเหตุ
ค่าสุดขีดสัมบูรณ์ เรียกสั้นๆว่า ค่าสุดขีด
41
บทนิยาม 9.3.1
ค่าสุดขีด (ค่าสูงสุด หรือค่าต ่าสุด)
ให้ f ( x, y) นิยามบนบริเวณ R ซึ่งมีจุด (a, b)
รวมอยูด่ ว้ ย
1. f (a, b) เป็ น ค่าสูงสุด ของ f บน R ถ้า
f ( x, y)  f (a, b) ทุก ( x, y)  R
2. f (a, b) เป็ น ค่าต ่าสุด ของ f บน R ถ้า
f (a, b)  f ( x, y) ทุก ( x, y)  R
42
ข้อสังเกต
1. ค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต ่าสุดสัมพัทธ์ของ
ฟั งก์ชนั อาจมีได้มากกว่า 1 ค่า
2. ถ้าเปรียบ z  f ( x, y) เป็ นพื้นผิวของเทือกเขา
ค่าสูงสุดสัมพัทธ์จะเป็ นความสูงของยอดเขา
แต่ละยอด ส่วนค่าต ่าสุดสัมพัทธ์จะเป็ น
ความลึกของหุบเขา
43
ตัวอย่าง 9.3.3
2
2
ฟั งก์ชนั f ( x, y )  x  y
มีค่าต ่าสุดสัมพัทธ์  f (0,0)  0
ไม่มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์
ฟั งก์ชนั g ( x, y)  4  x2  y2
มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์  g (0,0)  4
ไม่มีค่าต ่าสุดสัมพัทธ์
ฟั งก์ชนั h( x, y)  6  2 x  3 y
ไม่มีค่าต ่าสุดสัมพัทธ์ และไม่มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์
44
45
46
47
บทนิยาม 9.3.3 จุดวิกฤต
ให้ (a, b) เป็ นจุดภายในโดเมนของฟั งก์ชนั
f ( x, y) จะกล่าวว่า ( a, b) เป็ น จุดวิกฤต
(critical point) ถ้า
1. f x (a, b)  0 และ f y (a, b)  0
หรือ
2. f x (a, b) หาค่าไม่ได้ หรือ f y (a, b)
หาค่าไม่ได้
48
ตัวอย่าง 9.3.4
2
2
จงหาจุดวิกฤตของฟั งก์ชนั f ( x, y)  x  y
f
 2
วิธีทา
  x  y2   2x
x x
f
 2
2
  x  y   2y
y y
จะเห็นว่า
f
0
x
f
และ  0 ก็ตอ่ เมื่อ
y
x  0 และ y  0
ดังนั้น จุดวิกฤตคือ (0, 0)
49
หมายเหตุ
บางฟั งก์ชนั มีจุดวิกฤตมากกว่า 1 จุด เช่น
f ( x, y)  x  4xy  2 y
2
2
บางฟั งก์ชนั ไม่มีจุดวิกฤต เช่น
f ( x, y)  2 x  3 y  1
50
D  f xx f yy  f
D0 D0
2
xy
D0
f xx  0
f xx  0
จุดอานม้า สรุปไม่ได้ ค่าสูงสุด
สัมพัทธ์
ค่าต ่าสุด
สัมพัทธ์
51
ตัวอย่าง 9.3.5
จงหาจุดวิกฤต และค่าสุดขีดสัมพัทธ์ของฟั งก์ชนั
f ( x, y)  xy  x  y  4x  5 y  10
2
2
วิธีทา หาจุดวิกฤต โดยพิจารณาจากอนุพนั ธ์ยอ่ ย
f x  y  2x  4
fy  x  2y  5
ให้ f x  0 และ f y  0
52
นั ่นคือ 2 x  y  4
และ x  2 y  5
(1)
(2)
แก้สมการ (1) และ (2) จะได้ x  1, y  2
ดังนั้นจุดวิกฤต คือ (1, 2)
53
ทดสอบ

เนื่องจาก f xx   y  2 x  4   2
และ
จะได้ว่า
x

f yy   x  2 y  5  2
y

f xy   y  2 x  4   1
y
D  f xx f yy  f
2
xy
  2  2   1  3
2
54
ที่จุดวิกฤต (1, 2) D  3  0 และ f xx  2  0
ดังนั้น f มีค่าต ่าสุดสัมพัทธ์ เกิดขึ้นที่จุด (1, 2)
และค่าต ่าสุดสัมพัทธ์
 f (1, 2)  2  1  4  4  10  10  3
55